PDF版

豊穣圏
alg-d
http://alg-d.com/math/kan_extension/
2016 年 12 月 25 日
※ この PDF は書きかけ (?) で，証明等にギャップがかなりあります．(とりあえず第一
章は書けました)
大雑把に言うと，HomC (x, y) が集合ではなく，他の (良い) 圏 V の対象になっている
ような C を V -豊穣圏という．豊穣圏においても Kan 拡張を定義することができ，通常
の圏と同様な定理が成り立つ．これを使うと，様々な定理を示すことができる．(全ての
概念は Kan 拡張である!) それを説明することがこの PDF の目的である．
目次
1
豊穣圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1
定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
以降での記法について
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
双対圏 C op . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
V -豊穣圏 V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5
テンソル積 C ⊗ D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.6
V -関手 ⊗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.7
V -関手 C(−, □) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.8
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2
V -自然変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3
エンド . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4
Kan 拡張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5
極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
6
普遍随伴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
1
1 豊穣圏
1.1
定義
この PDF では，モノイダル圏は常に対称モノイダル閉圏で，完備かつ余完備であると
しておく．
定義. V = (V, ⊗, I, α, λ, ρ) をモノイダル圏とする．V -豊穣圏 (V -enriched category) C
とは，以下の条件を満たすものである．
(1) 対象の集まり Ob(C) が与えられている．
(2) a, b ∈ C に対して，V の対象 C(a, b) ∈ V が与えられている．(これを a から b への
射の集まりと考える．)
(3) a, b, c ∈ C に対して，V の射 mabc : C(b, c) ⊗ C(a, b) −→ C(a, c) が与えられている．
(これが射の合成を与えると考える．)
(4) a ∈ C に対して，V の射 ja : I −→ C(a, a) が与えられている．(これが c の恒等射
を与えると考える．)
(5) V における次の図式が可換である．(即ち，結合律が成り立つ)
(
)
C(c, d) ⊗ C(b, c) ⊗ C(a, b)
α
(
)
C(c, d) ⊗ C(b, c) ⊗ C(a, b)
mbcd ⊗id
id⊗mabc
C(b, d) ⊗ C(a, b)
macd
C(c, d) ⊗ C(a, c)
C(a, d)
mabd
(6) V における次の図式が可換である．(即ち，ja は恒等射である．)
I ⊗ C(a, b)
jb ⊗id
λ
C(a, b)
mabb
C(a, b) ⊗ I
id⊗ja
C(b, b) ⊗ C(a, b)
ρ
C(a, b)
maab
C(a, b) ⊗ C(a, a)
また，Ob(C) が集合となるとき，C を小 V -豊穣圏という．
※ この定義から分かるように，豊穣圏は一般のモノイダル圏に対して定義されるが，
始めに注意したようにここでは，モノイダル圏 V は常に対称モノイダル閉圏で，完備
2
かつ余完備であるとする．(この仮定がなくても成り立つ定理も以下にはあるが，ど
の定理にどの仮定が要るかについては特に注意を払わないことにする．)
例 1. Set-豊穣圏が通常の (locally small な) 圏である．
例 2. 2 = {0 → 1} はモノイダル圏である．前順序集合 P を圏とみなすとき
HomP (x, y) ∈ 2 と考えることができる．これにより P を小 2-豊穣圏とみなすことがで
きる．逆に，小 2-豊穣圏は前順序集合とみなすことができる．
例 3. アーベル群の圏 Ab はモノイダル圏である．(積はテンソル ⊗，単位元は巡回群
Z．) R を (可換とは限らない) 単位的環とするとき，Ab-豊穣圏 C を以下のように定める
ことができる．
• Ob(C) := {∗}
• C(∗, ∗) は加法群 R とする．
• 合成 C(∗, ∗) ⊗ C(∗, ∗) −→ C(∗, ∗) は乗法 R × R ∋ (r, s) 7−→ rs ∈ R から定まる射
とする．
• j∗ : Z −→ R を j∗ (1) := 1 で定める．
逆に，Ob(C) = {∗} となるような Ab-豊穣圏 C に対して R := C(∗, ∗) は単位的環である．
この対応により，単位的環と，1 点 Ab-豊穣圏を同一視することができる．また小 Ab-豊
穣圏を ringoid と呼ぶことがある．
例 4. k を可換環とする．k 加群の余鎖複体 {X n , dn }n∈Z がなす圏を Ch(k) で表す．
Ch(k) はテンソル積
(X ⊗ Y )n =
⊕
Xp ⊗ Y q
p+q=n
dX⊗Y := dX ⊗ idY + idX ⊗ dY
によりモノイダル圏となる．Ch(k)-豊穣圏を dg-k-圏，もしくは単に dg 圏という (dg は
diﬀerential graded の略)．対象が一つの dg 圏を dg 代数という．
例 5. R+ := {x ∈ R | x ≥ 0} ∪ {∞} に ≥ により順序を入れて圏としたとき，これは +
を積，0 を単位元とするモノイダル圏である．(X, d) を距離空間としたとき，R+ -豊穣圏
C を以下のように定めることができる．
• Ob(C) := X
3
• C(a, b) := d(a, b)
• 三角不等式 d(b, c) + d(a, b) ≥ d(a, c) が成り立つから，射 C(b, c) + C(a, b) −→
C(a, c) が一意に存在する．これにより m を定める．
• d(a, a) = 0 だから射 0 −→ C(a, a) が一意に存在する．これにより ja を定める．
こうして，R+ -豊穣圏を一般化された距離空間と見なすことができる．
例 6. モノイダル圏 V に対して，I を
• Ob(I) := {∗}
• I(∗, ∗) := I
• m∗∗∗ := λ : I ⊗ I −→ I
• j∗ := id∗ : I −→ I
で定めれば，これは V -豊穣圏になる．これを単位 V -豊穣圏という．
定義. C, D を V -豊穣圏とする．V -関手 F : C −→ D とは以下の条件を満たすもので
ある．
(1) 各対象 a ∈ C に対して，対象 F a ∈ D が与えられている．
(2) a, b ∈ C に対して，V の射 Fab : C(a, b) −→ D(F a, F b) が与えられている．
(3) 次の図式が可換である．(即ち合成と可換である．)
mabc
C(b, c) ⊗ C(a, b)
Fbc ⊗Fab
C(a, c)
Fac
D(F b, F c) ⊗ D(F a, F b)
mF aF bF c
D(F a, F c)
(4) a ∈ C に対して次の図式が可換である．(即ち恒等射を保つ．)
I
ja
C(a, a)
Faa
jF a
D(F a, F a)
例 7. Set-関手は通常の関手である．
例 8. 2-関手は順序を保つ写像である．
4
例 9. 距離空間 (X, dX ), (Y, dY ) を R+ -豊穣圏とみなす．F : X −→ Y を R+ -関手とす
る．定義より，x, y ∈ X に対して R+ の射 Fxy : X(x, y) −→ Y (F x, F y) が存在するか
ら dX (x, y) ≥ dY (F x, F y) である．即ち F は Lipschitz 定数が 1 以下の Lipschitz 連続
写像である．
A, B, C を V -豊穣圏，F : A −→ B ，G : B −→ C を V -関手とする．
• a ∈ A に対して (GF )a := G(F a)．
• a, b ∈ A に対して (GF )ab := GF aF b ◦ Fab : A(a, b) −→ C(GF a, GF b)．
と定めれば，GF は V -関手 A −→ C となる．
. .
. ) 次の図式から明らか．
mabc
A(b, c) ⊗ A(a, b)
A(a, c)
Fbc ⊗Fab
Fac
B(F b, F c) ⊗ B(F a, F b)
mF aF bF c
B(F a, F c)
GF bF c ⊗GF aF b
GF aF c
C(GF b, GF c) ⊗ C(GF a, GF b)
mGF aGF bGF c
C(GF a, GF c)
A(a, a)
ja
I
Faa
jF a
B(F a, F a)
GF aF a
jGF a
C(GF a, GF a)
これを V -関手の合成とすることで，対象を V -豊穣圏，射を V -関手とする (通常の) 圏
が定まることが分かる．この圏を V -Cat と書く．
1.2
以降での記法について
特別な V の場合を除いて，V -豊穣圏 C の「射」f ∈ C(a, b) を取ることはできない．そ
こで代わりに (既に見てきた通り) V の射 f : I −→ C(a, b) を考えることがある．以降で
V
は，この f : I −→ C(a, b) を単に C の射と呼び，記号で f : a −−→ b と表すことにする．
V
V
f : a −−→ b，g : b −−→ c とする．即ち f : I −→ C(a, b)，g : I −→ C(b, c) である．この
5
V
とき合成 g ◦ f : a −−→ c を
λ−1
g⊗f
m
I −−→ I ⊗ I −−−→ C(b, c) ⊗ C(a, b) −→ C(a, c)
により定める．この合成は結合律を満たす．
. .
V
V
V
V
. ) f : a −−→ b，g : b −−→ c，h : c −−→ d とする．定義より (h ◦ g) ◦ f : a −−→ d は
λ−1
λ−1 ⊗id
(h⊗g)⊗f
I −−→ I ⊗ I −−−−−→ (I ⊗ I) ⊗ I −−−−−−→ (C(c, d) ⊗ C(b, c)) ⊗ C(a, b)
m⊗id
m
−−−→ C(b, d) ⊗ C(a, b) −→ C(a, d)
V
であり，h ◦ (g ◦ f ) : a −−→ d は
λ−1
id⊗λ−1
h⊗(g⊗f )
I −−→ I ⊗ I −−−−−→ I ⊗ (I ⊗ I) −−−−−−→ C(c, d) ⊗ (C(b, c) ⊗ C(a, b))
id⊗m
m
−−−→ C(c, d) ⊗ C(a, c) −→ C(a, d)
である．次の図式を考える．
λ−1 ⊗id
I ⊗I
id⊗λ−1
(I ⊗ I) ⊗ I
(h⊗g)⊗f
(C(c, d) ⊗ C(b, c)) ⊗ C(a, b)
m⊗id
C(b, d) ⊗ C(a, b)
m
(V )
α
(α)
(C)
α
C(a, d))
m
I ⊗ (I ⊗ I)
h⊗(g⊗f )
C(c, d) ⊗ (C(b, c) ⊗ C(a, b))
id⊗m
C(c, d) ⊗ C(a, c)
(V ) の部分は，モノイダル圏の性質から可換である．(α) の部分は α の自然性から可
換である．(C) の部分は豊穣圏の定義から可換である．よってこの図式は可換であり，
したがって (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) が分かった．
V
V
F : C −→ D を V -関手とする．C の射 f : a −−→ b に対して D の射 F (f ) : F a −−→ F b
f
F
を合成 I −
→ C(a, b) −
→ D(F a, F b) で定義する．このとき F (g ◦ f ) = F g ◦ F f ，F (ja ) =
jF a である．
1.3
双対圏 C op
今 V は対称だから，u, v ∈ V について自然な V の同型射 γuv : u ⊗ v −→ v ⊗ u が与え
られている．
6
命題 10. V -豊穣圏 C に対して，C op を
• Ob(C op ) := Ob(C)
• C op (a, b) := C(b, a)
• 合成は
C op (b, c) ⊗ C op (a, b) = C(c, b) ⊗ C(b, a)
γ
−
→ C(b, a) ⊗ C(c, b)
m
−−cba
−→ C(c, a)
= C op (a, c)
とする．
• 恒等射は ja : I −→ C(a, a) = C op (a, a) とする．
により定義すれば，これは V -豊穣圏 C op を与える．
証明. その為には次の 3 つの図式が可換であることを示せばよい．
(
(
)
α
)
(V )
C(d, c) ⊗ C(c, b) ⊗ C(b, a)
γ⊗id
C(c, b) ⊗ C(d, c) ⊗ C(b, a)
(
id⊗γ
(
)
C(d, c) ⊗ C(b, a) ⊗ C(c, b)
γ
mdcb ⊗id
)
C(d, c) ⊗ C(c, b) ⊗ C(b, a)
γ
(
)
C(b, a) ⊗ C(c, b) ⊗ C(d, c)
α
(
)
C(b, a) ⊗ C(c, b) ⊗ C(d, c)
(γ)
C(d, b) ⊗ C(b, a)
id⊗mcba
(γ)
C(d, c) ⊗ C(c, a)
mcba ⊗id
id⊗mdcb
(C)
γ
γ
C(b, a) ⊗ C(d, b)
C(c, a) ⊗ C(d, c)
mdba
mdca
C(d, a)
λ
I ⊗ C(b, a)
γ
(V )
C(b, a) ⊗ I
(γ)
(C)
id⊗jb
C(b, b) ⊗ C(b, a)
C(b, a)
ρ
C(b, a) ⊗ I
ρ
γ
(V )
I ⊗ C(b, a)
(γ)
(C)
ja ⊗id
C(b, a) ⊗ C(a, a)
jb ⊗id
C(b, a)
λ
id⊗ja
mbba
γ
γ
