Anwendungsaufgaben zum HDI

M GK Q1
AB 03
Integration mit Stammfunktionen
12/2016
Ihr habt in der letzten Stunde den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung kennengelernt.
Auf diesem Arbeitsblatt soll dieser zur Anwendung kommen.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Ist F eine beliebige Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion f, so gilt
𝒃
∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = [𝑭(𝒙)]𝒃𝒂 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)
𝒂
Zum „Aufwärmen“:
Aufgabe 1
Geben Sie eine Stammfunktion von f an.
a) f(x) = 3x5 – 2x3 + 7
b) f(x) = 0.25 x4 – 0.5 x3
Geben Sie eine Stammfunktion von f an, deren Graph durch den vorgegebenen Punkt P verläuft.
c) f(x) = 3x5 – 2x3 + 7 , P(0/1)
d) f(x) = 0.25 x4 – 0.5 x3 , P(1/0)
𝑏
e) (TOP) Bestimme b > 0 so, dass die Gleichung ∫0 (𝑥 2 − 3) 𝑑𝑥 = 0 erfüllt ist.
Aufgabe 2 (Swimmingpool)
Ein quaderförmiger Swimmingpool mit 8 m Länge, 5 m Breite und 3 m Höhe wird mit Wasser gefüllt.
Zu Beginn beträgt die Wasserhöhe 0,1 m. Der Zu- bzw. Abfluss des Wassers wird modellhaft
beschrieben durch die Zulaufratenfunktion mit
𝑓(𝑡) = 𝑡 3 − 13𝑡 2 + 40𝑡
0≤𝑡≤9
(f(t) in m³ pro Stunde, t in Stunden)
a) Gib die Zeitpunkte an, zu denen das Wasser weder zu- noch abläuft, und berechne die
Zeitpunkte maximalen Zu- bzw. Abflusses.
b) Skizziere den Graphen der Zulaufratenfunktion f.
c) Berechne, wie viel Wasser sich nach 3 Stunden im Pool befindet.
d) Bestimme die Höhe des Wasserstands am Ende des gesamten Einfüllvorgangs.
Aufgabe 3
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion mit der x-Achse einschließt. (GTR, Skizze)
a)
𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 3𝑥
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 2
b) 𝑓(𝑥) = 0,5𝑥 2 − 3𝑥
c) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 − 1
e) 𝑓(𝑥) = −4(𝑥 2 − 1)
f) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 6𝑥 2 + 4𝑥
Aufgabe 4
Zum Ausklang noch ein paar Übungen zum Bilden von Stammfunktionen:Gib eine Stammfunktion an.
𝑎) 𝑓(𝑥) = 0
b) 𝑓(𝑥) = 1
c) 𝑓(𝑥) = 2
d) 𝑓(𝑥) = 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥
f)𝑓(𝑥) = 𝑥 2
g) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 h) 𝑓(𝑥) = 𝑥 −3 i) 𝑓(𝑥) = 𝑥 −2 j) 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 , 𝑛 ∈ ℝ \{−1} k) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 2 − 3𝑥 + 6
l) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 + 1 m)𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 − 3𝑥 2 + 7𝑥
o) 𝑓(𝑥) = 16𝑥 4 + 𝑥 − 7 +
5
𝑥2
−
30
𝑥3
3
n) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 2 − 3𝑥 + √𝑥 − 5
p) 𝑓(𝑥) = 𝑢3 + 𝑢2 + 𝑢 + 1

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