P 1,i

〝相反作用の定理〟
(reciprocal theorem)
〝相反作用の定理〟
(reciprocal theorem)
〝ベッティの相反作用の定理〟
(Betti’s reciprocal theorem)
〝マックスウェルの相反作用の定理〟
(Maxwell’s reciprocal theorem)
〝ミューラー・ブレスラウの定理〟
(Müller-Breslau’s theorem)
〝カステリアーノの第２定理〟
(Castigliano’s second theorem)
〝ベッティの相反作用の定理〟
(Betti’s reciprocal theorem)
P2, j
j
vj
v2, j
v1,i
U11
i
U12  U22
v2,i
P1,i
1)外力群1の載荷
i
P2, j
j
U
P1,i
2)外力群2の載荷
vi
P1,i
i
3)外力群(1+2)の載荷
(a) 載荷順序 Ⅰ
j
P2, j
v2, j
U 22
P2, j
j
vj
v1, j
U 21  U11
v1,i
i
1)外力群2の載荷
P2, j
j
U
P1,i
2)外力群1の載荷
vi
i
3)外力群(2+1)の載荷
(b) 載荷順序 Ⅱ
図-26
P1,i
外力群の載荷順序と各段階で蓄えられるひずみエネルギー
まず、外力群P1,i が載荷した段階でなされる仕事W11は、
W11 
1
P1,i  v1,i

2 i
次に、外力群P2,j が作用したときに、P1,i がv2,i になす仕事W12は、W12   P1,i  v2,i
i
これと同時に、P2,jがv2,iになす仕事W22は、
W22 
1
 P2, j  v2, j
2 j
載荷順序Ⅰの場合の全外力仕事W1 は、
W1  W11  W12  W22 
1
1
P