C(b, a) ⊗ C(b, b)
mbaa
C(a, a) ⊗ C(b, a)
7
(γ) は γ の自然性から可換である．(V ) はモノイダル圏の性質から可換である．(C) は C
が V -豊穣圏であるから可換である．以上によりこれらの図式は可換である．
1.4
V -豊穣圏 V
今 V がモノイダル閉だから，x, y, z ∈ V に対して HomV (x ⊗ y, z) ∼
= HomV (x, [y, z])
が成り立つ．この随伴で合成
α
id⊗ev
ev
([y, z] ⊗ [x, y]) ⊗ x −
→ [y, z] ⊗ ([x, y] ⊗ x) −−−−→ [y, z] ⊗ y −→ z
に対応する射を mxyz : [y, z] ⊗ [x, y] −→ [x, z] とする．
補題 11. 次の図式は可換である．
([y, z] ⊗ [x, y]) ⊗ x
α
[y, z] ⊗ ([x, y] ⊗ x)
mxyz ⊗id
id⊗ev
[x, z] ⊗ x
[y, z] ⊗ y
ev
ev
z
証明. ev が随伴 − ⊗ y ⊣ [y, −] の counit だから，f : x ⊗ y −→ z に対応する射を
g : x −→ [y, z] とするとき f = ev ◦ (g ⊗ idy ) である．
x⊗y
f
g⊗id
[y, z] ⊗ y
ev
z
故に m の定義より，与えられた図式が可換であることが分かる．
命題 12. V を
• Ob(V) := Ob(V )
• V(x, y) := [x, y]
• 合成は上で定義した mxyz : [y, z] ⊗ [x, y] −→ [x, z] とする．
• 恒等射 jx : I −→ [x, x] は λ : I ⊗ x −→ x に対応するものを取る．
により定義すれば，これは V -豊穣圏 V を与える．
8
証明. m が結合律を満たすことを示すため，次の図式を考える．
(id⊗m)⊗id
([z, w] ⊗ ([y, z] ⊗ [x, y])) ⊗ x
([z, w] ⊗ [x, z]) ⊗ x
(α)
α
α
id⊗(m⊗id)
[z, w] ⊗ (([y, z] ⊗ [x, y]) ⊗ x)
[z, w] ⊗ ([x, z] ⊗ x)
(m)
id⊗ev
[z, w] ⊗ ([y, z] ⊗ y))
id⊗α
id⊗ev
[z, w] ⊗ z
id⊗(id⊗ev)
ev
[z, w] ⊗ ([y, z] ⊗ ([x, y] ⊗ x))
w
(m)
α
ev
(α)
([z, w] ⊗ [y, z]) ⊗ y
α
(id⊗id)⊗ev
([z, w] ⊗ [y, z]) ⊗ ([x, y] ⊗ x)
(∗)
m⊗(id⊗id)
(α)
α
(([z, w] ⊗ [y, z]) ⊗ [x, y]) ⊗ x
m⊗id
(m⊗id)⊗id
[y, w] ⊗ y
id⊗ev
[y, w] ⊗ ([x, y] ⊗ x)
α
([y, w] ⊗ [x, y]) ⊗ x
(α) の部分は α の自然性から可換である．(m) の部分は補題 11 で見た通り可換である．
(∗) も明らかに可換である．従って次の図式が可換である．(ここで一番左の縦列につい
9
て，モノイダル圏の条件を使った．)
([z, w] ⊗ ([y, z] ⊗ [x, y])) ⊗ x
(id⊗m)⊗id
([z, w] ⊗ [x, z]) ⊗ x
α
[z, w] ⊗ ([x, z] ⊗ x)
id⊗ev
[z, w] ⊗ z
ev
w
α⊗id
ev
[y, w] ⊗ y
id⊗ev
[y, w] ⊗ ([x, y] ⊗ x)
α
(([z, w] ⊗ [y, z]) ⊗ [x, y]) ⊗ x
(m⊗id)⊗id
([y, w] ⊗ [x, y]) ⊗ x
よって随伴 − ⊗ x ⊣ [x, −] により次が可換であることが分かる．
id⊗m
[z, w] ⊗ ([y, z] ⊗ [x, y])
[z, w] ⊗ [x, z]
m
[x, w]
α
m
([z, w] ⊗ [y, z]) ⊗ [x, y]
[y, w] ⊗ [x, y]
m⊗id
従って結合律が成り立つことが分かった．
次に
λ
I ⊗ [x, y]
[x, y]
m
jy ⊗id
[y, y] ⊗ [x, y]
が可換であることを示す．λ : I ⊗ [x, y] −→ [x, y] に随伴 − ⊗ x ⊣ [x, −] で対応するのは
10
ev ◦ (λ ⊗ id) であるから
[x, y] ⊗ x
λ⊗id
λ
(V )
α
(I ⊗ [x, y]) ⊗ x
(jy ⊗id)⊗id
([y, y] ⊗ [x, y]) ⊗ x
α
id⊗ev
I ⊗ ([x, y] ⊗ x)
jy ⊗(id⊗id)
(α)
ev
(λ)
(∗)
[y, y] ⊗ ([x, y] ⊗ x)
I ⊗y
(j)
jy ⊗id
id⊗ev
λ
y
ev
[y, y] ⊗ y
が可換であることを示せばよい．(α) の部分は α の自然性から可換である．(λ) の部分は
λ の自然性から可換である．(j) の部分は jy の定義から可換である．(V ) の部分はモノイ
ダル圏の定義から可換である．(∗) の部分は明らかに可換である．以上によりこの図式が
可換であることが分かった．
ρ
[x, y] ⊗ I
[x, y]
m
id⊗jx
[x, y] ⊗ [x, x]
についても同様に
ρ⊗id
([x, y] ⊗ I) ⊗ x
α
id⊗λ
id⊗(jx ⊗id)
(id⊗jx )⊗id
([x, y] ⊗ [x, x]) ⊗ x
[x, y] ⊗ (I ⊗ x)
α
[x, y] ⊗ x
ev
y
id⊗ev
[x, y] ⊗ ([x, x] ⊗ x)
が可換であることから分かる．
以上により V は V -豊穣圏である．
こうして V は自然に V -豊穣圏となる．定義から分かるように HomV (x ⊗ y, z) ∼
=
HomV (x, V(y, z)) が成り立つ．また w ∈ V に対して自然に
HomV (w, V(x ⊗ y, z)) ∼
= HomV (w ⊗ (x ⊗ y), z)
∼
= HomV ((w ⊗ x) ⊗ y, z)
∼
= HomV (w ⊗ x, V(y, z))
∼
= HomV (w, V(x, V(y, z)))
11
であるから，米田の補題により V(x ⊗ y, z) ∼
= V(x, V(y, z)) が分かる．今 V が対称だか
ら V(x, V(y, z)) ∼
= V(x ⊗ y, z) ∼
= V(y ⊗ x, z) ∼
= V(y, V(x, z)) となる．
V
定義より HomV (x, y) ∼
= HomV (I, V(x, y)) だから，V の射 x −−→ y と (通常の意味で
V
の) V の射 x −→ y が一対一に対応する．f : x −−→ y ，即ち f : I −→ V(x, y) としたと
き，これに対応する f ′ : x −→ y は f ′ = ev ◦ (f ⊗ id) ◦ λ−1 で与えられる．
x
f′
λ−1
I ⊗x
y
f ⊗id
ev
V(x, y) ⊗ x
1.5
テンソル積 C ⊗ D
命題 13. V -豊穣圏 C, D に対して C ⊗ D を
• Ob(C ⊗ D) := Ob(C) × Ob(D)
• C ⊗ D(⟨c0 , d0 ⟩, ⟨c1 , d1 ⟩) := C(c0 , c1 ) ⊗ D(d0 , d1 )
• 合成は
(
) (
)
C ⊗ D(⟨c1 , d1 ⟩, ⟨c2 , d2 ⟩) ⊗ C ⊗ D(⟨c0 , d0 ⟩, ⟨c1 , d1 ⟩)
(
) (
)
= C(c1 , c2 ) ⊗ D(d1 , d2 ) ⊗ C(c0 , c1 ) ⊗ D(d0 , d1 )
δ
−
→ C(c1 , c2 ) ⊗ C(c0 , c1 ) ⊗ D(d1 , d2 ) ⊗ D(d0 , d1 )
m⊗m
−−−−→ C(c0 , c2 ) ⊗ D(d0 , d2 )
= C ⊗ D(⟨c0 , d0 ⟩, ⟨c2 , d2 ⟩)
から得られる射とする．ここで δ = δuvwx は合成
id⊗α−1
α
id⊗(γ⊗id)
(uv)(wx) −
→ u(v(wx)) −−−−−→ u((vw)x) −−−−−−→ u((wv)x)
id⊗α
α−1
−−−→ u(w(vx)) −−→ (uw)(vx)
を表す．
λ−1
jc ⊗jd
• 恒等射は I −−→ I ⊗ I −−−−→ C ⊗ D(⟨c, d⟩, ⟨c, d⟩) とする．
により定義すれば，これは V -豊穣圏 C ⊗ D を与える．
12
証明. まず結合律については，次の図式が可換であることから分かる．(ここでスペース
の都合上，C(a, b) を Cab と表記し，⊗ は省略した．また名前のついていない矢印は α と
γ を組み合わせてできる射である．)
α
((Ccd Dc′ d′ )(Cbc Db′ c′ ))(Cab Da′ b′ )
(Ccd Dc′ d′ )((Cbc Db′ c′ )(Cab Da′ b′ ))
((Ccd Cbc )(Dc′ d′ Db′ c′ ))(Cab Da′ b′ )
(Ccd Dc′ d′ )((Cbc Cab )(Db′ c′ Da′ b′ ))
((Ccd Cbc )Cab )((Dc′ d′ Db′ c′ )Da′ b′ )
α
(Ccd (Cbc Cab ))(Dc′ d′ (Db′ c′ Da′ b′ ))
(m⊗m)⊗id
id⊗(m⊗m)
(Cbd Db′ d′ )(Cab Da′ b′ )
(m⊗id)⊗(m⊗id)
(Cbd Cab )(Db′ d′ Da′ b′ )
m⊗m
(Ccd Dc′ d′ )(Cac Da′ c′ )
(id⊗m)⊗(id⊗m)
(Ccd Cac )(Dc′ d′ Da′ c′ )
m⊗m
Cad Da′ d′
また恒等射については次の図式が可換であることを示せばよい．
I(Cab Da′ b′ )
(V )
α−1
(ICab )Da′ b′
λ−1 ⊗id
Cab (Da′ b′ I)
id⊗λ−1
m⊗id
(C)
(Cbb Cab )Da′ b′
(∗)
(id⊗id)⊗λ
(jb ⊗id)⊗(id⊗id)
δ
(Cab Da′ b′ )I
(V )
α
(∗)
(jb ⊗id)⊗(id⊗id)
ρ
(Cbb Cab )(IDa′ b′ )
ρ−1 ⊗(id⊗id)
(∗)
(Cbb I)(Cab Da′ b′ )
(Cab Da′ b′ )(II)
(δ)
(id⊗id)⊗m
(D)
(Cbb Cab )(Db′ b′ Da′ b′ )
(δ)
δ −1
(Cbb Db′ b′ )(Cab Da′ b′ )
(id⊗jb′ )⊗(id⊗id)
id
id⊗m
(D)
Cab (Da′ b′ Da′ a′ )
(∗)
ρ⊗(id⊗id)
Cab Da′ b′
(∗)
id⊗m
id
ρ⊗(id⊗id)
(Cab I)(Da′ b′ Da′ a′ )
(id⊗id)⊗(id⊗ja′ )
δ
(Cbb Cab )Da′ b′
(id⊗id)⊗(jb′ ⊗id)
id⊗ρ
(Cab I)(Da′ b′ I)
(V )
(id⊗id)⊗λ
Cab Da′ b′
id⊗(id⊗ja′ )
m⊗id
id
δ −1
(δ)
Cab Da′ b′
(∗)
λ⊗id
(id⊗id)⊗λ−1
(II)(Cab Da′ b′ )
id
Cab Da′ b′
(jb ⊗id)⊗id
(ICab )(IDa′ b′ )
(V )
λ
Cab (Da′ b′ Da′ a′ )
m⊗(id⊗id)
(C)
(Cab Caa )(Da′ b′ Da′ a′ )
(id⊗ja )⊗(id⊗id)
δ −1
(Cab Da′ b′ )(IDa′ a′ )
(δ)
δ −1
(Cab Da′ b′ )(Caa Da′ a′ )
(id⊗id)⊗(ja ⊗id)
(id⊗id)⊗(id⊗ja′ )
13
(V ) はモノイダル圏の性質から可換である．(δ) は δ の自然性から可換である．(C)，(D)
は豊穣圏の定義から可換である．(∗) は明らかに可換である．以上によりこれらの図式は
可換である
命題 14. A, B, C を V -豊穣圏，T : A ⊗ B −→ C を V -関手とする．a ∈ A，b, c ∈ B に対
して V の射 T (a, −)bc を合成
λ−1
ja ⊗id
T
B(b, c) −−→ I ⊗ B(b, c) −−−−→ A(a, a) ⊗ B(b, c) −
→ C(T (a, b), T (a, c))
により定義すると，これは V -関手 T (a, −) : B −→ C を定める．同様にして V -関手
T (−, b) : A −→ C も得られる．
証明. まず次の図式が可換であることを示す．
m
B(c, d) ⊗ B(b, c)
B(b, d)
T (a,−)cd ⊗T (a,−)bc
T (a,−)bd
C(T (a, c), T (a, d)) ⊗ C(T (a, b), T (a, c))
C(T (a, b), T (a, d))
m
即ち，次の図式の一番外側が可換であることを示せばよい．(ここでスペースの都合上，
A(a, b) を Aab と表記した．また ⊗ は省略した．)
id
Bcd Bbc
λ−1 ⊗id
(V )
α
(IBcd )Bbc
(id⊗id)⊗λ−1
(V )
(IBcd )(IBbc )
(ja ⊗id)⊗(ja ×id)
(δ)
m
Bcd Bbc
λ−1
(II)(Bcd Bbc )
δ
(id⊗id)⊗m
(II)Bbd
λ⊗id
(ja ⊗ja )⊗id
(∗)
(Aaa Aaa )(Bcd Bbc )
(Aaa Aaa )Bbd
(id⊗id)⊗m
T ⊗T
C(T (a, c), T (a, d)) ⊗ C(T (a, b), T (a, c))
λ−1
(V )
λ−1 ⊗id
(∗)
δ
(ja ⊗ja )⊗(id×id)
(Aaa Bcd )(Aaa Bbc )
IBbd
id⊗m
λ−1 ⊗(id⊗id)
Bbd
λ−1
(λ)
I(Bcd Bbc )
id
Bbd
m⊗id
IBbd
(j)
ja ⊗id
Aaa Bbd
T
(T )
m
C(T (a, b), T (a, d))
ここで δ は C ⊗ D の定義で使用した δ である．(V ) はモノイダル圏の性質から可換であ
る．(λ) は λ の自然性から可換である．(δ) は δ の自然性から可換である．(∗) は明らか
14
に可換である．(j) は次の図式により可換である．
λ
I ⊗I
I
ja
id⊗ja
λ
I ⊗ A(a, a)
ja ⊗id
A(a, a)
m
A(a, a) ⊗ A(a, a)
(T ) は T が V -関手だから可換である．以上によりこの図式は可換である．
後は，次の図式が可換であることを示せばよい．
jb
I
B(b, b)
Fbb
jT (a,b)
C(T (a, b), T (a, b))
即ち次の図式の一番外側が可換であることを示せばよい．
jb
I
B(b, b)
(λ)
λ−1
λ−1
id⊗jb
I ⊗I
I ⊗ B(b, b)
(∗) ja ⊗id
ja ⊗jb
A(a, a) ⊗ B(b, b)
(T )
jT (a,b)
T
C(T (a, b), T (a, b))
