Versuchsanleitung

Versuchsanleitung
zum Versuch K7
„Statistik des radioaktiven Zerfalls und
Signifikanzprüfung bei zählenden Messungen“
Physikalisches Grundpraktikum, Abteilung Kernphysik
Dr. Jonny Birkhan, M.Sc. Marco Patrizio, René Zucker
Hinweise zur Vorbereitung
1. Der Versuch gliedert sich in zwei Teile.
a) Im ersten Teil werden Sie den radioaktiven Zerfall mit Hilfe von Monte-Carlo-Rechnungen
simulieren, um die Zerfallsdaten anschließend statistisch auszuwerten.
b) Im zweiten Teil geht es um die Bestimmung von Erkennungs- und Nachweisgrenze für eine
Messung der ionisierenden Strahlung eines 60Co-Präparats. Auch hierbei werden Sie
Monte-Carlo-Rechnungen benutzen, um die beide charakteristischen Grenzen zu
berechnen.
2. In der Versuchsbeschreibung werden Abbildungen nur insofern direkt im Fließtext gezeigt, als
Sie für die Bewältigung der Aufgaben unmittelbar nötig sind. Alle anderen genannten
Abbildungen befinden sich am Ende des Dokuments als Anhang.
3. Studieren Sie die in der Rubrik „Lernziele“ angegebene Literatur am besten so, dass Sie die
geforderten Begriffe zunächst nachschlagen und von diesen Textstellen ausgehend Ihr Wissen
vertiefen, soweit das nötig ist, um die gestellten Fragen beantworten zu können.
4. Sie werden im Versuch an Rechnern arbeiten, auf denen Ubuntu als Betriebssystem installiert
ist. Außerdem werden Sie in geringem Umfang C-Quelltext editieren müssen. Daher befinden
sich im Anhang sogenannte „Cheat-Sheets“ (Spickzettel), auf denen Systembefehle für die
Navigation im Dateisystem als auch die Syntax für die Programmiersprache C abgedruckt
sind. Bereiten Sie sich damit auf den Versuchstag vor. Darüber hinaus ist eine Kurzeinführung
in Linux angehängt, die zwar für das Betriebssystem OpenSuse entworfen wurde, aber
hinsichtlich der Bedienung eines Linux-Systems (Dateisystem, Texteditoren) seine Gültigkeit
hat.
5. Ihr Betreuer wird die für den Versuch erforderliche Hintergrundmessung beginnen, bevor Sie
die erste Aufgabe bearbeiten.
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1
Lernziele
Modellierung und Simulation von physikalischen Prozessen
Zufallsexperimente am Beispiel des radioaktiven Zerfalls
durch
Die Modellierung von Prozessen mit Hilfe von simulierten Zufallsexperimenten ist
nicht nur in der Physik zu einem etablierten Verfahren herangewachsen, um
dynamische Systeme zu untersuchen oder Experimente zu planen. Die Soziologie,
Biologie und Ökonomie sind typische Fachgebiete, in denen solche Simulationen
genutzt werden, um Populationsdynamiken oder Börsenkurse zu untersuchen.
Dabei gehört die Modellierung von realen Prozessen durch die Simulation von
Zufallsexperimenten in den Bereich der sogenannten Monte-Carlo-Methoden.
In der Physik ist ein solches dynamisches System zum Beispiel ein Kollektiv von
instabilen Atomkernen. Der radioaktive Zerfall von Atomkernen ist ein statistischer
Prozess, bei dem nicht vorhergesagt werden kann, wann ein bestimmter Atomkern
in einem betrachteten Kollektiv zerfällt. Lediglich die Zerfallsrate der Atomkerne
zeigt bei wiederholten Messungen ein bestimmtes statistisches Verhalten. Der
Zerfall von Atomkernen lässt sich durch ein Bernoulli-Experiment modellieren und
simulieren. Im Grenzfall einer großen Anzahl an Atomkernen mit
kleiner
Zerfallswahrscheinlichkeit folgt die Zerfallsrate einer Poisson-Verteilung. In diesem
Versuch geht es darum, den radioaktiven Zerfall als statistischen Prozess im
Rahmen eines Bernoulli-Experimentes zu modellieren und zu simulieren sowie
daraus die typischen Eigenschaften wie die näherungsweise Poisson-Verteilung der
Zerfallsraten bei wiederholten Messungen und das exponentielle Abklingen der
Aktivität zu demonstrieren.
