Lösungen IV.1 a) Wiederholung: Potenzgesetze 149/2: a) 3 4 = 81 b

Lösungen IV.1
a) Wiederholung: Potenzgesetze
a) 34 = 81
149/2:
b) 51/3 =
3
5
1
5764801
d) 7–8 =
c) 1
1
27
e) 3–3 =
f) 29 = 512
Blatt:
1) a)
k)
10
4
8
27
b)
3
25
3
c)
l) 4 125
64
d) 100000
m) 16807
e)
1
n)
5
o)
16
3
f)
1
5
1
5
4
p)
729
g)
1
h)
10
1
4
i)
8
2
j)
5
1
5
279936
2) a) 51/2 b) 61/3 c) 21/4 d) 242/3 e) 116/5 f) 73/4 g) 53 h) 182/3 i) 2–1/2 j) 4–1/3 k) 12–3/4 l) 7–2/3
3) a) 10
4) a)
5) a) 5
3
3/4
6) a) 61/4
b)
5
b)
c) 81 d) 2 e)
c)
2
7/12
b) 3
b) 82/5
3
5
i)
1
16
d) 41/12
c) 2–1/2
2
d)  
5
625
f)
2
g)
3
9
5
h)
4
1
1
1
1
k)
l)
m)
9
49
9
2
e) 23/10 f) 31/10 g) 101/6 h) 6–7/6
j)
5
1/2
c) 2
5
i) 2–1/6
1/ 3
e) 22/5
f) 50,4
7) a) 4 b) 9 c) 51/6 d) 2–3/10 e) 33/5
b) Exponentialfunktionen: Begriff und Eigenschaften
8) f(x+1) = ax+1 = ax∙a1 = a∙ax = a∙f(x)
x
0
1
2
3
x
1,3
1
1,3
1,69
2,197
4
–1
–2
–3
2,8561  0,769  0,592  0,455
y
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
9) b) Gg: um 1 nach unten verschoben; Gh: um 1 nach rechts verschoben; Gk: an y-Achse gespiegelt;
Gl: an y-, dann an x-Achse gespiegelt, dann um 1 nach oben verschoben
4
1
y
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Gl
-7
-8
10) a) f(x) =
3
x
b) x > 12 bzw. x < –4
11) a) f(x) = a2∙ax
b) f(x) =
1 x
∙a
a
1 3
c) g(x) =   
2 2
c) f(x) = a∙a–x
c) Exponentielles/r Wachstum/Zerfall
1 2
1) a)
m = 156,25 cm2 b) 2–n m2
64
3) a) 17 181,86 DM
x
d) f(x) = 3a2∙a–x
2) 4,617 Milliarden
b) 15938,48 DM bzw. 18509,30 DM
c) 15600 DM
4) 3,71 DM; 4,30 DM
5) vor 12 Jahren: etwa 42 000 fm  etwa 18 000 fm, also etwa 10 000 Bäume
6) 2,70 Milliarden
9) 16971; 2531; 712
7) 6,6%
8) a) 81,1%; 49,8%; 24,8%; 6,2% b) 29,2%
10) a) 87,1 mg; 75,8 mg; 66,0 mg; 25 mg b) y = 100 mg ∙ 0,5x/8 Tage
11) pro Jahr: 0,984; 0,978; 0,977; 0,923
Lösungen IV.2
a) Grundlagen
Blatt:
1) a) log232 = 5
b) log381 = 4
c) log1010000 = 4
d) log55 = 1
e) log71 = 0
f) log2
1
= –1
2
1
1
2
g) log3 1 = –2 h) log100,001 = –3 i) log5 5 =
j) log6 3 6 =
k) log4 3 16 =
2
3
3
9
1
3
l) log5 1 = 
m) log10 1
=
n) loga 5 a 3  3
o) loga q a p  p
4
2
4
5
q
5
1000
2) a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 3 f) 2 g) 4 h) 1 i) 1 j) 1 k) 0 l) 0 p) –1 q) –1 r) –1 s) –2 t) –2
u) –4 v) –3 w) –4 x) –3 y) –1
1
3
3) log28 = 3; log82 =
1
1
b)
2
2
n) –1 o) –1
4) a)
5) a) 24 = 16
c)
1
2
(also: vertauscht man Basis und Numerus, so ergibt sich der Kehrwert!)
d)
1
2
b) 2x = 3
e)
3
2
f) 
c) 3y = 5
1
2
g) 
1
2
d) 10z = 7
h) 
1
2
i) 
e) 10r = 27
1
2
j) 
1
3
f) 10s = 50
k) –1 l) –2 m) –3
g) 10u = v