(λ) は λ の自然性から可換である．(∗) は明らかに可換である．(T ) は T が V -関手であ
ることから可換である．以上によりこの図式は可換である．
補題 15. A, B, C を V -豊穣圏とする．a ∈ A に対して V -関手 Fa : B −→ C が与えら
れ，b ∈ B に対して V -関手 Gb : A −→ C が与えられ，Fa b = Gb a を満たすとする．また
15
a, b ∈ A，c, d ∈ B に対して，次の実線部が可換であるとする．
A(a, b) ⊗ B(c, d)
Gd ⊗Fa
C(Gd a, Gd b) ⊗ C(Fa b, Fa d)
m
T
C(Fa c, Gd b)
γ
m
B(c, d) ⊗ A(a, b)
Fb ⊗Gc
C(Fb c, Fb d) ⊗ C(Gc a, Gc b)
このとき T (a, b) := Fa b = Gb a，T⟨a,b⟩,⟨c,d⟩ := m ◦ (Gd ⊗ Fa ) と定義すれば，これは
T (a, −) = Fa ，T (−, b) = Gb を満たす V -関手 T : A ⊗ B −→ C を与える．
証明. まず次の図式が可換であることを示す．
(A(c, s) ⊗ B(d, t)) ⊗ (A(a, c) ⊗ B(b, d))
m
T ⊗T
A(a, s) ⊗ B(b, t)
T
C(T (c, d), T (s, t)) ⊗ C(T (a, b), T (c, d))
m
C(T (a, b), T (s, t))
その為に次の図式を考える．(ここでスペースの都合上，A(a, b) を Aab と表記した．
16
C(a, b) については ⟨a, b⟩ という記法も使った．またテンソル積 ⊗ は省略した．)
(Gt ⊗id)⊗(Gd ⊗id)
(Acs Bdt )(Aac Bbd )
α
(⟨Gt c, Gt s⟩Bdt )(⟨Gd a, Gd c⟩Bbd )
α
Acs (Bdt (Aac Bbd ))
⟨Gt c, Gt s⟩(Bdt (⟨Gd a, Gd c⟩Bbd ))
(α)
id⊗α−1
id⊗α−1
Gt ⊗((id⊗id)⊗id)
id⊗((id⊗Gd )⊗id)
⟨Gt c, Gt s⟩((Bdt Aac )Bbd )
⟨Gt c, Gt s⟩((Bdt ⟨Gd a, Gd c⟩)Bbd )
Acs ((Bdt Aac )Bbd )
(γ)
id⊗(γ⊗id)
id⊗(γ⊗id)
Gt ⊗((id⊗id)⊗id)
id⊗((Gt ⊗id)⊗id)
⟨Gt c, Gt s⟩((Aac Bdt )Bbd )
⟨Gt c, Gt s⟩((⟨Gt a, Gt c⟩Bdt )Bbd )
Acs ((Aac Bdt )Bbd )
id⊗α
id⊗α
(α)
Acs (Aac (Bdt Bbd ))
α−1
(Acs Aac )(Bdt Bbd )
(id⊗id)⊗m
(Acs Aac )Bbt
m⊗id
Aas Bbt
⟨Gt c, Gt s⟩(⟨Gt a, Gt c⟩(Bdt Bbd ))
(Gt ⊗Gt )⊗(id⊗id)
(∗)
α−1
(⟨Gt c, Gt s⟩⟨Gt a, Gt c⟩)(Bdt Bbd )
(id⊗id)⊗m
(Gt ⊗Gt )⊗id
(⟨Gt c, Gt s⟩⟨Gt a, Gt c⟩)Bbt
m⊗id
(Gt )
⟨Gt a, Gt s⟩Bbt
Gt ⊗id
(α) は α の自然性から可換である．(γ) は γ の自然性から可換である．(Gt ) は Gt が V 関手であることから可換である．(∗) は明らかに可換である．以上により，この図式は可
17
換である．次の図式を考える．
(id⊗Fc )⊗(id⊗Fa )
(⟨Gt c, Gt s⟩⟨Fc d, Fc t⟩)(⟨Gd a, Gd c⟩⟨Fa b, Fa d⟩)
(⟨Gt c, Gt s⟩Bdt )(⟨Gd a, Gd c⟩Bbd )
α
α
⟨Gt c, Gt s⟩(Bdt (⟨Gd a, Gd c⟩Bbd ))
⟨Gt c, Gt s⟩(⟨Fc d, Fc t⟩(⟨Gd a, Gd c⟩⟨Fa b, Fa d⟩))
id⊗α−1
(α)
id⊗α−1
⟨Gt c, Gt s⟩((⟨Fc d, Fc t⟩⟨Gd a, Gd c⟩)⟨Fa b, Fa d⟩)
id⊗((id⊗id)⊗Fa )
id⊗((Fc ⊗id)⊗id)
⟨Gt c, Gt s⟩((Bdt ⟨Gd a, Gd c⟩)Bbd )
⟨Gt c, Gt s⟩((⟨Fc d, Fc t⟩⟨Gd a, Gd c⟩)Bbd )
id⊗(m⊗id)
⟨Gt c, Gt s⟩(⟨Gd a, Fc t⟩Bbd )
id⊗(m⊗id)
id⊗((id⊗Fa )⊗id)
⟨Gt c, Gt s⟩((⟨Gt a, Gt c⟩Bdt )Bbd )
⟨Gt c, Gt s⟩((⟨Gt a, Gt c⟩⟨Fa d, Fa t⟩)Bbd )
id⊗((id⊗id)⊗Fa )
id⊗α
⟨Gt c, Gt s⟩((⟨Gt a, Gt c⟩⟨Fa d, Fa t⟩)⟨Fa b, Fa d⟩)
(α)
⟨Gt c, Gt s⟩(⟨Gt a, Gt c⟩(Bdt Bbd ))
id⊗α
⟨Gt c, Gt s⟩(⟨Gt a, Gt c⟩(⟨Fa d, Fa t⟩⟨Fa b, Fa d⟩))
α−1
(id⊗id)⊗(Fa ⊗Fa )
(⟨Gt c, Gt s⟩⟨Gt a, Gt c⟩)(Bdt Bbd )
(⟨Gt c, Gt s⟩⟨Gt a, Gt c⟩)(⟨Fa d, Fa t⟩⟨Fa b, Fa d⟩)
α
−1
(id⊗id)⊗m
(⟨Gt c, Gt s⟩⟨Gt a, Gt c⟩)Bbt
m⊗id
⟨Gt a, Gt s⟩Bbt
(Fa )
(id⊗id)⊗Fa
(id⊗id)⊗m
(⟨Gt c, Gt s⟩⟨Gt a, Gt c⟩)⟨Fa b, Fa t⟩
m⊗id
(∗)
⟨Gt a, Gt s⟩⟨Fa b, Fa t⟩
id⊗Fa
(α) は α の自然性から可換である．(Fa ) は Fa が V -関手であることから可換である．(∗)
18
は明らかに可換である．以上により，この図式も可換である．次の図式を考える．
(id⊗id)⊗m
(⟨Gt c, Gt s⟩⟨Fc d, Fc t⟩)(⟨Gd a, Gd c⟩⟨Fa b, Fa d⟩)
(⟨Gt c, Gt s⟩⟨Fc d, Fc t⟩)⟨Fa b, Gd c⟩
(α)
α
⟨Gt c, Gt s⟩(⟨Fc d, Fc t⟩(⟨Gd a, Gd c⟩⟨Fa b, Fa d⟩))
α
⟨Gt c, Gt s⟩(⟨Fc d, Fc t⟩⟨Fa b, Gd c⟩)
id⊗(id⊗m)
id⊗α
−1
⟨Gt c, Gt s⟩((⟨Fc d, Fc t⟩⟨Gd a, Gd c⟩)⟨Fa b, Fa d⟩)
(m)
id⊗((id⊗id)⊗Fa )
id⊗(m⊗id)
⟨Gt c, Gt s⟩((⟨Fc d, Fc t⟩⟨Gd a, Gd c⟩)Bbd )
(∗)
id⊗(m⊗id)
id⊗(id⊗Fa )
⟨Gt c, Gt s⟩(⟨Gd a, Fc t⟩Bbd )
id⊗(m⊗id)
⟨Gt c, Gt s⟩(⟨Gd a, Fc t⟩⟨Fa b, Fa d⟩)
(∗)
id⊗m
⟨Gt c, Gt s⟩((⟨Gt a, Gt c⟩⟨Fa d, Fa t⟩)Bbd )
id⊗m
id⊗(m⊗id)
id⊗((id⊗id)⊗Fa )
(m)
⟨Gt c, Gt s⟩((⟨Gt a, Gt c⟩⟨Fa d, Fa t⟩)⟨Fa b, Fa d⟩)
⟨Gt c, Gt s⟩⟨Fa b, Gt c⟩
id⊗m
id⊗α
id⊗(id⊗m)
⟨Gt c, Gt s⟩(⟨Gt a, Gt c⟩(⟨Fa d, Fa t⟩⟨Fa b, Fa d⟩))
α
−1
⟨Gt c, Gt s⟩(⟨Gt a, Gt c⟩⟨Fa b, Fa t⟩)
m
(α)
(⟨Gt c, Gt s⟩⟨Gt a, Gt c⟩)(⟨Fa d, Fa t⟩⟨Fa b, Fa d⟩)
α−1
(id⊗id)⊗m
(⟨Gt c, Gt s⟩⟨Gt a, Gt c⟩)⟨Fa b, Fa t⟩
(m)
(m)
m⊗id
⟨Gt a, Gt s⟩⟨Fa b, Fa t⟩
m
⟨Fa b, Gt s⟩
m
⟨Fc d, Gt s⟩⟨Fa b, Gd c⟩
m⊗id
(α) は α の自然性から可換である．(m) は豊穣圏の定義から可換である．(∗) は明らかに
可換である．以上によりこの図式も可換である．以上の図式を組み合わせれば，示した
19
かった図式の可換性が分かる (次の図式を参照)．
T ⊗T
(Acs Bdt )(Aac Bbd )
m
Aas Bbt
⟨Fa b, Gt s⟩
T
m
⟨Fc d, Gt s⟩⟨Fa b, Gd c⟩
次に，次の図式が可換であることを示す．
I
j⟨a,b⟩
A(a, a) ⊗ B(b, b)
T
jT (a,b)
C(T (a, b), T (a, b))
その為には次の図式の一番外側が可換であることを示せばよい．
I
λ−1
I ⊗I
id⊗jb
I ⊗ B(b, b)
(Fa )
id⊗jFa b
ja ⊗id
id⊗Fa jG a ⊗id
b
I ⊗ C(Fa b, Fa b)
(∗)
C(Gb a, Gb a) ⊗ B(b, b)
jGb a ⊗id
(λ)
λ
jFa b
A(a, a) ⊗ B(b, b)
(Gb ) Gb ⊗id
id⊗Fa
C(Gb a, Gb a) ⊗ C(Fa b, Fa b)
(∗∗)
m
C(Fa b, Gb a)
(Fa )，(Gb ) は Fa , Gb が V -関手だから可換である．(λ) は λ の自然性から可換である．
(∗) は明らかに可換である．(∗∗) は豊穣圏の定義から可換である．
以上により T は V -関手である．また，T (a, −)bc は定義から，合成
λ−1
ja ⊗id
B(b, c) −−→ I ⊗ B(b, c) −−−−→ A(a, a) ⊗ B(b, c)
G ⊗F
a
−−c−−→
C(T (a, c), T (a, c)) ⊗ C(T (a, b), T (a, c))
m
−→ C(T (a, b), T (a, c))
20
と一致する．よって次の図式により T (a, −) = Fa が分かる．
λ−1
B(b, c)
ja ⊗id
I ⊗ B(b, c)
id⊗Fa
Fa
j⊗id
I ⊗ C(T (a, b), T (a, c))
(λ)
(j)
λ
C(T (a, b), T (a, c))
A(a, a) ⊗ B(b, c)
(Gc )
Gc ⊗id
(∗)
C(T (a, c), T (a, c)) ⊗ B(b, c)
id⊗Fa
j⊗id
id⊗m
C(T (a, c), T (a, c)) ⊗ C(T (a, b), T (a, c))
但し (λ) は λ の自然性により可換である．(Gc ) は Gc が V -関手であるから可換である．
j は C が V -豊穣圏であるから可換である．(∗) は明らかに可換である．
同様にして T (−, b) = Gb も分かる．
1.6
V -関手 ⊗
命題 16. x ∈ V とする．F を
• u ∈ V に対して F u := u ⊗ x．
• u, v ∈ V に対して Fuv : [u, v] −→ [u ⊗ x, v ⊗ x] を
α−1
ev⊗id
[u, v] ⊗ (u ⊗ x) −−→ ([u, v] ⊗ u) ⊗ x −−−−→ v ⊗ x
に対応する射とする．
により定めれば，これは V -関手 F : V −→ V を与える．
証明. まず次の図式が可換であることを示す．
m
[v, w] ⊗ [u, v]
[u, w]
Fvw ⊗Fuv
Fuw
[v ⊗ x, w ⊗ x] ⊗ [u ⊗ x, v ⊗ x]
21
m
[u ⊗ x, w ⊗ x]
その為には随伴により次の図式が可換であることを示せばよい．
m⊗(id⊗id)
([v, w] ⊗ [u, v]) ⊗ (u ⊗ x)
[u, w] ⊗ (u ⊗ x)
α−1
([u, w] ⊗ u) ⊗ x
(Fvw ⊗Fuv )⊗(id⊗id)
ev⊗id
([v ⊗ x, w ⊗ x] ⊗ [u ⊗ x, v ⊗ x]) ⊗ (u ⊗ x)
w⊗x
ev
α
[v ⊗ x, w ⊗ x] ⊗ ([u ⊗ x, v ⊗ x] ⊗ (u ⊗ x))
id⊗ev
[v ⊗ x, w ⊗ x] ⊗ (v ⊗ x)
即ち，次の一番外側が可換であることを示せばよい．
m⊗(id⊗id)
([v, w][u, v])(ux)
[u, w](ux)
α−1
(m⊗id)⊗id
(([v, w][u, v])u)x
(V )
(F ⊗F )⊗(id⊗id)
[v, w]([u, v](ux))
(α)
id⊗(F ⊗id)
id⊗α−1
[v, w]([ux, vx](ux))
(α)
[v, w](vx)
id⊗ev
F ⊗(id⊗id)
(∗∗)
[vx, wx]([ux, vx](ux))
[v, w](([u, v]u)x)
id⊗(ev⊗id)
(F )
F ⊗(id⊗id)
([u, w]u)x
α⊗id
α−1
([vx, wx][ux, vx])(ux)
α
α−1
(α)
α
id⊗ev
[vx, wx](vx)
(∗)
([v, w]([u, v]u))x
(id⊗ev)⊗id
α−1
ev⊗id
([v, w]v)x
ev⊗id
(F )
ev
wx
(α) は α の自然性から可換である．(F ) は F の定義から可換である．(V ) はモノイダル
圏の条件から可換である．(∗) は補題 11 より可換である．(∗∗) は明らかに可換である．
以上により，この図式は可換である．
後は次の図式の可換性を示せばよい．
I
ju
[u, u]
Fuu
ju⊗x
[u ⊗ x, u ⊗ x]
22
その為には随伴により，次の図式が可換であることを示せばよい．
I ⊗ (u ⊗ x)
ju ⊗(id⊗id)
[u, u] ⊗ (u ⊗ x)
α−1
([u, u] ⊗ u) ⊗ x
λ
ev⊗id
u⊗x
即ち次の図式の外側が可換であることを示せばよい．
I ⊗ (u ⊗ x)
ju ⊗(id⊗id)
(α)
α−1
(I ⊗ u) ⊗ x
(ju ⊗id)⊗id
(V )
λ⊗id
[u, u] ⊗ (u ⊗ x)
α−1
([u, u] ⊗ u) ⊗ x
(j)
ev⊗id
u⊗x
λ
(α) は α の自然性から可換である．(j) は ju の定義から可換である．(V ) はモノイダル
圏の条件から可換である．以上により，この図式は可換である．
この V -関手 F を − ⊗ x と書く．同様にして V -関手 x ⊗ − : V −→ V も得られる．即
ち x ⊗ − : [u, v] −→ [x ⊗ u, x ⊗ v] を
α−1
id⊗γ
ev⊗id
γ
[u, v] ⊗ (x ⊗ u) −−−→ [u, v] ⊗ (u ⊗ x) −−→ ([u, v] ⊗ u) ⊗ x −−−−→ v ⊗ x −
→x⊗v
に対応する射とすればよい．
命題 17. ⊗ : ⟨u, v⟩ 7−→ u ⊗ v は V -関手 ⊗ : V ⊗ V −→ V を定める．
証明. 補題 15 により，次の図式が可換であることを示せばよい．