Signifikanzprüfung
eines
Messsignals
bei
Vorhandensein
Störsignals am Beispiel der Zerfallsrate beim radioaktiven Zerfall
eines
Dem sicheren Nachweis eines Messsignals vor einem unvermeidbar auftretenden
Störsignal kommt in den Natur- und Ingenieurwissenschaften eine fundamentale
Bedeutung zu. Wann kann sich ein Experimentator sicher sein, dass er den
erwarteten Effekt in seinem Versuch beobachtet hat oder nicht? Bezogen auf den
Nachweis ionisierender Strahlung bedeutet dies die Frage danach, wann zum
Beispiel radioaktive Zerfallsereignisse einer Strahlungsquelle vor dem natürlichen
Strahlungshintergrund sicher erkannt worden sind. Dies ist eine typische
Aufgabenstellung im Strahlenschutz, bei der es darum geht, ob es zum Beispiel
eine Kontamination durch eine radioaktive Quelle gibt oder nicht. Ein wichtiges
Beispiel aus der Kernphysik ist der Nachweis eines bestimmten Anregungszustands
eines Atomkerns im gemessenen Energiespektrum. Um entscheiden zu können, ob
sich ein zu erwartendes Signal signifikant vom Störsignal abhebt, werden die
beiden charakteristischen Größen „Erkennungs- und Nachweisgrenze“ für den
gegebenen Fall berechnet, die fundamentale Begriffe aus der Metrologie sind. Der
Vergleich des primären Messergebnisses mit diesen Größen erlaubt es dann, eine
solche Entscheidung zu treffen. Dies wird im Grundpraktikums-versuch am Beispiel
des Nachweises von Zerfallsereignissen einer Strahlungsquelle vor dem natürlichen
Strahlungshintergrund geübt.
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Vorbereitung Sie sollten mindestens auf folgende Fragen antworten können:
1. Was sind die Strahlenschutzgrundsätze der Strahlenschutzverordnung?
2. Durch welche Prozesse wechselwirkt Gamma-Strahlung mit Materie?
3. Wie wird Gamma-Strahlung mit gasgefüllten Detektoren und
Festkörperdetektoren gemessen?
4. Wie funktioniert die Umsetzung eines analogen Signals in ein digitales
allgemein und im Speziellen bei zählenden Messungen?
5. Was ist eine „Messkette“?
6. Wie stelle ich sicher, dass mein Messaufbau sinnvolle Messwerte liefert?
7. Was bedeuten die Begriffe: Zufallsexperiment, Bernoulli-Experiment,
Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsverteilung,
Wahrscheinlichkeitsdichte, Erwartungswert, Varianz, Arithmetischer
Mittelwert, Standardabweichung, Quantil?
8. In welchem Verhältnis stehen Bernoulli-, Poisson- und Normalverteilung?
9. Was ist der „GUM“, was ist darin festgelegt?
10. Was bedeuten die Begriffe: Messgröße, Messergebnis, Messunsicherheit,
bester Schätzwert, Erkennungs- und Nachweisgrenze?
11. Wie erzeugt man Zufallszahlen, welche Eigenschaften müssen diese haben?
12. Was sind Monte-Carlo-Methoden?
13. Was bedeuten die Begriffe: Zerfallswahrscheinlichkeit, Zerfallsrate,
Aktivität, Brutto/Netto?
14. Wie lautet das Gesetz für den radioaktiven Zerfall, was bedeutet es?
Literatur
Grundsätzlich das Skript zum Grundpraktikum unter:
http://www.physik.tudarmstadt.de/media/fachbereich_physik/phys_studium/phys_studium_bachelor/phy
s_studium_bsc_praktika/phys_studium_bsc_praktika_gp/phys_studium_bsc_praktika
_gp_regeln/Datenanalyse.pdf
Die nachfolgenden Literaturempfehlungen sind nach den Fragen aus dem
Vorbereitungsblock gruppiert:
1.-3., 13.-14..:
Bayerisches Staatsministerium für Umwelt, Gesundheit und Verbraucherschutz:
Radioaktivität und Strahlungsmessung, 2006.