h) ab = c
6) a) 2x = 10 b) 3y = 17 c) 10x = 3,2 d) 10r = 0,4 e) 5x = 7 f) 4b = 10 g) 10a = 0,4 h) 10x = 0,01
7) a) x = log225 b) x = log312
g) x = lg 0,45 h) a = lg 7
c) x = log43
d) x = lg 23
e) y = lg 17
f) r = lg 68
8) a) lg 29  1,46 b) lg 11  1,04 c) lg 9  0,95 d) lg 5  0,70 e) lg 1 = 0 f) lg 0,4  –0,40
g) – h) – i) lg 2  0,30 j) lg 0,6  –0,22 k) lg 0,5  –0,30 l) – m) –lg 0,8  0,10
1 3
n) –lg 2,5  –0,40 o)  lg  0,06 p) –2 lg 0,4  0,80
2 4
9) a) 101,3617; 101,1523; 101,8021; 100,9201; 10–2,3979
10) a) 0
b) –lg x
c) –lg u
d) 1 – lg a
b) 3; 7; 0,5; 1; 9; 12; 5
e) 2 – lg x
11) a) a) lg 3 + lg x b) lg a + lg b + lg c c) lg 5 + lg a – lg x
b) a) 2 lg u b) 3 lg x c) 0,5 lg x d) –0,5 log3 x
12) a) lg u
13) a) 3
b) 5 lg x
b) 5
c) –lg a
c) x
d)
1
7
d) 0
e)
1
8
e) –lg 2
f) 0
d) log2u + log2v – log2w
g) 0,5 lg x
h) 2
i) lg 2
j) 2 lg x
f) x
b) Gleichungen
Blatt:
14) a) 1,7925 b) 1,5546 c) –2,7221 d) –0,8038 e) 0,6151
h) –0,0977 i) –0,3247 j) –2,3648 k) –0,4767 l) 3,7700
15) a) 1,7782
16) a) 0; 1
17) a) 3
b) 0,2851
b) 2; 3
b) 500,5
c)
c) –0,3802
1
;1
2
c)  8
d)
f) –0,1965
g) –0,7553
d) –3,0196
lg 2
 0,6309; k. w. Lsg.
lg 3
e) 0; –1
f)
lg 3
 0,5646; k. w. Lsg.
lg 7
d) 3 (; –2)
163/1 (vgl. S. 132 und S. 139!!!) t  4485 Jahre
163/2 a) t 1/2  170 Stunden b) t  396 Tage
163/3 (vgl. S. 158) a) 4; 15 min
b) 200; N(t) = 200 · 2 4t = 200·16t (t in Stunden)
c)  1,16
Stunden
c) Logarithmische Darstellung
Blatt: 1) a) c = 1; a = 2
d) c =
b) c = 2; a = 3  1,73
2700
1369
 1,972; a =
 1,521
1369
900
c) c = 3; a =
3
1
 0,693
3
164/4 b)
t in ms
0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
lg U in V
2,00
1,85
1,70
1,55
1,40
1,25
1,10
Es ergibt sich eine Gerade mit der Gleichung (etwa): lg U = –0,015t + 2
c) Exponentialfunktion: U(t) = 100·0,5t/20 (U in V, t in ms)
80,0
0,80
100
0,50
164/5 b)
V in Litern
-0,699 -0,398 -0,222 -0,097 0,000 0,079 0,146
5
lg p in 10 Pa
1,265 0,843 0,597 0,422 0,286 0,176 0,083
Es ergibt sich eine Gerade mit der Gleichung (etwa): lg p = –1,4·lg V + 0,29
c) Potenzfunktion: p = 1,93·V–1,4 (V in Liter, p in 105 Pa)
0,204
0,000
d) Logarithmusfunktionen
Blatt:
2)
2
y
Gf
Gg
1
x
0
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
3) um 1 nach oben verschoben; um 1 nach links verschoben; an y-Achse gespiegelt
beachte: Dh = ]–1;  [; Dk = R– !
4) a) f(x) = log2 x + 1
5) f(x) = log4 x
b) f(x) = log2(x + 2)
( f(x) = log0,6 x)
c) f(x) = –log2 x
d) f(x) = log2(–x)
6) f(x) = log2(x + 1)
7
3
y
2
1
x
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
b) Terme gleich, aber Df = R\{0}, Dg = R+