v

P

v

P2, j  v2, j



1,i
1,i
1,i
2 ,i
2 i
2 j
i
載荷順序Ⅱの場合の全外力仕事W2 は、
1
1
W2  W22  W21  W11   P2, j  v2, j   P2, j  v1, j   P1,i  v1,i
2 j
2 i
j
ところが、 W1  W2
P
1,i
i
 v2,i   P2, j  v1, j
j
弾性線形構造物に2組の互いに独立な外力群1および外
力群2が作用して、それぞれの系で釣合状態にあると
き、外力群1が外力群2により生ずる変位に対してなす
仮想仕事は、外力群2が外力群1により生ずる変位に対
してなす仮想仕事に等しい。
〝ベッティの相反作用の定理〟
(Betti’s reciprocal theorem)
弾性線形構造物に2組の互いに独立な外力群1およ
び外力群2が作用して、それぞれの系で釣合状態
にあるとき、外力群1が外力群2により生ずる変位
に対してなす仮想仕事は、外力群2が外力群1によ
り生ずる変位に対してなす仮想仕事に等しい。
〝ベッティの相反作用の定理〟
(Betti’s reciprocal theorem)
P
1,i
i
 v2,i   P2, j  v1, j
j
j
j
P2, j
v1, j
v2,i
i
i
P1,i
(a)外力群1の系
図-27
 P
1,i
i
(b)外力群2の系
Bettiの相反作用の定理
 v2,i  M1,i 2.i  T1,i  2,i     P2, j  v1, j  M 2, j  1. j  T2, j  1, j 
j
〝マックスウェルの相反作用の定理〟
(Maxwell’s reciprocal theorem)
Pj  1
j
j
v ji
vij
i
i
Pi  1
系1
系2
(a)単位外力 Pi  1 による
(b)単位外力 Pj  1 による
点 j の Pj 方向の変位 v ji
点 i の Pi 方向の変位 vij
①並進変位に対して
図-28 Maxwell の相反作用の定理
〝マックスウェルの相反作用の定理〟
(Maxwell’s reciprocal theorem)
vij
Pi  vij  Pj  v ji
vij  v ji
第1添字は、一般変位を生じる点であり、
第2添字は、一般変位の原因となった一般外力の作用点を意味する。
Pi  vij  M i ij  Ti  ij  Pj  v ji  M j   ji  T j   ji
M j 1
 ji
j
i
j
i
 ij
Mi  1
系1
系2
(a)単位外力モーメント M i  1
(b)単位外力モーメント M j  1
による点 j の回転変位  ji
による点 i の回転変位  ij
図-28
②回転変位に対して
Maxwell の相反作用の定理
M i  M j  1 Pi  Pj  Ti  T j  0
 ji  ij
Pi  vij  M i ij  Ti  ij  Pj  v ji  M j   ji  T j   ji
M j 1
 ji
j
j
vij
i
i
Pi  1
系1
系2
(a)単位外力 Pi  1 による
(b)単位外力モーメント M j  1
点 j の回転変位  ji
による点 i の Pi 方向の変位 vij
③並進変位と回転変位に対して
図-28 Maxwell の相反作用の定理
Pi  M j  1
M i  Pj  Ti  T j  0
 ji  vij
たわみの影響線
Pi  1
Pj  1
i
j
i
v ji
vij
(a)点 j のたわみ v ji
j
(b)単位荷重 Pj  1 によるたわみ曲線
図-29 たわみの影響線
たわみ角の影響線
Pi  1
i
j
vij
 ji
i
M j 1
j
(b)単位モーメント M j  1 によるたわみ曲線
(a)点 j のたわみ角  ji
図-29’
たわみ角の影響線
〝ミューラー・ブレスラウの定理〟
(Müller-Breslau’s theorem)
不静定構造物の不静定反力あるいは不静定断面力の影響線
Pi  1
A
Qj
i
Rj j
i
vij
vij  0
Mj
v jj , R
Pj  1
j
M j 1
i
i
反力（断面力）：系 1
(b)単位外力 Pj  1 による
たわみ曲線：系 2
によるたわみ曲線：系 2
j
Qj  1
vij  0
(a)単位荷重 Pi  1 による
(c)単位曲げモーメント M j  1
j
v jj , M
B
v jj ,Q  0
v jj ,Q  0
図-30
(d)単位せん断力 Q j  1
によるたわみ曲線：系 2
(e)せん断力が生じ得ない状態にするために
設けるリンク機構（シアレス連結）
Müller-Breslauの定理
Pi  1
図(b)の系：支点反力の影響線
1 vij  R j  v jj,R  Pj  0
A
j
i
Rj
Pi  1
系1の外力が系2の変位に対してなす仕事W12 は、
vij
v jj , R
j 0
Pj  1
j
単位外力 Pj  1 によるたわみ曲線
ここに、Δj は点 j の支点変位であり、 Δj = 0 である。
ところが、W12=W21 , Pi=1 であるから、
1 vij  R j  v jj,R  Pj  0
Rj 
Rj
i
系2の外力が系1の変位に対してなす仕事W21 は、
W21  Pj   j
j
i
W12  Pi  vij  R j   v jj , R 
B
vij
v jj , R
系1
系2
図(c)の系：曲げモーメントの影響線
1 vij  M j  v jj,M  M j  0
系1の外力が
系2の変位に対してなす仕事W12 は、
Pi  1
Mj
A
W21  M j  L  R 
j
Pi  1
Mj
W12  Pi  vij  M j   v jj , M 
系2の外力が
系1の変位に対してなす仕事W21 は、
B
i
i
vij  0
j
系1
L
R
v

