Probeklausur vom 30. November 2016

LMU MÜNCHEN
Mathematik für Studierende der Biologie – Wintersemester 2016/17
Prof. Dr. Andreas V. m. Herz – Dr. Stefan Häusler – Sebastian Groß
Probeklausur
Wichtige Hinweise zur ersten Klausur:
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Die erste Klausur findet am Samstag, 10.12.16 von 10:30 – 12:00 Uhr im Hörsaal N00.001 des
Biomedizinischen Zentrums (BMC) statt.
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Die Benutzung eines Taschenrechners ist nicht erlaubt.
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Die Benutzung eines beidseitig beschriebenen DIN A4 Blatts ist als Hilfsmittel zugelassen.
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Alternativ sind zwei einseitig beschriebene DIN A4 Blätter ebenso als Hilfsmittel zugelassen.
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Sie dürfen diese Blätter auch mit dem Computer erstellen und ebenso dürfen Sie auf ihnen alles
notieren was Sie als wichtig erachten.
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Beachten Sie, dass nicht alle Aufgabentypen der Probeklausur auch Inhalt der Klausur sein
müssen und, dass andersherum, Aufgabentypen der Klausur nicht unbedingt Inhalt der
Probeklausur sind. Der Inhalt der ersten Teilklausur umfasst alle Vorlesungen bis einschließlich
derjenigen am 07.12.16 sowie dem Übungsblatt 6.
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Für die Bearbeitung der Aufgaben der ersten Klausur haben Sie 60 Minuten Zeit und können
50 Punkte erreichen.
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Vergessen Sie Studenten- und Personalausweis nicht und kommen Sie rechtzeitig im Hörsaal an,
d.h. mindestens eine Viertelstunde vor Beginn der Klausur. (Planen Sie bitte die von den
regulären Zeiten abweichenden Fahrpläne der MVG am Wochenende mit ein!)
Aufgabe 1 (Allgemein I)
(1 + 1 + 1 + 1,5 + 2,5 = 7)
a) Berechnen Sie 3! − 0! + √4 (wobei ! die Fakultät bezeichnet).
b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge 𝕃, welche die Ungleichung ln(0,3) ∙ |𝑥 − 2| > 0 löst.
c) Untersuchen Sie, ob −5 eine untere Schranke von 𝑎𝑛 = 𝑛 − 6 (𝑛 = 0, 1, 2, 3, …) ist.
d) Berechnen Sie das folgende Polynom 𝑘(𝑥) durch Polynomdivision.
(𝑥 4 + 4𝑥 3 + 6𝑥 2 + 8𝑥 + 8) ∶ (𝑥 2 + 4𝑥 + 4) = 𝑘(𝑥)
e) Zeigen Sie mit Hilfe des Nullstellensatzes, dass die Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 − 2 im Intervall [0; 2]
mindestens eine Nullstelle besitzt.
Aufgabe 2 (Allgemein II)
(2 + 2 + 1,5 + 3,5 = 9)
a) Sei 𝑓: ℝ+
>0 ⟶ ℝ
𝑥 ⟼ √𝑥.
Überprüfen Sie, ob 𝑓 injektiv ist.
b) Ermitteln Sie die Taylor-Entwicklung bis einschließlich 2. Ordnung um 𝑥0 = 1 von 𝑓(𝑥) = ln(𝑥).
c) Berechnen Sie den Abstand vom Punkt 𝑃(1/0) zum Punkt 𝑄(3/4) mit Hilfe des Satzes des
Pythagoras.
d) Sei 𝑥 ∈ [1; 6] sowie 𝑦 ∈ [−9; −4]. Die Differenz von 𝑥 und 𝑦 sei 10. Bestimmen Sie 𝑥 und 𝑦 so, dass
ihre Summe maximal wird und geben Sie die Summe an.
Bitte wenden!
1
Aufgabe 3 (Iterierte Abbildungen)
(1 + 2,5 + 0,5 = 4)
a) Zeichnen Sie ein Koordinatensystem mit der 1. Achse 𝑥𝑡 und der 2. Achse 𝑥𝑡+1 .
Skizzieren Sie in dieses Koordinatensystem die Winkelhalbierende sowie den Graphen der
iterierten Abbildung 𝑥𝑡+1 = 3𝑥𝑡 − 2 (𝑡 = 0, 1, 2, 3, … ).
b) Skizzieren Sie mit Hilfe von a) die Entwicklung 𝑥𝑡 als Funktion der Zeit. Wählen Sie als
Anfangsbedingungen einmal 𝑥0 = 1 und einmal 𝑥0 = 2. (Je drei Iterationsschritte genügen!)
c) Wo liegt also der Fixpunkt 𝑥 ∗ ? Ist er stabil oder instabil?
Aufgabe 4 (Komplexe Zahlen)
(2 + 5 = 7)
Im Folgenden bezeichne 𝑖 die imaginäre Einheit.
a) Finden Sie Real- und Imaginärteil von 𝑧 = 𝑒 −𝑖𝜋 + 𝑖 2 .
b) Bestimmen Sie alle 𝑠 ∈ ℂ, welche die Gleichung 𝑠 5 − 𝑖 = 0 lösen.
Aufgabe 5 (Grenzwerte)
(1 + 2 + 3 = 6)
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte oder begründen Sie warum kein endlicher Grenzwert existiert.
Falls Sie die Regel von de l’Hospital anwenden, müssen Sie dies explizit angeben.
a) lim
ln(2𝑒−𝑥)
𝑥
𝑥→𝑒
b) lim
𝑥→0
tan(𝑥)
;𝑥 ∈ℝ
;𝑥∈ℝ
𝑥
𝑥
1
2𝑘
c) lim ∑ (−1)𝑘 ( )
2
𝑥→∞
𝑘= −1
;𝑥 ∈ ℕ
Aufgabe 6 (Ableitungsregeln)
(2,5 + 2,5 = 5)
Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung von nachfolgenden zwei Funktionen.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 sin(𝑥 2 ) ; 𝑥 ∈ ℝ
b) 𝑓(𝑥) =
3𝑥+1
𝑥 2 +1
;𝑥 ∈ ℝ
Aufgabe 7 (Integralrechnung)
(3 + 3 = 6)
Berechnen Sie die folgenden zwei Ausdrücke mittels einer geeigneten Integrationsmethode.
4
a)
∫ 4𝑥𝑒
3𝑥
𝑑𝑥
b)
∫
1
𝑒 √𝑥
√𝑥
𝑑𝑥
Aufgabe 8 (Umgekehrte Kurvendiskussion)
(6)
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung 𝑓(𝑥) eines Polynoms 4. Grades, welches achsensymmetrisch zur
2. Achse ist, welches zusätzlich die 𝑦 − Achse bei 1 schneidet, und welches am Punkt 𝑃(1/0) dieselbe
1
Steigung hat wie die Funktion 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 (𝑥 ∈ ℝ) an der Stelle 𝑥 = .
2
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