7) a) Terme und D = R gleich
e) Anwendungen
Blatt:
lg p
lg p
= –5000∙
; 11610 m; 19717 m
lg 0,5
lg 2
2
b) (auf 0 bar: t = 331 h  13,8 Tage) auf 1 bar: t  313 h  13 Tage
3
8) h(p) = 5000 ∙ log0,5 p = 5000∙
9) a) p(0)  2,12 bar
p in bar
3
2
1
t in h
0
0
50
100
10) a) 8 g; 16 g; 32 g
11) a) 12,1
164/6 a) 90 dB
200
250
b) f(m) = a ∙ log2 m + b
b) 2,11∙1016
b) 10
164/7 a)  27 (31)
150
c) nimmt um 0,3 bzw. um 1 ab bzw. zu
(verwende für die Rechnung:
b) 102,1  126
p B2
p A2
 10 ( LB  La ) / 10 u. ä.)
300
350
Lösungen IV.3
135/3
e1,3863
1
1
 –2 c) x = (e1,9459)2  49 d) x = – 2,3979  
2
11
e
1
e) x = ln 3  1,10 (vgl. a!) f) x =
 0,48 g) x1,2 =  ln 4   1,18 h) x  ln ln 2  –0,18
ln 8
a) x = e1,0986  3
b) x = –
a) D = R; x1,2 = 0
135/2
b) D = R; x1 = 0
135/1
a)
b)
y
7
6
9
5
8
7
4
6
3
5
2
4
1
0
-3
-2
-1
y
10
0
1
2
3
3
x
2
-1
1
-2
x
0
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
c)
2
d)
y
y
10
1
-3
-2
-1
9
x
0
0
1
2
3
8
-1
7
-2
6
-3
5
-4
4
-5
3
-6
2
-7
1
-8
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
e)
f)
y
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
y
x
0
3
-3
122/1
a)
-2
-1
0
1
2
3
b)
y
3
y
2,5
3
2
1,5
2
1
1
0,5
x
0
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-2
-1
0
-1
-1
-1,5
-2
-2
-3
-2,5
-3
x
0
-3
1
2
3
c)
d)
3
y
3
2
2
1
1
x
0
0
1
2
3
4
0
-1
-2
-2
-3
-3
e)
f)
-2
2
3
4
5
3
2
2
1
1
x
-1
1
y
y
0
-3
x
0
5
-1
3
y
0
1
2
x
0
3
0
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-2
-3
-3
Blatt:
1) a) 2,72
b) 7,39
c) 0,37
d) 0,14
3) a) 0,69
b) 3,15
c) 1,04
d) –0,41
4) a) 3
b) 0,5
m) 0,25
n) 0,5
c) 0,25
o) 2
p) 2
5) a) 4
b) –3
k
2
l) –0,5
m) 
ln 2
3
b) x = 0
k)
6) a) x =
d) 9
c) 0,25
3
2
d) 0,5
e) 1,65
e) 2
e) –3,00
f)
q) 2
3
5
g) 1,40
f) 0,88
g)
1
2
h) 3,90
i) 0,63
g) –1,15
h) 0,125
i)
1
3
j) 0,5
k) ba
l) c–t
r) 0,2
e) 0,4
n) –ln 2 +
f) 0,61
1
3
c) x = –2 ln 3
f)
2
3
g) ln 2 + 3
o) ln 2 – ln 3 + 0,5
d) x =
ln 4  1
2
h) ln 3 – 1
i) ln 2 + 0,5
p) ln 3 – ln 4 + 0,5
e) x = 1 + ln 2
j) ln a + b
q) –ln 2 – 0,25
f) x = –2 ln
2
3
1  ln
g) x =
0,4
7) a) x = 0
2
3 = 2,5 (1 – ln 2 + ln 3)
b) x = –ln 2
c) x = 0
f) x1 = –ln 2; keine weitere Lösung
8) a) x =
e
2
b) x =
1
3e
9) a) 29,96 b) 0,08
k) –0,58 l) 1,31
c) x =
c) 3,12
2
e
h) x1,2 =  ln 3
ln 2
e) x1 = ln 2; x2 = ln 3
3
g) x1 = ln 3; keine weitere Lösung h) x1 = ln 2; x2 = ln 3
d) x = 
d) x = e
d) 1,00
e) x = 2
e) 0,50
f) x = 0
f) 2,04
g) 1,56
g) x1,2 =  1 
h) –3,22
1
e2
i) 3,00
h) x = 2
j) 1,51
10) a) v(0) = 0; lim v(t) = 15  am Anfang Geschwindigkeit 0 (Ruhe); Grenzgeschwindigkeit 15 m/s
t 