Kostenlos erhältlich unter
http://www.bestellen.bayern.de/application/stmug_app000044SID=818285044&AC
TIONxSETVA%28artlist1.htm,APGxNODENR:11708%29=Z
und
H. Krieger: Grundlagen der Strahlungsphysik und des Strahlenschutzes, Springer
Spektrum, 2012.
(erhältlich als e-book über ULB)
4.-6.:
Reiner Parthier: Messtechnik, Studium Technik, Vieweg, 2008.
(erhältlich als e-book über ULB)
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3
7.-8.:
Hans-Joachim Mittag: Statistik - Eine Einführung mit interaktiven Elementen,
Springer Spektrum, 2010.
(erhältlich als e-book über ULB)
9.-10.:
Der GUM ist als Dokument JCGM 100:2008 kostenlos erhältlich unter:
http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html
10.: Speziell für besten Schätzwert, Erkennungs- und Nachweisgrenze
http://www.fsev.org/fileadmin/user_upload/04_Arbeitsgruppen/06_Nachweisgrenzen/02_Dokumen
te/Arbeitsmaterialien/Weise_et_al_NWG_Vorschlag_fuer_eine_Norm_FS-04-127AKSIGMA.pdf
und
http://www.fsev.org/fileadmin/user_upload/04_Arbeitsgruppen/06_Nachweisgrenzen/02_Dokumen
te/Arbeitsmaterialien/Michel_Bayesian_uncertainties_IAEA_2009.pdf
11.-12.:
Das GUM Supplement 1 ist als Dokument JCGM 101:2008 kostenlos erhältlich unter:
http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html
oder
Harald Nahrstedt : Die Monte-Carlo-Methode - Beispiele unter Excel VBA, Springer
Vieweg, 2015. (erhältlich als e-book über ULB)
9., 11.-12.:
Bernd Pesch: Bestimmung der Messunsicherheit nach GUM, Books On Demand,
Norderstedt, Germany, ISBN: 3-8330-1039-8.
oder
https://www.ptb.de/cms/fileadmin/internet/dienstleistungen/dkd/LeitfadenMessunsicherheit.pdf
Versuchsaufbau
60
Hinweise
Sollte der Wunsch bestehen, mit den Messdaten zu Hause weiter zu
experimentieren, können diese auf einen mitzubringenden USB–Speichermedium
kopiert werden.
Co–Präparat, Detektor – Vorverstärker – Signalformwandler – Zähler – PC-Interface
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4
TEIL 1
Modellierung und Simulation von physikalischen Prozessen durch Zufallsexperimente am
Beispiel des radioaktiven Zerfalls
Einleitung
Die Modellierung und Simulation von realen Prozessen mit Hilfe von Monte-Carlo-Rechnungen (MC)
ist ein etabliertes und modernes Mittel zur Untersuchung dynamischer Systeme. Die Simulation
realer Prozesse durch MC-Rechnungen hat insbesondere Einzug gehalten in die
•
•
•
•
Soziologie & Psychologie, z.B. Verhaltensforschung,
•
Physik & Technik
z.B. Teilchentransport durch Materie (Experimentplanung, Detektorbau),
Fluiddynamik,
Quantum-Monte-Carlo-Methoden zur Lösung von Viel-Teilchen-Problemen,
Niveaudichteanalyse angeregter Kerne,
Abstandsverteilungen in der Chaosforschung,
Statistische Physik,
…,
autonome Roboter,
Mikroelektronik,
…,
•
Metrologie, z.B. Fortpflanzung von Messunsicherheiten.