[u, v] ⊗ [w, x]
(−⊗x)⊗(u⊗−)
[u ⊗ x, v ⊗ x] ⊗ [u ⊗ w, u ⊗ x]
m
[u ⊗ w, v ⊗ x]
γ
m
[w, x] ⊗ [u, v]
(v⊗−)⊗(−⊗w)
[v ⊗ w, v ⊗ x] ⊗ [u ⊗ w, v ⊗ w]
23
随伴により次の図式が可換であることを示せばよい．
((−⊗x)⊗(u⊗−))⊗id
([u, v] ⊗ [w, x]) ⊗ (u ⊗ w)
([u ⊗ x, v ⊗ x] ⊗ [u ⊗ w, u ⊗ x]) ⊗ (u ⊗ w)
v⊗x
γ⊗id
([w, x] ⊗ [u, v]) ⊗ (u ⊗ w)
([v ⊗ w, v ⊗ x] ⊗ [u ⊗ w, v ⊗ w]) ⊗ (u ⊗ w)
((v⊗−)⊗(−⊗w))⊗id
24
即ち，次の図式の一番外側が可換であることを示せばよい．
(−⊗x)⊗id
([u, v][w, x])(uw)
(id⊗(u⊗−))⊗id
([ux, vx][w, x])(uw)
(α)
α
(α)
α
(−⊗x)⊗id
[u, v]([w, x](uw))
α
id⊗((u⊗−)⊗id)
[ux, vx]([w, x](uw))
(γ)
id⊗(id⊗γ)
([ux, vx][uw, ux])(uw)
[ux, vx]([uw, ux](uw))
id⊗(id⊗γ)
(−⊗x)⊗id
[u, v]([w, x](wu))
(α)
id⊗α−1
(u ⊗ −)
[ux, vx]([w, x](wu))
id⊗α−1
(−⊗x)⊗id
[u, v](([w, x]w)u)
[ux, vx](([w, x]w)u)
(γ)
id⊗γ
id⊗(ev⊗id)
id⊗γ
id⊗ev
(−⊗x)⊗id
[u, v](u([w, x]w))
(∗)
(α)
(id⊗id)⊗ev)
([u, v]u)([w, x]w)
(id⊗id)⊗γ
α
ev
vx
ev⊗id
(∗)
id⊗ev
ev
v([w, x]w)
ev⊗(id⊗id)
(id⊗id)⊗γ
ev⊗(id⊗id)
(α)
(([u, v]u)w)[w, x]
(∗∗)
v(w[w, x])
[vw, vx](vw)
γ
α
(vw)[w, x]
(ev⊗id)⊗id
(− ⊗ w) ev⊗id
([u, v](uw))[w, x]
[ux, vx](ux)
(α)
(γ)
([u, v]u)(w[w, x])
α−1 ⊗id
(−⊗x)⊗id
α−1
([u, v]u)x
γ⊗id
id⊗γ
id⊗(id⊗ev)
[u, v](ux)
α−1
(γ)
[ux, vx](u([w, x]w))
id⊗(id⊗ev)
(V )
[ux, vx](xu)
id⊗(v⊗−)
ev⊗id
(∗)
([uw, vw](uw))[w, x]
(−⊗w)⊗id
(vw)[vw, vx]
([uw, vw](uw))[vw, vx]
(id⊗id)⊗(v⊗−)
γ
γ
γ
(γ)
(γ)
[w, x]([u, v](uw))
[w, x]([uw, vw](uw))
[vw, vx]([uw, vw](uw))
(−⊗w)⊗id
α
(v⊗−)⊗(id⊗id)
α
α
(α)
(α)
([w, x][u, v])(uw)
([w, x][uw, vw])(uw)
([vw, vx][uw, vw])(uw)
(−⊗w)⊗id
((v⊗−)⊗id)⊗id
(α) は α の自然性から可換である．(γ) は γ の自然性から可換である．(u ⊗ −), (− ⊗ w)
は u ⊗ −, − ⊗ w の定義から可換である．(V ) はモノイダル圏の条件から可換である．(∗)
25
は明らかに可換である．(∗∗) は次の図式により可換である．
id⊗ev
v([w, x]w)
vx
(γ)
γ
([w, x]w)v
id⊗γ
ev⊗id
γ
xv
α−1
v(w[w, x])
(V )
α
ev
(v ⊗ −)
[w, x](wv)
id⊗γ
[w, x](vw)
(γ)
γ
(vw)[w, x]
(v⊗−)⊗(id⊗id)
[vw, vx](vw)
γ
(vw)[vw, vx]
id⊗(v⊗−)
以上により，この図式は可換である．
1.7
V -関手 C(−, □)
命題 18. s ∈ C とする．F を
• a ∈ C に対して F a := C(s, a)．
• a, b ∈ C に対して Fab : C(a, b) −→ V(C(s, a), C(s, b)) を m : C(a, b) ⊗ C(s, a) −→
C(s, b) に対応する射とする．
により定めれば，これは V -関手 F : C −→ V を与える．
証明. まず次の図式が可換であることを示す．
m
C(b, c) ⊗ C(a, b)
C(a, c)
F ⊗F
F
[C(s, b), C(s, c)] ⊗ [C(s, a), C(s, b)]
m
[C(s, a), C(s, c)]
随伴 − ⊗ C(s, a) ⊣ [C(s, a), −] により，次の図式が可換であることを示せばよい．
(C(b, c) ⊗ C(a, b)) ⊗ C(s, a)
m⊗id
(F ⊗F )⊗id
C(a, c) ⊗ C(s, a)
m
([C(s, b), C(s, c)] ⊗ [C(s, a), C(s, b)]) ⊗ C(s, a)
26
C(s, c)
即ち，次の図式の一番外側が可換であることを示せばよい．
m⊗id
(C(b, c) ⊗ C(a, b)) ⊗ C(s, a)
C(a, c) ⊗ C(s, a)
α
C(b, c) ⊗ (C(a, b) ⊗ C(s, a))
(F ⊗id)⊗id
(m)
id⊗m
(α)
([C(s, b), C(s, c)] ⊗ C(a, b)) ⊗ C(s, a)
C(b, c) ⊗ C(s, b)
F ⊗(id⊗id)
α
(∗)
[C(s, b), C(s, c)] ⊗ (C(a, b) ⊗ C(s, a))
(id⊗F )⊗id
F ⊗id
id⊗m
(α)
id⊗(F ⊗id)
([C(s, b), C(s, c)] ⊗ [C(s, a), C(s, b)]) ⊗ C(s, a)
[C(s, b), C(s, c)] ⊗ C(s, b)
(F )
α
id⊗ev
m⊗id
[C(s, b), C(s, c)] ⊗ ([C(s, a), C(s, b)] ⊗ C(s, a))
ev
(∗∗)
[C(s, a), C(s, c)] ⊗ C(s, a)
(F )
m
C(s, c)
ev
m
(α) は α の自然性から可換である．(F ) は F の定義から可換である．(m) は豊穣圏の定
義から可換である．(∗) は明らかに可換である．(∗∗) は補題 11 により可換である．以上
により一番外側が可換となることが分かった．
次に次の図式の可換性を示す．
I
ja
C(a, a)
Faa
jC(s,a)
[C(s, a), C(s, a)]
随伴 − ⊗ C(s, a) ⊣ [C(s, a), −] により，次の図式が可換であることを示せばよいが，それ
は豊穣圏の定義から明らか．
I ⊗ C(s, a)
ja ⊗id
C(a, a) ⊗ C(s, a)
m
λ
C(s, a)
この V -関手 F を C(s, −) と書く．
27
同様にして V -関手 C(−, s) : C op −→ V も得られる．即ち，m : C(a, s) ⊗ C(b, a) −→
C(b, s) に対応する射を C(−, s)ab : C(b, a) −→ V(C(a, s), C(b, s)) とすればよい．
命題 19. C(−, □) : ⟨a, b⟩ 7−→ C(a, b) は V -関手 C op ⊗ C −→ V を定める．
証明. 補題 15 により次の図式が可換であることを示せばよい．(ここでスペースの都合
上，C(a, b) を Cab と表記した．)
Cdt ⊗ Cca
id⊗C(−,d)
Cdt ⊗ [Cad , Ccd ]
C(c,−)⊗id
[Ccd , Cct ] ⊗ [Cad , Ccd ]
m
[Cad , Cct ]
γ
m
Cca ⊗ Cdt
C(−,t)⊗id
[Cat , Cct ] ⊗ Cdt
id⊗C(a,−)
[Cat , Cct ] ⊗ [Cad , Cat ]
随伴 − ⊗ Cad ⊣ [Cad , −] により，次の可換性を示せばよい．(スペースの都合上テンソル
積 ⊗ は省略した．)
(Cdt Cca )Cad
(id⊗C(−,d))⊗id
(C(c,−)⊗id)⊗id
(Cdt [Cad , Ccd ])Cad
([Ccd , Cct ][Cad , Ccd ])Cad
α
[Ccd , Cct ]([Cad , Ccd ]Cad )
id⊗ev
[Ccd , Cct ]Ccd
ev
Cct
γ⊗id
ev
[Cat , Cct ]Cat
id⊗ev
[Cat , Cct ]([Cad , Cat ]Cad )
α
(Cca Cdt )Cad
(C(−,t)⊗id)⊗id
([Cat , Cct ]Cdt )Cad
([Cat , Cct ][Cad , Cat ])Cad
(id⊗C(a,−))⊗id
28
即ち次の図式の一番外側が可換であることを示せばよい．
(id⊗C(−,d))⊗id
(Cdt [Cad , Ccd ])Cad
(α)
(C(c,−)⊗id)⊗id
(α)
α
Cdt ([Cad , Ccd ]Cad )
(Cdt Cca )Cad
id⊗γ
(V )
γ⊗id
γ
C(−,t)⊗(id⊗id)
id⊗m
m⊗id
(γ)
Cca (Cdt Cad )
α
id⊗m
([Cat , Cct ]Cdt )Cad
ev
m
Cct
m
Cat Cca
(∗∗)
γ
Cca Cat
C(−,t)⊗id
id⊗m
id⊗(C(a,−)⊗id)
α
(C(−,t)⊗id)⊗id
(∗∗)
Cdt Ccd
(∗)
[Cat , Cct ](Cdt Cad )
(α)
[Ccd , Cct ]Ccd
(m)
α
(Cdt Cad )Cca
(Cca Cdt )Cad
id⊗ev
C(c,−)⊗id
(∗∗)
Cdt (Cad Cca )
[Ccd , Cct ]([Cad Ccd ]Cad )
(∗)
id⊗ev
Cdt (Cca Cad )
α
C(c,−)⊗(id⊗id)
id⊗(C(−,d)⊗id)
α
([Ccd , Cct ][Cad Ccd ])Cad
ev
[Cat , Cct ]Cat
id⊗ev
(∗∗)
[Cat , Cct ]([Cad Cat ]Cad )
α
(α)
(id⊗C(a,−))⊗id
([Cat , Cct ][Cad Cat ])Cad
(α) は α の自然性から可換である．(γ) は γ の自然性から可換である．(m) は豊穣圏の
定義から可換である．(V ) はモノイダル圏の性質から可換である．(∗) は明らかに可換で
ある．(∗∗) は C(a, −)，C(−, a) の定義から可換である．以上により一番外側も可換であ
る．
V
V
f : a −−→ b を C の射とすると C(c, f ) : C(c, a) −−→ C(c, b) は V の射である．これに対
応する V の射を f ◦ − : C(c, a) −→ C(c, b) と書くことにする．1.4 で述べたことから
(
)
f ⊗id
λ−1
m
f ◦ − = C(c, a) −−→ I ⊗ C(c, a) −−−→ C(a, b) ⊗ C(c, a) −→ C(c, b)
29
である．
C(c, a)
f ◦−
λ−1
I
C(c,f )
V(C(c, a), C(c, b))
I ⊗ C(c, a)
f ⊗id
f
C(c,−)
C(a, b)
C(c, b)
m
C(a, b) ⊗ C(c, a)
− ◦ f : C(b, c) −→ C(a, c) も同様に定義する．
C(b, c)
I
C(f,c)
V(C(b, c), C(a, c))
I ⊗ C(b, c)
C(a, c)
f ⊗id
f
C(a, b)
−◦f
λ−1
C(−,c)
C(a, b) ⊗ C(b, c)
m
γ
C(b, c) ⊗ C(c, b)
V
命題 20. C = V の場合を考える．f : u −−→ v を V の射として，対応する V の射を
fe: u −→ v とする．このとき f ◦ − : [x, u] −→ [x, v] は [idx , fe] と一致する．同様に，
− ◦ f : [v, x] −→ [u, x] は [fe, idx ] と一致する．
証明. 次の図式は可換である．
[x, u] ⊗ x
λ⊗id
ev
λ
(I ⊗ [x, u]) ⊗ x
α
(f ⊗id)⊗id
I ⊗ ([x, u] ⊗ x)
id⊗ev
([u, v] ⊗ [x, u]) ⊗ x
m⊗id
[u, v] ⊗ ([x, u] ⊗ x)
[x, v] ⊗ x
30
λ
u
fe
f ⊗id
f ⊗(id⊗id)
α
I ⊗u
id⊗ev
[u, v] ⊗ u
ev
ev
v
よって随伴 − ⊗ x ⊣ [x, −] により得られる次の図式も可換である．
λ
I ⊗ [x, u]
[x, u]
[idx ,fe]
f ⊗id
[u, v] ⊗ [x, u]
m
[x, v]
故に f ◦ − の定義から f ◦ − = [idx , f ] が分かる．
次の図式は可換である．
(I ⊗ [v, x]) ⊗ v
λ⊗id
ev
[v, x] ⊗ v
x
(id⊗id)⊗f
id
(I ⊗ [v, x]) ⊗ u
x
(f ⊗id)⊗id
([u, v] ⊗ [v, x]) ⊗ u
id
γ⊗id
([v, x] ⊗ [u, v]) ⊗ u
m⊗id
[u, x] ⊗ u
ev
x
よって随伴 − ⊗ u ⊣ [u, −]，− ⊗ v ⊣ [v, −] により得られる次の図式も可換である．
I ⊗ [v, x]
λ
[v, x]
[f,id]
id⊗id
I ⊗ [v, x]
[u, x]
f ⊗id
[u, v] ⊗ [v, x]
id
γ
[v, x] ⊗ [u, v]
m
[u, x]
故に − ◦ f の定義から − ◦ f = [f, idx ] が分かる．
V
V
命題 21. f : a −−→ b，g : b −−→ c を C の射とするとき，(g ◦ −) ◦ (f ◦ −) = (g ◦ f ) ◦ −，
(− ◦ f ) ◦ (− ◦ g) = − ◦ (g ◦ f ) である．
31
V
証明. 次の図式が可換であることと，g ◦ f : a −−→ c の定義から分かる．
C(s, a)
f ◦−
λ−1
I ⊗ C(s, a)
λ−1 ⊗id
λ
(id⊗f )⊗id
f ⊗id
(λ)
(I ⊗ I) ⊗ C(s, a)
−1
λ−1
m
g◦−
C(a, b) ⊗ C(s, a) (λ) I ⊗ C(s, b) (g) C(s, c)
⊗id
(I ⊗ C(a, b)) ⊗ C(s, a)
C(s, b)
(f )
−1
g⊗id
(V ) λ
id⊗m
m
I ⊗ (C(a, b) ⊗ C(s, a)) C(b, c) ⊗ C(s, b)
(∗)
g⊗(id⊗id)
α
(g⊗id)⊗id
(α)
id⊗m
(C(b, c) ⊗ C(a, b)) ⊗ C(s, a) α C(b, c) ⊗ (C(a, b) ⊗ C(s, a))