b) 15 ∙ 1  e 0, 654t = 9,0  e 0, 654t = 0,4  t1 =
ln 0,4
 1,4 (s)
 0,654
c)
v in m/s
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0,5
1
1,5
2
11) a) v(50 s)  1014 m/s
2,5
3
3,5
b) t  95 s; Verhältnis: e!
4
t in s
c) v   , weil m  0; kann nicht auftreten!
Lösungen IV.4
141/1 (ohne klm!)
a) –2ex
h)
b) 2 – ex
4
(e  e  x ) 2
2
d)
( x  1)e x
x2
e) (1 – x) e–x
f) –2 (x + x2) e2x
i) sgn(x) e|x| für x  0; bei x = 0 nicht differenzierbar n) –a e–b
x
ex
q)  2
x
c) 6x e 3x
r) 2t e
s
e x  ex
s) x
e  ex
g) (a2x – 3a) e–ax
o) e–b
p) t2 es
141/2 (ohne d!)
a) tP: y = 2x – 1; nP: y = 
1
1
x ;
2
4
2
1
e
1
x   1 ; nQ: y =  x   1
e
e
2
e
t Q: y =
1
1
x
tQ: y = –2x; nQ: y =
e2;
2e  2
2e  2
1
1
3 1
c) tP: y = –2x + 2 – ; nP: y = x  
e
2
4 e
2
2
1
x
 2e 2 
tB: y = (–6e2 – 0,5) x – 4e2 – 1; nB: y =
2
2
2
12e  1
12e  1
3
4
e) tQ: y =  x + 1; nQ: y = x + 1
4
3
e
2
1
1
f) tA: y = –2ex + 3e; nA: y =
x
+ e; tC: y = 
x  2 e ; nC: y =
x
2e
2e
2
e
b) tA: y = (2e – 2)x – e; nA: y = 
122/2
P(e; 1)
123/3
a) D = R+; x1 = 0,5
123/5 (ohne gh)
ln x
1
a)
b)
x
x
l)
c)
b) D = ]–2;  [ x1 = –1
1  2 ln x
x
d)
1
x ln x
e)
1
x
2
4
 e
e
c) D = R\{0}; x1,2 =  1
2  2 ln( 2 x  1)
(2 x  1) 2
f) ln(2x) – 1
i)
1
c) 3 · ln ·
3
1
 
