Mathematik I für Studierende der E

Institut für Analysis und Algebra
Mathematik I für Studierende
der E-Technik
Prof. Dr. Volker Bach | WiSe 2016/17
M. Sc. Birgit Komander | M. Sc. Christoph Brauer
Übungsblatt 5
Abgabe: 25.11.16 bis 9:30 Uhr in den Holzkasten hinter Raum PK 4.3
Themen:
Umordnung von Reihen - Oﬀene, Abgeschlossene, Kompakte Mengen - Innere Punkte, Häufungspunkte von Mengen - Trigonometrie- Stetigkeit
Aufgabe G 5.1. [Umordnung von Reihen]
Gegeben sei die alternierende harmonische Reihe
∞
(−1)n+1
.
n
n =1
∑
∞
Finden Sie eine Umordnung
∞
(−1)n+1
, sodass
n
n =1
∑ bn von ∑
n =1
∞
∑
n =1
bn =
1 ∞ (−1)n+1
2 n∑
n
=1
gilt. Wieso steht dies nicht im Widerspruch zum großen Umordnungssatz?
Aufgabe G 5.2. [Mengenbegriﬀe]
Skizzieren Sie die Mengen M1 , M2 . Bestimmen Sie alle inneren Punkte und Häufungspunkte der
Mengen. Untersuchen Sie die Mengen auf Oﬀenheit, Abgeschlossenheit und Kompaktheit.
i.) M1 = Q ∩ (0, 1) ⊂ R,
n −n
o
ii.) M2 = i n : n ∈ N ⊂ C.
Aufgabe G 5.3. [Trigonometrie]
Zeigen Sie für komplexe Zahlen z, w ∈ C folgende Identität:
z+w
z−w
cos[z] − cos[w] = −2 sin
sin
.
2
2
Aufgabe G 5.4. [Stetigkeit]
Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit mithilfe der Definition:
i.) f 1 : C → C, z 7→ |z|,
ii.) f 2 : R → R, x 7→ sign( x ) x2 .
- Bitte wenden -
Aufgabe H 5.1. [Umordnung von Reihen]
Für m ∈ N sei
(5 Punkte)
2m −1
sm :=
∑
k =1
2m
1
.
+ (2k − 1)
i.) Zeigen Sie, dass für alle m ∈ N die Abschätzung sm >
1
4
gilt.
ii.) Zeigen Sie, dass die Reihe
R := 1 −
∞ 1
1
+ ∑ sm −
2 m =1
2m + 2
eine Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe ist.
iii.) Zeigen Sie, dass die Reihe R divergiert.
Aufgabe H 5.2. [Mengenbegriﬀe]
(5 Punkte)
Skizzieren Sie die Mengen M1 und M2 . Bestimmen Sie alle inneren Punkte und Häufungspunkte
der Mengen. Untersuchen Sie die Mengen auf Oﬀenheit, Abgeschlossenheit und Kompaktheit.
[
1
1
i.) M1 =
n+2 , 1 − n+2 ⊂ R,
n ∈N
ii.) M2 = eiϕ : ϕ ∈ [0, 2π ) ⊂ C.
Aufgabe H 5.3. [Trigonometrie]
(5 Punkte)
Zeigen Sie für komplexe Zahlen z, w ∈ C folgende Identität:
z+w
z−w
sin[z] + sin[w] = 2 sin
cos
,
2
2
Aufgabe H 5.4. [Stetigkeit]
Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit mithilfe der Definition:
i.) f 1 : R → R, f 1 ( x ) = [ x ]+ := max{ x, 0},
ii.) f 2 : C → R, f 2 (z) = Re{z}.
(5 Punkte)

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