(m)
C(a, c) ⊗ C(s, a)
m
m⊗id
ここで (α) は α の自然性から可換である．(λ) は λ の自然性から可換である．(m) は豊穣
圏の定義から可換である．(V ) はモノイダル圏の性質から可換である．(f ), (g) は f ◦ −，
g ◦ − の定義から可換である．(∗) は明らかに可換である．
命題 22. f : a −→ b，g : c −→ d を C の射とするとき，(− ◦ f ) ◦ (g ◦ −) = (g ◦ −) ◦ (− ◦ f )
である．
証明. 定義により次の 2 つの可換図式を得る．
C(b, c)
−◦f
λ−1
I ⊗ C(b, c)
f ⊗id
C(a, c)
(f )
C(a, b) ⊗ C(b, c)
γ
I ⊗ C(a, c)
m
(λ)
C(b, c) ⊗ C(a, b)
λ−1
λ−1
g⊗id
id⊗m
C(c, d) ⊗ C(a, c)
(∗)
I ⊗ (C(b, c) ⊗ C(a, b))
id⊗m
g⊗(id⊗id)
C(c, d) ⊗ (C(b, c) ⊗ C(a, b))
32
g◦−
(g)
m
C(a, d)
C(b, c)
g◦−
λ−1
I ⊗ C(b, c)
C(b, d)
(g)
g⊗id
C(c, d) ⊗ C(b, c)
I ⊗ C(b, d)
(λ)
λ−1
(∗)
f ⊗(id⊗id)
C(a, d)
(f )
f ⊗id
id⊗m
I ⊗ (C(c, d) ⊗ C(b, c))
−◦f
λ−1
m
C(a, b) ⊗ C(b, d)
γ
id⊗m
m
m
C(a, b) ⊗ (C(c, d) ⊗ C(b, c)) (γ) C(b, d) ⊗ C(a, b)
γ
m⊗id
(C(c, d) ⊗ C(b, c)) ⊗ C(a, b)
C(c, d) ⊗ C(a, c)
α
id⊗m
C(c, d) ⊗ (C(b, c) ⊗ C(a, b))
よってこの 2 つの図式の左の縦列の合成が一致することを示せばよい．それは次の図式が
可換であることから分かる．
I ⊗ C(b, c)
C(c, d) ⊗ C(b, c)
g⊗id
λ−1
λ−1
I ⊗ (I ⊗ C(b, c))
f ⊗id
id⊗(g⊗id)
f ⊗(id⊗id)
C(a, b) ⊗ C(b, c)
id⊗λ−1
f ⊗(id⊗id)
C(a, b) ⊗ (I ⊗ C(b, c))
C(a, b) ⊗ (C(c, d) ⊗ C(b, c))
id⊗(g⊗id)
γ
γ
C(b, c) ⊗ C(a, b)
γ
(I ⊗ C(b, c)) ⊗ C(a, b)
λ−1 ⊗id
(C(c, d) ⊗ C(b, c)) ⊗ C(a, b)
(g⊗id)⊗id
α
λ
−1
I ⊗ (C(c, d) ⊗ C(b, c))
α
I ⊗ (C(b, c) ⊗ C(a, b))
C(c, d) ⊗ (C(b, c) ⊗ C(a, b))
g⊗(id⊗id)
33
1.8
まとめ
• − ⊗ x に対応する射:
α−1
ev⊗id
[u, v] ⊗ (u ⊗ x) −−→ ([u, v] ⊗ u) ⊗ x −−−−→ v ⊗ x
• x ⊗ − に対応する射:
α−1
id⊗γ
ev⊗id
γ
[u, v] ⊗ (x ⊗ u) −−−→ [u, v] ⊗ (u ⊗ x) −−→ ([u, v] ⊗ u) ⊗ x −−−−→ v ⊗ x −
→ x⊗v
• C(s, −) に対応する射:
m : C(a, b) ⊗ C(s, a) −→ C(s, b)
• C(−, s) に対応する射:
γ
m
m : C(b, a) ⊗ C(a, s) −
→ C(a, s) ⊗ C(b, a) −→ C(b, s)
2 V -自然変換
定義. C, D を V -豊穣圏，F, G : C −→ D を V -関手とする．V -自然変換 θ : F =⇒ G とは
V
D の射の族 θ = {θa : F a −−→ Ga}a∈C であって，任意の a, b ∈ C に対して次の図式が可
換となるものである．
θb ⊗Fab
I ⊗ C(a, b)
λ−1
D(F b, Gb) ⊗ D(F a, F b)
m
C(a, b)
D(F a, Gb)
m
ρ−1
C(a, b) ⊗ I
Gab ⊗θa
D(Ga, Gb) ⊗ D(F a, Ga)
V
またこのとき，θa : F a −−→ Ga は a ∈ C について自然であるという．
V
命題 23. F, G : C −→ D を V -関手とする．射の族 θ = {θa : F a −−→ Ga}a∈C が V -自然
変換となる ⇐⇒ 任意の a, b ∈ C に対して，次の図式が可換となる．
Fab
D(F a, F b)
C(a, b)
Gab
θb ◦−
D(F a, Gb)
D(Ga, Gb)
34
−◦θa
証明. 次の図式を考える．
I ⊗ C(a, b)
id⊗F
(λ)
λ−1
I ⊗ D(F a, F b)
θb ⊗id
λ−1
D(F b, Gb) ⊗ D(F a, F b)
(∗)
D(F a, F b)
Fab
C(a, b)
m
θb ◦−
D(F a, Gb)
(∗∗)
Gab
ρ−1
(ρ)
C(a, b) ⊗ I
−◦θa
D(Ga, Gb)
G⊗id
m
(∗)
ρ−1
D(Ga, Gb) ⊗ I
id⊗θa
D(Ga, Gb) ⊗ D(F a, Ga)
(λ)，(ρ) は λ, ρ の自然性から可換である．(∗) は − ◦ θa ，θb ◦ − の定義から可換であ
る．従って「α が V -自然変換となること (= 一番外側が可換) ⇐⇒ (∗∗) が可換」が分か
る．
V
V
命題 24. F, G, H : C −→ D を V -関手として θa : F a −−→ Ga，τa : Ga −−→ Ha は a ∈ C
について自然であるとする．このとき τa ◦ θa も a について自然である．
証明. 次の図式から明らか．
D(F a, F b)
F
C(a, b)
G
θb ◦−
D(F a, Gb)
D(Ga, Gb)
−◦θa
τb ◦−
D(Ga, Hb)
H
D(Ha, Hb)
τb ◦−
D(F a, Hb)
−◦θa
−◦τa
よって，V -自然変換 θ : F =⇒ G，τ : G =⇒ H に対して垂直合成 τ ◦ θ : F =⇒ H を，
(τ ◦ θ)a := τa ◦ θa により定義することができる．これにより，C から D への V -関手全
体 Fun(C, D) は (通常の) 圏となる．また Fun(C, D) の同型射を V -自然同型という．
定義. C, D を V -豊穣圏，T : C op ⊗ C −→ D を V -関手とする．d ∈ D として，a ∈ C に対
V
して σa : d −−→ T (a, a) を D の射とする．σa が a ∈ C について自然とは，任意の a, b ∈ C
35
に対して，次の図式が可換であることをいう．
T (a,−)
D(T (a, a), T (a, b))
−◦σa
C(a, b)
D(d, T (a, b))
T (−,b)
D(T (b, b), T (a, b))
−◦σb
V
同様に，D の射 σa : T (a, a) −−→ d が a ∈ C について自然とは，任意の a, b ∈ C に対し
て，次の図式が可換であることをいう．
T (−,a)
D(T (b, a), T (a, a))
σa ◦−
C(a, b)
D(T (b, a), d)
T (b,−)
D(T (b, a), T (b, b))
σb ◦−
V
命題 25. ja : I −−→ C(a, a) は a ∈ C について自然である．
証明. 任意の a, b ∈ C に対して，次の図式が可換であることを示せばよい．
C(a,−)
[C(a, a), C(a, b)]
−◦ja
C(a, b)
C(−,b)
[I, C(a, b)]
−◦jb
[C(b, b), C(a, b)]
次の図式を考える．
m
C(a, b) ⊗ C(a, a)
C(a, b)
id⊗ja
id
ρ
C(a, b) ⊗ I
γ
C(a, b)
I ⊗ C(a, b)
id⊗jb
λ
id
jb ⊗id
C(a, b) ⊗ C(b, b)
γ
C(b, b) ⊗ C(a, b)
36
m
C(a, b)
故にこの図式は可換であるから，随伴により次の図式が可換であると分かる．
C(a, b)
C(a,−)
[C(a, a), C(a, b)]
[ja ,id] = −◦ja
id
C(a, b)
[I, C(a, b)]
[jb ,id] = −◦jb
id
C(a, b)
[C(b, b), C(a, b)]
C(−,b)
この図式が可換性を示したかった図式である．
V
命題 26. F : C −→ D を V -関手とするとき，Fab : C(a, b) −−→ D(F a, F b) は a, b ∈ C に
ついて自然である．
証明. まず b について自然であることを示す．F が V -関手であるから，次の図式が可換
である．
m
C(s, t) ⊗ C(a, s)
Fst ⊗id
C(a, t)
Fat
D(F s, F t) ⊗ C(a, s)
D(F a, F t)
id⊗Fas
id
D(F s, F t) ⊗ D(F a, F s)
m
D(F a, F t)
よって随伴により次の可換図式を得る．
C(s, t)
C(a,−)
[C(a, s), C(a, t)]
[id,Fat ] = Fat ◦−
Fst
D(F s, F t)
[C(a, s), D(F a, F t)]
[Fas ,id] = −◦Fas
id
D(F s, F t)
D(F a,−)
[D(F a, F s), D(F a, F t)]
37
故に次の図式が可換であることが分かった．
[C(a, s), C(a, t)]
C(a,−)
C(s, t)
Fat ◦−
[C(a, s), D(F a, F t)]
D(F a,F −)
[D(F a, F s), D(F a, F t)]
−◦Fas
a についても同様に，次の図式の可換性から
γ
C(s, t) ⊗ C(t, b)
C(t, b) ⊗ C(s, t)
Fst ⊗id
m
C(s, b)
Fsb
id⊗Fst
D(F s, F t) ⊗ C(t, b)
C(t, b) ⊗ D(F s, F t)
γ
D(F s, F b)
Ftb ⊗id
id⊗Ftb
D(F s, F t) ⊗ D(F t, F b)
γ
id
D(F t, F b) ⊗ D(F s, F t)
m
D(F s, F b)
次の図式の可換性が分かり，
C(s, t)
C(−,b)
[C(t, b), C(s, b)]
[id,Fsb ]=Fsb ◦−
Fst
D(F s, F t)
[C(t, b), D(F s, F b)]
[Ftb ,id]=−◦Ftb
id
D(F s, F t)
D(−,F b)
[D(F t, F b), D(F s, F b)]
a について自然だと分かる．
C(−,b)
[C(t, b), C(s, b)]
C(s, t)
Fsb ◦−
[C(t, b), D(F s, F b)]
D(F −,F b)
[D(F t, F b), D(F s, F b)]
V
−◦Ftb
命題 27. ev : [x, y] ⊗ x −−→ y は x, y ∈ V について自然である．
38
証明. まず x について自然なことを示す．即ち次の図式が可換であることを示す．
−⊗u
[−,y]
[[v, y] ⊗ u, [u, y] ⊗ u]
ev◦−
[[v, y], [u, y]]
[[v, y] ⊗ u, y]
[u, v]
[v,y]⊗−
ev◦−
[[v, y] ⊗ u, [v, y] ⊗ v]
随伴 − ⊗ [v, y] ⊗ u ⊣ [[v, y] ⊗ u, −] により，次の一番外側が可換であることを示せばよい．
[u, v]([v, y]u)
[−,y]⊗(id⊗id)
(−⊗u)⊗(id⊗id)
[[v, y], [u, y]]([v, y]u)
(α)
α−1
([u, v][v, y])u
[[v, y]u, [u, y]u]([v, y]u)
α−1
([−,y]⊗id)⊗id
([[v, y], [u, y]][v, y])u
(⊗)
ev
([−, y])
γ
([v, y][u, v])u
ev⊗id
m
[u, y]u
ev
y
(∗)
α
[v, y]([u, v]u)
id⊗ev
(γ)
γ
([u, v]u)[v, y]
ev
[v, y]v
γ −1
ev⊗id
ev
(⊗)
v[v, y]
[[v, y]u, [v, y]v]([v, y]u)
([v,y]⊗−)⊗(id⊗id)
(α) は α の自然性から可換である．(γ) は γ の自然性から可換である．([−, y]) は [−, y]
の定義から可換である．(⊗) は − ⊗ u や [v, y] ⊗ − の定義から可換である．(∗) は補題 11
より可換である．以上により x について自然なことが分かった．
次に y について自然なことを示す．即ち次の図式が可換であることを示す．
−⊗x
[x,−]
[[x, u] ⊗ x, [x, v] ⊗ x]
ev◦−
[[x, u], [x, v]]
[[x, u] ⊗ x, v]
[u, v]
−◦ev
id
[u, v]
39
その為には次の一番外側が可換であることを示せばよい．
[u, v] ⊗ ([x, u] ⊗ x)
[x,−]⊗(id⊗id)
[[x, u], [x, v]] ⊗ ([x, u] ⊗ x)
(α)
α−1
([u, v] ⊗ [x, u]) ⊗ x
([x,−]⊗id)⊗id
α−1
([[x, u], [x, v]] ⊗ [x, u]) ⊗ x
id⊗ev
([x, −])
m⊗id
ev⊗id
[x, v] ⊗ x
(∗)
ev
[u, v] ⊗ u
v
ev
(α) は α の自然性から可換である．([x, −]) は [x, −] の定義から可換である．(∗) は補題
11 より可換である．以上により y について自然なことが分かった．
V
命題 28. F : A −→ B ，G, H : B −→ C を V -関手とする．C の射 θb : Gb −−→ Hb が
V
b ∈ B について自然ならば，θF a : GF a −−→ HF a は a ∈ A について自然である．
証明. 次の図式から分かる．
GFab
A(a, b)
Fab
C(GF a, GF b)
GF aF b
B(F a, F b)
θF b ◦−
A(GF a, HF b)
HF aF b
HFab
C(HF a, HF b)
−◦θF a
故に V -自然変換 θ = {θb }b∈B : G =⇒ H に対して V -自然変換 θF : GF =⇒ HF を
(θF )a := θF a により定めることができる．
V
命題 29. F, G : C −→ V を V -関手として，θa : F a −−→ Ga が a ∈ C について自然であ
るとする．f : u −→ v が V の射のとき，θa ⊗ f : F a ⊗ u −→ Ga ⊗ v も a ∈ C について
自然である．
40
証明.