 3
ln x  1
(ln x) 2
k) 
1  ln x
x2
149/4
a) ln 100 · 100
d)
x
2
3
x
2
3
b) 3x · 3 + x · ln 3 · 3 = (3x + ln 3 · x ) · 3
ln 2  2 x  ( x  2)  2 x
( x  2)
x
2

(ln 2  ( x  2)  1)  2 x
( x  2)
2
154/3
1 1
2
4
1
4
a)

b)



ln 2 x
ln 5 4 x  2 ln 5 2 x  1
1
1 1
f)


ln 2 ln x x
e)
x
ln 5  5 x  2 x
5x  x 2
c) 2 · log7x ·
1 1

ln 7 x
x
f) ln 3 · 3x ln x · (ln x + 1)
d)
2 1

ln 7 x
e) log35
Blatt:
1) a) 4ex b) –2ex c) 1 – e–x
2
2
i) –2t e  t
j) –2h e1 h
2) a) (1 + x) ex
f)
e x ( x  1)
x2
b) (x2 + 2x) ex
g) 
e  x ( x  2)
x3
d) 2x + 2e–2x
c) (2x – x2) e–x
h)
e 2 x (4 x  1)
x x
e) 2 e2x – 1
f) –3 e–(1+3x)

1  x
d)  x 
 e
2 x

i)
(1  6 x)e 3 x
(1  2 x)
2
j) 
g) 2 2e
2x
h) –t e–tx
 1

e) 
 3 x  ex
 3 2

3 x

e t (2  t )
(1  t )
2
k) (x – 2) e–x
1
x
l)
2e x
x 2
(1  e )
x 2
(1  e )
x
2x
4) a) 2 (1 + e ) e
f) –(x – 1) e
2
x
5) a)
b)
g)
1 t 1 t
e + te
2
2
o) e2t +
t 2
(1  e )
l) 
1
x (ln x) 2
1
x
i) 
4
x
b)
1
3x
1
2 x ( x  1)
8) a)
1
x ln 2
2x
i)
c) 
j) 
b)
e
h)
1
x
d)
2 x  ( x  1) 2 e  x
c)
x 2
(1  e )
1
x
1
x
i)
f) 
ln x  2
2 x
j)
2
2
x
e
 21t
d) (cos x – sin x) e–x
g)
d)
e

e) 4 (2x – 1) e ( 2 x 1)
2
2
t
h)
6x
2
3x  1
i)
1
2( x  1)
j)
3
2x
cos ln x
x
o)
ln x  2
e)
2x
ln 2 x  2
2 x
f) 
1
x (ln x) 2
g)
2  ln 2a
2 a3
e)
1
x ( x  1)
f)
2
1 x
2
g)
2
x 1
h)
1  2x
2 x(1  2 x)
1
2t  1
1
x ln 3
c)
1
( x  1) ln 2
d) 
1
x ln 2
e)
1
x ln 2
f)
2
(2 x  1) ln 5
g)
( x 2  1) ln 3
Lösungen IV.5
144/1
(bzw. 276/1? h ist dort die 144/i!?)
1
a) –e–x + C b) e3x c) 1 – e–1  0,6321 d) 2,5e2 –0,5e4 – 2e  –14,26
3
1
2
f) 0,5a2 eb + C g) eat+s + C h)  e–2x+3 + C
a
3
144/2
2
t3
1
2x
cos x
sin x
2
1  e t
j)
2t 2
1
x
n)
2 x ln x
c)
d) 
1 2 x
te  t
d)
2 1  e x
1
2(1  ln t )
t
ex
1  2x
e)
m)
b) 2x ln x – x
1 x
1 x
(ln(1  x)) 2
7) a)
c) 
x
2 x
c)
ln(1  x) 
h)
e
1
x
3(ln x) 2
x
–2x
b) 2 (e – e )
 12 ( x 1) 2
6) a) ln x + 1
h)
n)
e t (cos t  sin t )  cos t  t sin t
cos 2 t
x
k)
2e 2t  3e t
(1  x)(1  xe x )
b) 
x 2e2x
e x (1  x  e x )
3) a)
e)
4
m)  x
(e  e  x ) 2
(bzw. 276/2?)
a) ex – e2
b)
1 –6 1 2x
e – e
2
2
c) x2 – ex – a2 + ea
e) a eb + C
3
x ln 2
1  ln x
x2
x
144/3
a)  e dt
(bzw. 276/3?)
t
x
b)
149/5
6
a)
ln 2
x = ln 0,5
b)
32210
ln 11
t
1
3
(114/4
 e dt
uneigentliche Integrale nicht im Lehrplan!)
c)
105
ln 6
d)
30
ln 4
e)
8400
ln 7
f)
3  (3,998046875)
 12

11  ln 2
11  ln 2
130/1
(bzw. 254/1?)
1
1
1
a) x ln x – x + x3 + C b) x ln(2x) – x + x2 + C c) ( (3x + 2) ln(3x + 2) – (3x + 2) ) + C
3
2
3
d) (x – 5) ln(5 – x) + 5 – x + C e) 2 (x ln x – x) + C f) (1 – x) ln(1 – x) – 1 + x
130/2 (bzw. 254/2?)
a) 4 ln 4 – 3  2,55 b) –5 ln 5 + 3,5 ln 7 + 1,5 ln 3  0,41
254/2d d) 2 ln 2  1,39 (???)
(bzw. 298?)
6
2
1
a) 7 –
 3,92 b)
 1,44 c) 1,5 log23 –
 0,93
ln 7
ln 4
ln 2
2
2
e)
 1,24 f)
 3  –1,18
ln 5
ln 3
c) 3 ln 3 – 2  1,30
154/4
d) 
15
+ 45 lg 15 – 30  16,41
ln 10

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