Biologie, z.B. Populationsdynamik,
Ökonomie/Finanzwirtschaft, z.B. Börsenkurse, Wertermittlung,
Meteorologie, z.B. Wettervorhersage,
Gerade bei komplexen Problemstellungen sind analytische Lösungen der zugrunde liegenden
Gleichungen oft nur schwer zu finden. Einfacher ist es dagegen meist, die den Gleichungen
entsprechenden Prozesse in Form von Algorithmen zu programmieren. Diese Algorithmen benötigen
Eingaben für die enthaltenden physikalischen Größen. Eingabewerte werden dann als Zufallszahlen
bereitgestellt, die aus den Wahrscheinlichkeitsdichten bestimmt werden, die den Größen zugeordnet
sind. Die Ausgaben der Algorithmen umfassen die Zielgrößen, deren Werte hinsichtlich ihres
Verhaltens in Abhängigkeit von den Eingaben untersucht werden können. Am Beispiel der
Fortpflanzung von Messunsicherheiten in der Metrologie soll dies verdeutlicht werden: Wird zum
Beispiel das Produkt zweier Messgrößen X1 und X2 gebildet, so kann aus den
Wahrscheinlichkeitsdichten (wd) der beiden Größen die Wahrscheinlichkeitsdichte für die
Produktgröße Y bestimmt werden, indem das sogenannte Randwertintegral ausgewertet wird:
wd (Y | I )=∫ d X 1 d X 2 wd(Y | X 1, X 2, I )⋅wd ( X 1, X 2 | I )
=∫ d X 1 d X 2 δ (Y −f (X 1, X 2, I ))⋅wd (X 1, X 2 | I ) .
=∫ d X 1 d X 2 δ (Y −X 1⋅X 2)⋅wd( X 1, X 2 | I )
Für den einfachen Fall eines Produkts zweier Größen lässt sich dieses noch verhältnismäßig leicht
lösen. Darüber hinaus wird es jedoch beliebig aufwendig. Einfacher zu handhaben ist die
Fortpflanzung von Messunsicherheiten mit Hilfe einer Monte-Carlo-Rechnung.
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5
Die Werte für die Eingangsgrößen X1 und X2 werden aus den zugeordneten Wahrscheinlichkeitsdichten gezogen und in das Modell der Auswertung Y = f(X1,X2) = X1 ⋅ X2 eingesetzt. Daraus ergeben
sich Werte für die Ergebnisgröße Y, deren statistische Eigenschaften (z.B. Erwartungswert und
Varianz) daraufhin untersucht werden können, siehe Abbildung 1. Das Problem reduziert sich auf die
Programmierung des Modells der Auswertung in einer
Programmiersprache und die Auswahl eines geeigneten
Zufallszahlengenerators.
Ein weiteres Beispiel, anhand dessen sich der hier eher
didaktische Nutzen einer Simulation verdeutlichen lässt, ist
der radioaktive Zerfall. So kann die Zerfallsrate eines
radioaktiven Präparats mit einem verhältnismäßig kleinem
technischen Aufwand gemessen und simuliert werden.
Damit ist mindestens ein qualitativer Vergleich zwischen
den Simulations- und Messergebnissen während eines
Praktikumstermins möglich.
X1
X 2 ...
Xn
...
f (⋅)
Der radioaktive Zerfall von anfänglich N0 Atomkernen zu
einem bestimmten Zeitpunkt t stellt ein sich wiederholendes
Bernoulli-Experiment dar, bei dem die Zustände „Zerfall“
Y
(= 1) und „Kein Zerfall“ (= 0) während einer Zeiteinheit Δt
realisiert werden. Dabei beträgt die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit und Atomkern p= λ⋅Δ t , und es wird
angenommen, dass jedes Zerfallsereignis vom Detektor
erkannt wird und unabhängig von allen anderen stattfindet.
Abbildung 1: Fortpflanzung von
Die Zerfallskonstante λ gibt dabei den Anteil der vorMessunsicherheiten mit Hilfe einer Montehandenen Atome an, der pro Sekunde zerfällt. Sie wird daher Carlo-Rechnung. Zufallswerte der
Eingangsgrößen werden durch das Modell
auch als Zerfallswahrscheinlichkeit pro Sekunde oder als
relative Zerfallsrate aufgefasst. Das ist so zu verstehen: Von der Auswertung propagiert und liefern
eine Wahrscheinlichkeitsdichte für die
den Kernen eines Ensembles zerfällt pro Sekunde eine
Ausgangsgröße.