−⊗u
F
[F a ⊗ u, F b ⊗ u]
(θb ⊗f )◦−
[F a, F b]
C(a, b)
[F a ⊗ u, Gb ⊗ v]
G
[Ga, Gb]
−⊗v
−◦(θa ⊗f )
[Ga ⊗ v, Gb ⊗ v]
V
命題 30. S, T : C op ⊗ C −→ D を V -関手として，σa : d −−→ S(a, a) が a ∈ C に
V
ついて自然，θab : S(a, b) −−→ T (a, b) が a, b について自然であるとする．このとき
V
θaa ◦ σa : d −−→ T (a, a) も a ∈ C について自然である．
証明. 次の図式により，a について自然であることが分かる．
D(T (a, a), T (a, b))
−◦θaa
D(S(a, a), T (a, b))
T (a,−)
θab ◦−
−◦σa
D(S(a, a), S(a, b))
−◦σa
S(a,−)
C(a, b)
D(d, S(a, b))
S(−,b)
−◦σb
D(S(b, b), S(a, b))
θab ◦−
D(d, T (a, b))
−◦σb
θab ◦−
T (−,b)
D(S(b, b), T (a, b))
−◦θbb
D(T (b, b), T (a, b))
命題 31. V -関手 T : A ⊗ B −→ C に対し T (a, −)bc : B(b, c) −→ C(T (a, b), T (a, c)) は
a, b, c について自然である．
証明. 命題 26 により b, c については自然である．また T (a, −)bc は合成
λ−1
ja ⊗id
T
B(b, c) −−→ I ⊗ B(b, c) −−−−→ A(a, a) ⊗ B(b, c) −
→ C(T (a, b), T (a, c))
41
で定義されていたから，命題 25, 29, 30 を組み合わせれば a について自然であることが分
かる．
V
命題 32. mabc : C(b, c) ⊗ C(a, b) −−→ C(a, c) は a, b, c について自然である．
(
C(a,−)⊗id
ev
)
証明. m = C(b, c) ⊗ C(a, b) −−−−−−→ [C(a, b), C(a, c)] ⊗ C(a, b) −→ C(a, c) であった
から，命題 29, 31, 27 により，a, b, c について自然である．
V
命題 33. S : C op ⊗ C ⊗ C op ⊗ C −→ D ，T : C op ⊗ C −→ D を V -関手とする．σab : x −−→
V
S(a, a, b, b)，τabc : S(a, b, b, c) −−→ T (a, c) を D の射とする．σab は a, b について自然で，
τabc は a, b, c について自然であるとする．このとき {τaaa ◦ σaa : x −→ T (a, a)}a∈C は a
について自然である．
42
証明. 次の図式の一番外側が可換であることを示せばよい．
T (a,−)
D(T (a, a), T (a, b))
−◦τaaa
(τ )
S(a,a,a,−)
D(S(a, a, a, a), T (a, b))
−◦σaa
τaab ◦−
D(S(a, a, a, a), S(a, a, a, b))
(∗)
−◦σaa
(σ)
D(x, S(a, a, a, b))
τaab ◦−
−◦σab
S(a,a,−,b)
D(S(a, a, b, b), S(a, a, a, b))
(∗)
τaab ◦−
C(a, b)
(τ )
D(S(a, a, b, b), T (a, b))
−◦σab
D(x, T (a, b))
τabb ◦−
S(a,−,b,b)
D(S(a, a, b, b), S(a, b, b, b))
(∗)
−◦σab
(σ)
D(x, S(a, b, b, b))
τabb ◦−
−◦σbb
S(−,b,b,b)
D(S(b, b, b, b), S(a, b, b, b))
(∗)
τabb ◦−
(τ )
D(S(b, b, b, b), T (a, b))
−◦σbb
−◦τbbb
T (−,b)
D(T (b, b), T (a, b))
(τ ) の部分は τabc が a, b, c について自然だから可換である．(σ) の部分は σab が a, b につ
いて自然だから可換である．(∗) の部分は明らかに可換である．
定義. V -関手 F : C −→ V が表現可能
⇐⇒ ある a ∈ C と V -自然同型 F ∼
= C(a, −) が存在する．
定義. x ∈ V ，a ∈ C を対象とする．
(1) V -関手 V(x, C(a, −)) が表現可能なとき，これを表現する対象を copower object
43
(もしくは tensor object) といい x ⊙ a で表す．即ち C(x ⊙ a, b) ∼
= V(x, C(a, b))．
(2) V -関手 V(x, C(−, a)) が表現可能なとき，これを表現する対象を power object (も
しくは cotensor object) といい x ⋔ a で表す．即ち C(b, x ⋔ a) ∼
= V(x, C(b, a))．
定義. C を V -豊穣圏とする．
(1) C が copower を持つ ⇐⇒ 任意の x ∈ V ，a ∈ C に対して x ⊙ a が存在する．
(2) C が power を持つ ⇐⇒ 任意の x ∈ V ，a ∈ C に対して x ⋔ a が存在する．
例 34. V の場合を考える．V(x, V(y, z)) ∼
= V(y, V(x, z)) だった．この同型を与える射
を θx : V(x, V(y, z)) −→ V(y, V(x, z)) とする．これは V -自然変換 θ : V(−, V(y, z)) =⇒
V(y, V(−, z)) を定める．これは V -自然同型を与える．よって x ⋔ z = V(x, z) = [x, z]
である．同様にして x ⊙ y = x ⊗ y が分かる．以上により V は power，copower を持つ．
任意の x ∈ V ，a ∈ C に対して copower x ⊙ a が存在するとき，copower が V -関手
⊙ : V ⊗ C −→ C を定めることが分かる．同様にして power は V -関手 ⋔ : V op ⊗ C −→ C
を定める．
定理 35. T : C op ⊗ D −→ V を V -関手として，各 c ∈ C に対して T (c, −) が表現可能で
あるとする．このときある V -関手 F : C −→ D が存在して D(F c, −) ∼
= T (c, −) となる．
更にこれは c に関して自然である．
3 エンド
定義. C, D を V -豊穣圏，T : C op ⊗ C −→ D を V -関手とする．T のエンドとは組 ⟨e, λ⟩
であって，以下を満たすものである．
(1) e ∈ D は対象である．
V
(2) λa : e −−→ T (a, a) は a ∈ C について自然である．
V
V
(3) σa : x −−→ T (a, a) が a ∈ C について自然なとき，D の射 p : x −−→ e が一意に存在
して λa ◦ p = σa となる．
p
x
σa
e
λa
T (a, a)
44
∫
この e を記号
∫
ンド
T (c, c) で表す．また λ をこのエンドの counit という．双対的にコエ
c∈C
c∈C
T (c, c) も定義される (省略)．
V
D = V の場合を考える．T : C op ⊗ C −→ V を V -関手として σa : x −−→ T (a, a) が a に
ついて自然であるとする．即ち次の図式が可換である．
C(a, b)
T (a,−)ab
[T (a, a), T (a, b)]
−◦σa = [σa ,id]
id
C(a, b)
[x, T (a, b)]
−◦σb = [σb ,id]
id
C(a, b)
T (−,b)ab
[T (b, b), T (a, b)]
随伴により次の可換図式を得る．
′
τab
C(a, b) ⊗ T (a, a)
T (a, b)
id⊗σa
id
C(a, b) ⊗ x
T (a, b)
id⊗σb
id
C(a, b) ⊗ T (b, b)
λ′ab
T (a, b)
更に随伴により次の可換図式を得る．
T (a, a)
τab
[C(a, b), T (a, b)]
id
σa
x
[C(a, b), T (a, b)]
σb
T (b, b)
id
[C(a, b), T (a, b)]
λab
以上により，σa : x −→ T (a, a) が a について自然であるとは，このような図
式が可換であることだと分かる．故に T のエンドとは τ, λ :
∏
c∈Ob(C)
45
T (c, c) −→
∏
V(C(c, d), T (c, d)) の equalizer である．今 V は完備だから，C が小さければエ
c,d∈Ob(C)
ンドは存在する．
C, D を V -豊穣圏とし，C は小 ∫
さいとする．V -関手 F, G : C −→ D に対して
[C, D](F, G) ∈ V を [C, D](F, G) :=
D(F a, Ga) で定義する (上で述べた通りこのエ
a∈C
ンドは存在する)．
F, G, H : C −→ D としてエンド [C, D](F, G), [C, D](G, H) の counit をそれぞれ σ, τ
とする．即ち a ∈ C に対して σa : [C, D](F, G) −→ D(F a, Ga)，τa : [C, D](G, H) −→
D(Ga, Ha) である．ρa を合成
τ ⊗σ
m
a
a
[C, D](G, H) ⊗ [C, D](F, G) −−
−−→
D(Ga, Ha) ⊗ D(F a, Ga) −→ D(F a, Ha)
で定義する．命題 29, 32, 33 により，この ρa は a ∈ C について自然である．故にエンド
の普遍性から，射 mF GH : [C, D](G, H) ⊗ [C, D](F, G) −→ [C, D](F, H) が得られる．ま
た，命題 25 より jF a : I −→ D(F a, F a) は a ∈ C について自然である．故にエンドの普
遍性から，射 jF : I −→ [C, D](F, F ) が得られる．
Ob([C, D]) := Ob(Fun(C, D)) と定める．
定理 36. 上記で定めた Ob([C, D])，[C, D](F, G)，mF GH , jF により [C, D] は V -豊穣圏
となる．この [C, D] を関手圏という．
証明. エンドの普遍性から豊穣圏の条件が成り立つことが分かる．
エンドの定義から，V の射 I −→ [C, D](F, G) は V -自然変換 F =⇒ G と一対一に対応
する．従って U ([C, D]) = Fun(C, D) である．
小 V -豊穣圏 C に対して Cb := [C op , V ] と置く．
定理 37. c ∈ C に対して y(a) := C(−, a) と定めると，この y は V -関手 y : C −→ Cb を与
える．y を米田埋込と呼ぶ．
V
証明. C(c, −)ab : C(a, b) −−→ [C(c, a), C(c, b)] は c について自然であった (命題 31)．よっ
てエンドの普遍性により射
∫
yab : C(a, b) −→
b
[C(c, a), C(c, b)] = C(y(a),
y(b))
c∈C op
が得られる．これが V -関手 y : C −→ Cb を与えることを示す．その為にまず次の図式が可
46
換であることを示す．
m
C(b, c) ⊗ C(a, b)
C(a, c)
y
y⊗y
b
b
C(y(b),
y(c)) ⊗ C(y(a),
y(b))
m
b
C(y(a),
y(c))
y ◦ m は s ∈ C について自然な射
C(s,−)
m
C(b, c) ⊗ C(a, b) −→ C(a, c) −−−−→ [C(s, a), C(s, c)]
からエンドの普遍性で得られる射である．一方，m ◦ (y ⊗ y) は s ∈ C について自然な射
C(s,−)⊗C(s,−)
m
C(b, c) ⊗ C(a, b) −−−−−−−−−→ [C(s, b), C(s, c)] ⊗ [C(s, a), C(s, b)] −→ [C(s, a), C(s, c)]
からエンドの普遍性で得られる射である．C(s, −) が V -関手であるから，次の図式は可換
である．
m
C(b, c) ⊗ C(a, b)
C(a, c)
C(s,−)⊗C(s,−)
C(s,−)
[C(s, b), C(s, c)] ⊗ [C(s, a), C(s, b)]
m
[C(s, a), C(s, c)]
よってエンドの普遍性から y ◦ m = m ◦ (y ⊗ y) が分かる．
後は次の図式が可換であることを示せばよい．
ja
I
C(a, a)
yaa
jy(a)
b
C(y(a),
y(a))
これも
I
ja
C(a, a)
C(s,−)
jC(s,a)
[C(s, a), C(s, a)]
が可換であることから，エンドの普遍性により分かる．
補題 38. C を小 V -豊穣圏，G : C op −→ V を V -関手とする．このとき c ∈ C に対して全
単射 HomU (Cb) (y(c), G) ∼
= HomV (I, Gc) が成り立つ．
47
証明. θ : y(c) =⇒ G を V -自然変換とする．このとき θc : C(c, c) −→ Gc である．よって
f (θ) := θc ◦ jc : I −→ Gc が定義できる．逆に f : I −→ Gc と a ∈ C に対して V の射を
[f,id]
G
∼ Ga により定めれば，これは V -自然変換
→ [Gc, Ga] −−−→ V(I, Ga) =
θ(f )a : C(a, c) −−ca
θ(f ) : y(c) =⇒ G となる．これらの対応が互いに逆であることを示せばよい．
まず f : I −→ Gc とする．V -関手の条件 G(jc ) = jGc に注意すると
f (θ(f )) = θ(f )c ◦ jc = ([f, id] ◦ Gca ) ◦ jc = [f, id] ◦ (Gca ◦ jc ) = [f, id] ◦ jGc
f (θ(f )) = θ(f )c ◦ jc = G(idc ) ◦ f = idGc ◦ f = f
である．
次に θ : y(c) =⇒ G に対して θ(f (θ)) = θ を示す．その為に次の図式を考える．
C(a, c)
G
[Gc, Ga]
C(−,c)
−◦jc
[C(c, c), C(a, c)]
θa ◦−
(θ)
θa ◦−
(∗)
[C(c, c), Ga]
−◦θc
[I, C(a, c)]
[I, Ga]
−◦jc
i−1
C(a, c)
(∗)
θa
Ga
i−1
θ が V -自然変換だから，命題 23 により (θ) は可換である．(∗) も明らかに可換である．
この図式で射を左回りに合成すると (− ◦ jc ) ◦ (− ◦ θc ) ◦ G = (− ◦ (f (θ))) ◦ G = θ(f (θ))a
である．故に右回りが θa になること，つまり上側の射の合成が id になることを示せばよ
い．それは次の図式が可換だから分かる．
C(a, c)
C(−,c)
[C(c, c), C(a, c)]
ρ−1
C(a, c) ⊗ I
C(−,c)⊗id
[C(c, c), C(a, c)] ⊗ I
id⊗jc
C(−,c)⊗id
γ
C(c, c) ⊗ C(a, c)
[I, C(a, c)]
ρ−1
id⊗jc
C(a, c) ⊗ C(c, c)
−◦jc
[C(c, c), C(a, c)] ⊗ C(c, c)
m
[C(c, c), C(a, c)] ⊗ [I, C(c, c)]
id⊗i
ev
m
C(a, c)
i−1
定義から − ◦ jc = m ◦ (id ⊗ i) ◦ (id ⊗ jc ) ◦ ρ−1 なので，上の図式の可換性から i−1 ◦ (− ◦
jc ) ◦ C(−, c) = id が分かる．
定理 39 (米田の補題). C を V -豊穣圏，F : C op −→ V を V -関手とする．このとき a ∈ C
b
に対して V での同型 C(y(a),
F) ∼
= F a が成り立つ．
48
b
証明. 定義により C(y(a),
F ) = [C op , V](y(a), F ) =
∫
が [C(−, a), F □] のエンドであることを示せばよい．
[C(c, a), F c] である．故に F a
c∈C op
c ∈ C に対して，Fca : C(c, a) −→ V(F a, F c) に対応する V の射を λc : F a −→
V(C(c, a), F c) とする．これは c について自然である．
V
σc : x −−→ V(C(c, a), F c) が c について自然とする．
σc ∈ HomV (x, V(C(c, a), F c)) ∼
= HomV (x ⊗ C(c, a), F c)
∼
= HomV (C(c, a), V(x, F c))
である．これにより σ を V -自然変換 σ : y(a) =⇒ V(x, F −) とみなすことができる．補
題 38 より，ある f ∈V V(x, F a) が一意に存在して σ = θ(f ) と書ける．f : x −→ F a で
ある．θ(f ) の定義より次の図式が可換となる．
σc
C(c, a)
V(x, F c)
V(x,F −)
i−1
V(V(x, F a), V(x, F c))
よって λc ◦ f = σc である．故に F a ∼
=
∫
−◦f
V(I, V(x, F c))
b
V(C(c, a), F c) = C(y(a),
F ) である．
c
b = ModR (右 R 加群の圏)
例 40. 単位的環 R を 1 点 Ab-category とみなしたとき，R
とみなせる．
. .