v

v
jj
,
M
jj
,
M
jj , M
M j 1
i
v jj , M
j
系2
単位曲げモーメント M j  1 によるたわみ曲線
ここに、θL , θR は点 j での左側と右側のたわみ角で
あり、曲げモーメントの連続条件から θL = θRである。
ところが、W12=W21 , Pi=1 であるから、
1 vij  M j  v jj,M  M j  0
L R
Mj 
vij
v jj , M
Pi  1
図(d)の系：せん断力の影響線
1 vij  Q j  v jj,Q  Q j  0
A
Qj
i
Pi  1
系1の外力が系2の変位に対してなす仕事W12 は、
i
W12  Pi  vij  Q j   v jj ,Q 
vij  0
Qj
j
系2
v jj ,Q  0
単位せん断力 Q j  1によるたわみ曲線
ここに、Δj は点 j の支点変位であり、 Δj = 0 である。
ところが、W12=W21 , Pi=1 であるから、
1 vij  Q j  v jj,Q  Q j  0
系1
Qj  1
系2の外力が系1の変位に対してなす仕事W21 は、
W21  Q j   j
j
j j 0
i
B
Qj 
vij
v jj ,Q
図(b)の系：支点反力の影響線
図(c)の系：曲げモーメントの影響線
図(d)の系：せん断力の影響線
Rj 
vij
v jj , R
Mj 
Qj 
vij
v jj , M
vij
v jj ,Q
〝ミューラー・ブレスラウの定理〟
(Müller-Breslau’s theorem)
不静定構造物の反力（あるいは断面力）の影響線は、それらの反力（ある
いは断面力）が生じ得ない状態にした仮想構造物において、当該反力（あ
るいは断面力）と逆向きの単位外力を作用させたときに生ずるたわみ曲線
と相似で、その縦距を 𝟏 𝒗𝒋𝒋 倍したものである。
ここに、𝒗𝒋𝒋 は仮想構造物の単位外力の作用点における単位外力方向の
たわみ（あるいは断面の相対回転角または相対変位）である。
【問題MB-8】下図に示す曲げ剛性𝑬𝑰が一定な１次不静定ゲルバーばりのG点のせん
断力 𝑸𝑮 の〝影響線〟を求めよ。さらに、支点反力 𝑹𝑨 , 𝑹𝑩 , 𝑹𝑪 , 𝑴𝑨 ・曲げモーメント
𝑴𝑫 , 𝑴𝑬 , 𝑴𝑭 , 𝑴𝑩 ・せん断力𝑸𝑫 , 𝑸𝑬 , 𝑸𝑭 の〝影響線〟を図示せよ。ただし、図中には、
正負の符号を必ず明記すること。
D
A
2
G
E
2
A
MA
2
1
D
G
2
3 E
B
2
B
2
2
F
C
3
RA
RB
曲げ剛性 EI=const.
C
F
RC
D
A
0.5
QG 
0
0.5
 RA 
0
0.5
 RB 
1.0
0
0.5
1.0
0.5
 RC 
0
0.5
1.0
0.5
M A 
0
0.5
2
G
2
E
2
B
2
C
F
2
2
D
A
0.5
QG 
0
0.5
0.5
M D 
0
0.5
M E 
0
0.5
M F 
0
0.5
M A 
0
0.5
0.5
M B 
0
2
G
2
E
2
B
2
C
F
2
2
D
A
0.5
QG 
0
0.5
QD 
0
0.5
1.0
0.5
QE 
0
0.5
0.5
QF 
0
0.5
2
G
2
E
2
B
2
C
F
2
2
〝カステリアーノの第２定理〟
(Castigliano’s second theorem)
Pk
Pk k
k
 vk
vk
U  U12  U 22
vi
U11
i
vi
i
Pi
(a)系 1
図-31
Castiglianoの第2定理（集中外力）
弾性線形構造物
〝ベッティの相反作用の定理〟
エネルギー増加量
(b)系 2
 P  v
i
i
 Pk  vk
i
1
U  U12  U 22   Pi  vi  Pk  vk
2
i
U  Pk  vk 
1
Pk  vk
2
U
1
 vk  vk
Pk
2
 U
lim 
Pk 0 P
 k

1
  vk   lim vk 
2 vk 0

U
 vk
Pk
〝カステリアーノの第２定理〟
(Castigliano’s second theorem)
構造物のひずみエネルギーが外力の関数として与えられているとき、
ある点の外力に関するひずみエネルギーの偏導関数は、その点に作
用する外力の作用線方向の変位に等しい。

Download Report