Übungsblatt 6 Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3

Übungen zur Höheren Algebra I
Übungsblatt 6
Wintersemester 2016/2017
Prof. Dr. Peter Schneider
MSc. Mark Feldmann
Für jede Aufgabe gibt es 4 Punkte.
Abgabetermin: Donnerstag, 1. Dezember 2016, vor der Vorlesung.
Aufgabe 1
Man bestimme das Jacobson-Radikal für folgende Ringe.
1.
2.
3.
Z/mZ
für ein quadratfreies
n
Z/p Z
n∈N
für
m ∈ Z.
und eine Primzahl
p.
8
Q[X]/(X − 1).
Aufgabe 2
Es sei
f: R →S
ein surjektiver Ringhomomorphismus.
1. Man zeige, dass
f (Jac(R))
ein (beidseitiges) Ideal in
2. Man zeige, dass
f (Jac(R)) ⊆ Jac(S)
3. Man widerlege, dass im Allgemeinen
S
ist.
gilt.
f (Jac(R)) = Jac(S)
gilt.
Aufgabe 3
Es sei
1.
R
R
ein Ring. Man zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
hat genau ein maximales Linksideal.
2. Jac(R)
= R \ R× .
3.
R \ R×
4.
R/Jac(R)
ist ein Linksideal in
R.
ist ein Schiefkörper.
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