. ) F : Rop −→ Ab を Ab-関手とする．このとき M := F (∗) はアーベル群であり，
r ∈ R の M への右作用が F r : M −→ M により定まり，M は右 R 加群となる．逆
に M を右 R 加群とすれば，Ab-関手 Rop −→ Ab が定まることも分かる．
F, G : Rop −→ Ab を Ab-関手として V -自然変換 θ : F =⇒ G を考える．即ち射
θ∗ : 1 −→ HomAb (F (∗), G(∗)) である．これは R 準同型とみなせる．逆に R 準同型
から V -自然変換が定まる．
b = ModR とみなせる．
以上の対応により R
同様にして R −→ Ab は左 R 加群であり，R ⊗ S op −→ Ab は左 R 右 S 加群である．
b を米田埋込とすれば y(∗) ∈
y : R −→ R
b とすれば米田の補題により R(y(∗),
b
R
M)
b は右 R 加群 R である．よって M ∈
R
∼
= M (∗) である．これは言い換えると
HomR (R, M ) ∼
= M である．
次に M : Rop −→ Ab，N : R −→ Ab を Ab-関手とする．即ち M は右 R-加群で N
は左 R-加群である．このとき Ab-関手 T = M ⊗ N : Rop ⊗ R −→ Ab が T (∗, ∗) :=
49
∫
M ⊗Z N ，T (r, s) := M r ⊗Z N s により定まる．
∗∈R
T (∗, ∗) = M ⊗R N である．それ
を示すため，まず写像 f : M × N −→ M ⊗R N を f (m, n) := m ⊗R n で定める．これ
は双線型である．
M ×N
⊗
M ⊗Z N
f
M ⊗R N
λ∗
よってテンソル積の普遍性により準同型 λ∗ : M ⊗Z N −→ M ⊗R N が得られる．m ∈ M ，
n ∈ N ，r ∈ R に対して λ∗ ◦T (id, r)(m⊗Z n) = m⊗R rn，λ∗ ◦T (r, id)(m⊗Z n) = mr⊗R n
··
となる．従って λ∗ ◦ T (id, r) = λ∗ ◦ T (r, id) である．よって λ : T −−→ M ⊗R N は wedge
である．
··
σ : T −−→ X を wedge とする．m ∈ M ，n ∈ N ，r ∈ R に対して σ∗ ◦T (id, r)(m⊗Z n) =
σ∗ (m ⊗Z rn)，σ∗ ◦ T (r, id)(m ⊗Z n) = σ∗ (mr ⊗Z n) なので σ∗ (m ⊗Z rn) = σ∗ (mr ⊗Z n)
である．故に f : M ⊗R N −→ X を f (m ⊗R n) := σ∗ (m ⊗Z n) で定めれば f ◦ λ∗ = σ∗
∫
となる．またこのような f は明らかに一意である．以上により M ⊗R N =
∗∈R
T (∗, ∗)
である．
定理 41 (Fubini∫の定理). T : C op ⊗C ⊗X op ⊗X −→ V を V -関手として，任意の x, y ∈ X
T (c, c, x, y) が存在すると仮定する．このとき
に対してエンド
c∈C
∫
T (c, c, x, x) ∼
=
⟨c,x⟩∈C⊗X
∫
∫
T (c, c, x, x).
x∈X
c∈C
但し，この式は，どちらか一方が存在すればもう一方も存在して同型となることを意味す
る．
4 Kan 拡張
定義. C, D, M を V -豊穣圏，F : C −→ D，E : C −→ M を V -関手とする．F に沿った
E の左 Kan 拡張とは組 ⟨F † E, η⟩ であって，以下の条件を満たすものである．
50
(1) F † E は V -関手 D −→ M，η は V -自然変換 E =⇒ F † E ◦ F である．
D
F †E
=⇒
F
η
C
M
E
(2) 他に V -関手 S : D −→ M と V -自然変換 θ : E =⇒ S ◦ F が存在したとき，V -自
然変換 τ : F † E =⇒ S が一意に存在して θ = τF ◦ η となる．
D
S
τ
†
F E
=⇒
=⇒
F
η
C
θ
E
M
同様にして，F に沿った E の右 Kan 拡張 ⟨F ‡ E, η⟩ が V -自然変換の向きを逆にして得ら
れる．
D
F ‡E
=⇒
=⇒
F
S
τ
θ
η
C
E
M
定義により，次が分かる．
命題 42. 左 Kan 拡張 F † E が存在する
⇐⇒ 任意の S : D −→ M に対して全単射
HomFun(C,M) (E, SF )
∈
∼
∈
HomFun(D,M) (F † E, S)
τ
τF ◦ η
が存在する．
より強い条件
[D, M](F † E, S) ∼
= [C, M](E, SF )
は，左 Kan 拡張 F † E が存在したとしても，一般には成り立たない．しかし，M が power
を持てばこれが成り立つ．即ち
51
定理 43. F : C −→ D ，E : C −→ M，S : D −→ M を V -関手とする．左 Kan 拡張 F † E
が存在し，M が power を持つとする．このとき
[D, M](F † E, S) ∼
= [C, M](E, SF ).
証明. まず [C, M] が power を持つ事を示す．x ∈ V ，K, L ∈ [C, M] に対して
)
( ∫
M(Kc, Lc)
V(x, [C, M](K, L)) ∼
= V x,
c∈C
∫
∼
V(x, M(Kc, Lc))
=
c∈C
∫
∼
M(Kc, x ⋔ (Lc))
=
c∈C
∼
= [C, M](K−, x ⋔ (L−))
である．故に power x ⋔ L が存在する．よって
[D, M](F † E, x ⋔ S) ∼
= V(x, [D, M](F † E, S))
[C, M](E, x ⋔ SF ) ∼
= V(x, [C, M](E, SF ))
が成り立つ．よって
HomFun(D,M) (F † E, x ⋔ S) ∼
= HomV (x, [D, M](F † E, S))
HomFun(C,M) (E, x ⋔ SF ) ∼
= HomV (x, [C, M](E, SF ))
が成り立つ．命題 42 より
HomFun(D,M) (F † E, x ⋔ S) ∼
= HomFun(C,M) (E, x ⋔ SF )
が成り立つから HomV (x, [D, M](F † E, S)) ∼
= HomV (x, [D, M](E, S ◦ F )) である．よっ
て (圏 V での) 米田の補題により [D, M](F † E, S) ∼
= [D, M](E, SF )) を得る．
通常の圏の場合の各点左 Kan 拡張の特徴づけに倣って次の定義をする．
定義. C, D, M を V -豊穣圏，F : C −→ D，E : C −→ M，T : D −→ M を V -関手とす
る．T が F に沿った E の各点左 Kan 拡張とは，d ∈ D ，m ∈ M に対して自然な同型
b
M(T d, m) ∼
−, d), M(E−, m))
= C(D(F
が成り立つことをいう．
52
定理 44. 各点左 Kan 拡張は左 Kan 拡張である．
証明. 任意の S : D −→ M に対して
∫
[D, M](T, S) =
M(T d, Sd)
∫
d∈D
b
C(D(F
−, d), M(E−, Sd))
d∈D
∫
∫
=
V(D(F c, d), M(Ec, Sd))
d∈D c∈C op
∫
∫
V(D(F c, d), M(Ec, Sd))
=
c∈C op d∈D
∫
[D, V](D(F c, −), M(Ec, S−))
=
c∈C op
∫
M(Ec, SF c)
=
=
c∈C
= [C, M](E, SF )
であるから HomFun(D,M) (T, S) ∼
= HomFun(C,M) (E, SF ) が成り立つ．
M が power を持つ場合は逆も成り立つ．
定理 45. M が power を持つとする．左 Kan 拡張 F † E が存在すれば任意の d ∈ D と
m ∈ M に対して
b
M(F † E(d), m) ∼
−, d), M(E−, m))
= C(D(F
である．
証明. M が power を持つから，V -関手 S : D −→ M に対して
[D, M](F † E, S) ∼
= [C, M](E, SF )
が成り立つ．S := D(−, d) ⋔ m と置けば
(左辺) ∼
= [D, M](F † E, D(−, d) ⋔ m)
∫
∼
M(F † E(e), D(e, d) ⋔ m)
=
∫e∈D
∼
V(D(e, d), M(F † E(e), m))
=
e∈Dop
op
∼
= [D , V](D(−, d), M(F † E(−), m))
∼
= M(F † E(d), m)
53
(右辺) ∼
= [C, M](E, D(F −, d) ⋔ m)
∫
∼
M(Ec, D(F c, d) ⋔ m)
=
c∈C
∫
∼
V(D(F c, d), M(Ec, m))
=
c∈C op
op
∼
= [C , V ](D(F −, d), M(E−, m))
b
だから M(F † E(d), m) ∼
−, d), M(E−, m)) である．
= C(D(F
系 46. F † y(d) ∼
= D(F −, d)，特に y † y ∼
= id である．
∫
c∈C
定理 47. 任意の d ∈ D に対して
D(F c, d) ⊙ Ec が存在するならば各点左 Kan 拡
張 F † E も存在し
F E(d) ∼
=
†
である．
∫
証明. L(d) :=
∫
c∈C
D(F c, d) ⊙ Ec
c
D(F c, d) ⊙ Ec と置く．d ∈ D, m ∈ M に対して
(∫
c
)
M(Ld, m) = M
D(F c, d) ⊙ Ec, m
∫
∼
= M(D(F c, d) ⊙ Ec, m)
∫c
∼
= V(D(F c, d), M(Ec, m))
c
∼
b
−, d), M(E−, m))
= C(D(F
であるから L は F に沿った E の各点左 Kan 拡張である．
5 極限
V -豊穣圏においても極限，余極限を考えたい．しかし一般の V -豊穣圏の場合，∆ が自
然に定義できないため，∆ の左随伴，右随伴として定義することはできない．なので，ど
のように定義すべきかを考える必要がある．
普通，どのような考えで定義するのかよく分からないが，ここでは「余極限による各点
Kan 拡張ができる」ように定義することを考える．通常の圏では
Hom(Hom(F −, d), Hom(E−, u)) ∼
= Hom(F ↓ d → C → U, ∆u)
54
だったから，F † E が各点左 Kan 拡張であるとすると
Hom(F † E(d), u) ∼
= Hom(Hom(F −, d), Hom(E−, u))
∼
= Hom(F ↓ d → C → U, ∆u)
より F † E(d) ∼
= colim(F ↓ d → C → U ) となるのである．
そこで
定義. C, J を V -豊穣圏，F : J −→ C と W : J −→ V を V -関手とする．V -関手
c 7−→ [J , V](W −, C(c, F −)) が表現可能なとき，これを表現する対象を weighted limit
といい，limW F と書く．即ち C(c, limW F ) ∼
= [J , V](W −, C(c, F −)) である．また C op
での weighted limit を weighted colimit という．これは言い換えると以下のようになる:
F : J −→ C と W : J op −→ V を V -関手とする．V -関手 c 7−→ Jb(W −, C(F −, c)) が表
現可能なとき，これを表現する対象を weighted colimit といい，colimW F と書く．即ち
C(colimW F, c) ∼
= Jb(W −, C(F −, c)) である．*1
以下，weighted limit を単に極限，weighted colimit を単に余極限という．
b
例 48. M(F † E(d), m) ∼
−, d), M(E−, m)) のとき F † E(d) ∼
= C(D(F
= colimD(F −,d) E
である．
例 49. 米田の補題により limJ (j,−) F = F j ，colimy(j) F = F j である．
例 50. C = V の場合，x ∈ V に対して
( ∫
)
∼
V(x, [J , V](W, F )) = V x, V(W j, F j)
j
∫
∼
= V(x, V(W j, F j))
j
∫
∼
= V(W j, V(x, F j))
j
∼
= [J , V](W −, V(x, F −))
だから limW F ∼
= [J , V](W, F ) である．よって一般の V -豊穣圏 C において
C(c, limW F ) ∼
= [J , V](W −, C(c, F −)) ∼
= limW (C(c, F −))
C(colimW F, c) ∼
= [J op , V](W −, C(F −, c)) ∼
= limW (C(F −, c))
*1
[1] 等では weighted limit を {W, F }，weighted colimit を W ⋆ F で表している．
55
が成り立つ．また F : J −→ V ，W : J op −→ V に対して
V(colimW F, x) ∼
= Jb(W −, V(F −, x))
∫
∼
V(W j, V(F j, x))
=
j∈J op
∫
∼
V(F j, V(W j, x))
=
j∈J
∼
= [J , V](F −, V(W −, x))
だから colimW F ∼
= colimF W である．
定理 51. F : J op −→ V ，G : J −→ Cb，H : C −→ D を V -関手とする．colimF G ∈ Cb
が存在し，各 j ∈ J に対して colimGj H ∈ D が存在するとする．このとき
F
colimF (colimG− H) ∼
= colimcolim G H.
但し，この式は，どちらか一方が存在すればもう一方も存在して同型となることを意味
する．
証明. d ∈ D に対して自然に
D(colimF (colimG− H), d) ∼
= Jb(F −, D(colimG− H, d))
∼
b
D(H□, d)))
= Jb(F −, C((G−)□,
F
∼
b
G, D(H□, d))
= C(colim
F
∼
= D(colimcolim G H, d).
例 52. V = Set の場合．F : J −→ C ，W : J op −→ Set を関手とする．W は表現可能
関手の余極限で書けるので，W ∼
= colimi∈I HomJ (−, ai ) と書けば
colimW F ∼
= colimcolimi∈I HomJ (−,ai ) F
∼
= colim colimHomJ (−,ai ) F
i∈I
∼
= colim F ai
i∈I
である．即ち V = Set の場合は任意の weighted colimit が通常の余極限に書き直せる．
56
∫
例 53. もし
T (c, c) が存在すれば
c
( ∫
) ∫
D d, T (c, c) ∼
D(d, T (c, c))
=
c
c∈C
∫
∼
[C op , V](y(c), D(d, T (−, c)))
=
∫c∈C ∫
∼
V(C(c′ , c), D(d, T (c′ , c)))
=
′
op
∫c∈C c ∈C
∼
V(C(c′ , c), D(d, T (c′ , c)))
=
⟨c′ ,c⟩∈C op ⊗C
op
∼
= [C
⊗ C, V](C(−, □), D(d, T (−, □))).
∫
∫ c
C
故に T (c, c) = lim T である．同様にして
T (c, c) = colimC T となる．
c
定義.
(1) V -豊穣圏 C が V -完備
⇐⇒ 任意の小 V -豊穣圏 J と V -関手 F : J −→ C と W : J −→ V に対して，極
限 limW F が存在する．
(2) V -豊穣圏 C が V -余完備
⇐⇒ 任意の小 V -豊穣圏 J と V -関手 F : J −→ C と W : J op −→ V に対して，余
極限 colimW F が存在する．
定理 54. V -豊穣圏 M が V -余完備
⇐⇒ C, D を V -豊穣圏，F : C −→ D，E : C −→ M を V -関手とするとき，C が small な
らば各点左 Kan 拡張 F † E : D −→ M が存在する．
証明. (=⇒) d ∈ D に対して Wd : C op −→ V を Wd := D(F −, d) で定める．C が small
b
だから colimWd E ∈ M が存在し，M(colimWd E, m) ∼
−, d), M(E−, m)) が成
= C(D(F
り立つ．故に F † E は存在し，F † E(d) = colimWd E である．
(⇐=) J を小 V -豊穣圏，T : J −→ M，W : J op −→ V を V -関手とする．米田埋込
y : J −→ Jb を考える．仮定により各点 Kan 拡張 y † T が存在する．このとき m ∈ M に
対して
M(y † T (W ), m) = Jb(Jb(y−, W ), M(T −, m)) = Jb(W, M(T −, m))
である．故に colimW T ∼
= y † T (W ) が存在する．
定理 55. 左随伴は余極限と交換する．
57
証明. F ⊣ G : C −→ D ，T : J −→ C ，W : J −→ V とする．
D(F colimW T, d) ∼
= C(colimW T, Gd)
∼
= [J op , V](W −, C(T −, Gd))
∼
= [J op , V](W −, D(F T −, d)).
よって F colimW T ∼
= colimW (F T ) である．
定理 56. C, D, M, N を V -豊穣圏で C は small で M, N は V -余完備とする．F : C −→
D，E : C −→ M，K : M −→ N を V -関手とする．K が余連続ならば K ◦ (F † E) =
F † (K ◦ E) である．(即ち，余連続関手は左 Kan 拡張と交換する．)
Cb
F
F † (K◦E)
F †E
C
E
M
K
N
証明. M, N が余完備だから，余極限による各点左 Kan 拡張を使えば
K ◦ (F † E)(d) = K(colimWd E) = colimWd K ◦ E = F † (K ◦ E)(d)
となる．
系 57. 左随伴は左 Kan 拡張と交換する．
証明. 左随伴は余連続だから，定理 56 より従う．
定理 58. C, D, J を V -豊穣圏，F : J op −→ [C, D]，W : J −→ V を V -関手とする．各
c ∈ C に対して関手 Fc := evc ◦ F と定める．各 c ∈ C に対して余極限 colimW Fc が存在
するとする．このとき余極限 colimW F ∈ [C, D] が存在し，(colimW F )(c) = colimW Fc
である．即ち，関手圏の余極限は各点ごとに計算できる．
58
証明. V -関手 T : C −→ D を T c := colimW Fc で定める．K ∈ [C, D] に対して
∫
[C, D](T, K) =
D(T c, Kc)
∫
c∈C
D(colimW Fc , Kc)
=
∫c∈C
Jb(W −, D(Fc −, Kc))
∫
∫
=
V(W j, D(Fc j, Kc))
c∈C j∈J op
∫
∫
=
V(W j, D(F j(c), Kc))
c∈C j∈J op
∫
∫
V(W j, D(F j(c), Kc))
=
j∈J op c∈C
∫
∫
V(W j,
D(F j(c), Kc))
=
j∈J op
c∈C
∫
=
V(W j, [C, D](F j, K))
=
c∈C
j∈J op
= Jb(W −, [C, D](F −, K))
だから T = colimW F である．
系 59. c ∈ C に対して evc : [C, D] −→ D は余連続である．
証明. 命題 58 で示した様に F : J op −→ [C, D]，W : J −→ V に対して evc (colimW F ) =
colimW (evc ◦ F ) だからである．
系 60. C が small で D が V -余完備ならば [C, D] も V -余完備である．
系 61. C が small ならば Cb は V -余完備である．
6 普遍随伴
C, M を V -豊穣圏で，C は small，M は V -余完備とする．
定理 62. F : Cb −→ M が余連続のとき，ある E : C −→ M が存在して F ∼
= y † E となる．
証明. E := F ◦ y とすれば定理 56 により
y † E = y † (F ◦ y) ∼
= F ◦ (y † y) ∼
= F ◦ idCb = F
59
となる．
定理 63. y : C −→ Cb を米田埋込，F : C −→ M を V -関手とすれば随伴 y † F ⊣ F † y が成
り立つ．
Cb
y
y† F
F †y
C
F
M
証明. 定理 45 とその系を使えば，P ∈ Cb と m ∈ M に対して
b C(y−,
b
M(y † F (P ), m) ∼
P ), M(F −, m))
= C(
∼
b M(F −, m))
= C(P,
∼
b F † y(m)).
= C(P,
系 64. 余連続な F : Cb −→ M は右随伴を持つ．
証明. F が余連続だから定理 62 により F ∼
= y † E と書ける．よって定理 63 より F ⊣ E † y
となる．
b −→ M に対して，ある E : C −→ M が存在して F ∼
系 65. 任意の随伴 F ⊣ G : C
= y† E ，
G∼
= E † y となる．
証明. 左随伴は余連続だから定理 62 により F ∼
= y † E と書ける．随伴の一意性と定理 63
から G ∼
= E † y である．
定義. C を V -豊穣圏とする．
(1) c ∈ C が small projective ⇐⇒ C(c, −) : C −→ V が余連続
(2) V -関手 F が conservative ⇐⇒ U (F ) が conservative
(3) F : B −→ C が strongly generating ⇐⇒ F † y が conservative
(4) 集合 X ⊂ Ob(C) が strong generator ⇐⇒ strongly generating な F により X =
F (Ob(B)) と書ける
定理 66. V -豊穣圏 C が，小 V -豊穣圏 A により C ∼
= Ab と書ける
⇐⇒ C が V -余完備で，small projective な対象からなる集合 A ⊂ Ob(C) が存在して，A
60
が strong generator となる．
b としてよい．Ab は V -余完備である．米田埋込 y : A −→ Ab により
証明. (=⇒) C = A
A ⊂ Ab と見なす．y(a) ∈ Ab は small projective である．
. . b
b
. ) A(y(a), P ) ∼
−) ∼
= P a だから A(y(a),
= eva である．eva は余連続だったから，
y(a) は small projective である．
b は strongly generating である．
また，y † y = idA は conservative だから，y : A −→ A
b は strong generator である．
故に Ob(A) ⊂ Ob(A)
(⇐=) 仮定の A を取り，C の充満部分 V -豊穣圏 A ⊂ C とみなす．包含関手を i : A −→
C と書く．米田埋込 y : A −→ Ab を取れば，定理 63 により随伴 y † i ⊣ i† y が得られる．
Ab
y
y† i
i† y
A
i
C
この随伴が V -同値を与えることを示せばよい．
a ∈ A が small projective だから，i† y は余連続である．よって i† y◦(y † i) ∼
= y † (i† y◦i) ∼
=
y† y ∼
= idAb である．
一方，A が strong generator だから i† y は conservative である．c ∈ C を取る．定
理 54 より i† y(c) = y † y(i† y(c)) = colimi
†
i† y ◦ y † i(colimi y(c) y) = colimi
i† y ◦ y † i ∼
= id である．
†
y(c)
†
y(c)
y である．よって i† y ◦ y † i ◦ i† y(c) =
(i† y ◦ y † i ◦ y) = colimi
†
y(c)
y = i† y(c) となり
以上により C ∼
= Ab である．
例 67. 順序集合 X が集合 A により X ∼
= P(A) と書ける
⇐⇒ X が余完備で，アトミック
証明. (=⇒) 明らか．
(⇐=) 順序集合 X を 2-豊穣圏とみなす．アトム a ∈ X は small projective である．
61
A := {x ∈ X | x はアトム } と置き，i : A −→ X を包含関手とする．
P(A)
y† i
y
i† y
A
X
i
x ∈ X に対して i† y(x) ∼
= X(i(−), x) = {a ∈ A | a ≤ x} である．よって i† y は
conservative である．X がアトミックだから A は strong generator である．故に定理 66
により X ∼
= P(A) と書ける．
例 68. (X, d) を距離空間，Y ⊂ X を部分空間とする．f : Y −→ R を f ≥ 0 とな
る Lipschitz 連続関数とし，L を f の Lipschitz 定数とする．(即ち |f (y0 ) − f (y1 )| ≤
Ld(y0 , y1 ) である．) このとき fe: X −→ R を fe(x) := inf (f (y) + Ld(x, y)) で定めれば
y∈Y
これは f の延長で Lipschitz 連続である．
証明. X, Y の距離を d′ := Ld に変えた距離空間を X ′ , Y ′ とする．このとき f : Y ′ −→ R
は Lipschitz 定数が 1 となる Lipschitz 連続関数である．よって f を R+ -関手 Y ′ −→ R+
とみなすことができる．i : Y ′ −→ X ′ を包含関手として，Kan 拡張 i† f : X ′ −→ R+ を
考えれば i† f : X ′ −→ R は Lipschitz 連続となる．
X′
Y′
†
更に i f (x) =
∫
y∈Y ′
i† f
=⇒
i
f
R+
X ′ (i(y), x) ⊙ f (y) = inf (f (y) + Ld(x, y)) である．
y∈Y
定理 69 (Eilenberg-Watts). R, S を単位的環として，F ⊣ G : ModR → ModS を Ab随伴とする．このときある左 R 右 S 加群 P が存在して F ∼
= − ⊗R P ，G ∼
= HomS (P, −)
と書ける．
b だから，定理 65 によりある P : R −→ Sb が存在して F ∼
証明. ModR = R
= y† P ，
62
G∼
= P † y となる．
b
R
F
y
G
R
Sb
P
b，N ∈ Sb に対して
このとき P は左 R 右 S 加群であり，M ∈ R
y P (M ) ∼
=
†
∫
∗∈R
b
R(y(∗),
M ) ⊙ P (∗) ∼
=
∫
∗∈R
M (∗) ⊙ P (∗) ∼
= M ⊗R P
b −, N ) ∼
P † y(N ) ∼
= S(P
= HomS (P, N )
となる．
定義. (通常の) 圏の射 r : a −→ b が retraction ⇐⇒ ある i : b −→ a が存在して r ◦i = idb
補題 70. ε : F =⇒ G が自然変換で，a に対して εa : F a −→ Ga が同型射であるとする．
このとき r : a −→ b が retraction ならば εb : F b −→ Gb も同型射である．
証明. ε : F =⇒ G が自然変換で，r ◦ i = idb だから次が可換である．
ε−1
a
Fa
Ga
εa
ε−1
a
Fa
Ga
εa
Fr
Fi
Gi
Fb
Gb
εb
id
Fb
Gr
id
Gb
εb
よって f := F r ◦ ε−1
a ◦ Gi : Gb −→ F b と置けば f ◦ εb = idb ，εb ◦ f = idb である．
b が small projective ⇐⇒ P が有限生成射影右 R 加群
補題 71. P ∈ R
証明. (=⇒) P の有限生成部分右 R 加群全体を X とすれば P = colim N と書ける．こ
N ∈X
b
b
b
N ) である．
のとき P が small projective だから R(P,
P ) = R(P,
colim N ) = colim R(P,
N ∈X
idP
N ∈X
b
b
∈ R(P,
P ) が存在するから，これに対応する x ∈ R(P,
N ) がある N ∈ X に存在す
63
b
る．このとき P = N となる．よって P は有限生成．また R(P,
−) が余連続だから特に
全射を保存し，よって P は射影加群である．
(⇐=) P を有限生成射影右 R 加群とすれば，P はある Rn の直和因子となる．即ちあ
る M が存在して Rn = P ⊕ M と書ける．π : Rn −→ P を射影，i : P −→ Rn を包含と
すれば π ◦ i = idP である．即ち π : Rn −→ P は retraction である．
余極限の普遍性により，自然変換
ε : colim Hom(−, N ) =⇒ Hom(−, colim N )
N
N
が存在する．εRn が同型だから，retraction π : Rn −→ P により εP も同型である．よっ
て P は small projective である．
b∼
定義. 単位的環 R, S が森田同値 ⇐⇒ Ab-同値 R
= Sb が成り立つ
定理 72. 単位的環 R, S が森田同値
⇐⇒ 有限生成射影右 S 加群 P が存在して，P が generator かつ環同型 R ∼
= HomS (P, P )
が成り立つ．
∼
b −→ Sb，G : Sb −→ R
b，GF ∼
証明. (=⇒) F : R
= idR
b，F G = idSb を Ab-同値とする．F ⊣ G
としてよい．このとき P := F ◦y と置けば F ∼
= y† P ∼
= −⊗R P ，G ∼
= P †y ∼
= HomS (P, −)
b
である．よって R ∼
= GF (R) ∼
= G(R⊗R P ) ∼
= G(P ) ∼
= HomS (P, P ) である．また R ∈ R
b も small projective である．故に前補題か
が small projective だから P = F (R) ∈ S
b は generator だから P = F (R) も
ら P は有限生成射影右 R 加群である．また R ∈ R
generator である．
(⇐=) P が有限生成射影右 S 加群だから，P は small projective である．V -関手
b −) : ModS −→ Ab は conservative である．
S(P,
. . b
b f ) : S(P,
b M) ∼
b N ) を与えるとする．
. ) S の射 f : M −→ N が同型 S(P,
= S(P,
b −) は連続だから S(P,
b ker f ) ∼
b f ) = 0 である．今 P が generator だ
S(P,
= ker S(P,
から ker f = 0 が分かる．また P が small projective だから余連続でもある．従って
b coker f ) ∼
b f ) = 0 となり，P が generator だから coker f = 0 であ
S(P,
= coker S(P,
る．以上より f は同型である．
b∼
従って P は strong generator である．よって，定理 66 の証明から R
= Sb となること
が分かる．
例 73. 単位的環 R に対して Mn (R) を R の元を成分とする n 次行列全体がなす単位
64
的環とする．Rn は有限生成射影右 R 加群である．また Rn は generator で，Mn (R) ∼
=
Hom(Rn , Rn ) である．従って ModMn (R) ∼
= ModR であり，よって R と Mn (R) は森
田同値である．
参考文献
[1] G.M. Kelly, Basic Concepts of Enriched Category Theory, Cambridge University
Press, Lecture Notes in Mathematics 64 (1982),
http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/10/tr10abs.html
[2] F. W. Lawvere, Metric spaces, generalized logic, and closed categories, Rendiconti
del Seminario Matematico e Fisico di Milano, 43:135–166, 1973
65

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