bestimmte Anzahl. Wird diese auf die Gesamtzahl der Kerne
vor einem Zerfall bezogen, ergibt sich die relative Häufigkeit, mit der Kerne zerfallen. Sie lässt sich
als Zerfallswahrscheinlichkeit im Sinne der klassischen Wahrscheinlichkeit nach Laplace
interpretieren. Da die Zerfälle immer innerhalb einer bestimmten Zeit stattfinden, ist diese
Wahrscheinlichkeit auf eine Zeit zu beziehen. So ergibt sich je nach Standpunkt die
Zerfallswahrscheinlichkeit pro Sekunde oder die relative Zerfallsrate:
dN
N
dp
λ=
=
d
t
dt
⏟
⏟
Zerfallsrate
.
Zerfallswkt./s
Die Abbildung 2 verdeutlicht den Prozess des radioaktiven Zerfalls und macht dessen binären
Charakter klar. Die Anzahl der Atomkerne, die pro Zeiteinheit von einem bestimmten Zeitpunkt an
gerechnet zerfallen, sind symbolisch in Abbildung 2 durch die Positionen (3) und (6) dargestellt.
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6
Abbildung 2: Radioaktiver Zerfall als sich wiederholendes BernoulliExperiment. Ausgehend von dem Ensemble von Atomkernen unter
(1) zerfallen in der ersten Zeiteinheit so viele Atomkerne, wie für
jeden der Kerne eine 1 mit der Wahrscheinlichkeit p = λt
"gewürfelt" wird (2) + (3). Der nicht zerfallene Rest (4) durchläuft in
der folgenden Zeiteinheit erneute Bernoulli-Experimente.
Bei einem gegebenen Ensemble von Atomkernen N0 ist daher die Anzahl an unabhängig voneinander
zerfallenden Atomkernen ΔN pro Zeiteinheit Δt binomialverteilt. Die Wahrscheinlichkeit
B N , p (Δ N t)
t
dafür, dass genau ΔNt Atomkerne zur Zeit t von insgesamt Nt pro Zeiteinheit Δt zerfallen, ist dann
gegeben durch:
B N , p (Δ N t)=
t
Nt !
ΔN
N −Δ N
.
p ⋅( 1− p )
( N t−Δ N t ) ! Δ N t !
t
t
t
Nachdem in einer Zeiteinheit eine bestimmte Anzahl von Atomkernen zerfallen ist, steht für die
nächste Zeiteinheit eine kleinere Anzahl an Atomkernen zur Verfügung, von denen wiederum ein Teil
zerfallen wird. Dies wiederholt sich, bis alle Atomkerne zerfallen sind. Dies ist in Abbildung 3
verdeutlicht. Für jeden Zeitschritt existiert eine bestimmte Anzahl an Atomkernen, die als
statistisches Ensemble aufgefasst werden. Von diesem Ensemble zerfällt eine bestimmte, nicht
vorhersagbare Anzahl an Atomkernen. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ΔNt innerhalb der
Zeiteinheit Δt nach dem Zeitpunkt t zerfallen, durch
B N , p (Δ N t) gegeben. Das bedeutet für das
t
Beispiel in Abbildung 3, das zum Zeitpunkt t = 10 a etwa 54 Kerne anfangs vorhanden sind. Von
diesen zerfallen daraufhin innerhalb von Δt = 10 a etwa ΔN10 = 16 Kerne.
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7
Zum Zeitpunkt t = 20 a gibt es daher nur noch 30 Kerne, von denen im nächsten Zeitschritt
ΔN20 =14 Kerne zerfallen usw. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach dem Zeitpunkt t = 10 a
innerhalb der Zeiteinheit von Δt = 10 a etwa ΔN10 = 16 Kerne zerfallen, ist durch
BN
10
,p
(Δ N 10 )=B N
10
=54, p
( Δ N 10=16) gegeben.
Abbildung 3: Das radioaktive Zerfallsgesetz genähert durch diskretisierte Zeitschritte. Für jeden Zeitschritt
existiert eine bestimmte Anzahl an Atomkernen, die als statistisches Ensemble aufgefasst werden. Von diesem
Ensemble zerfällt eine bestimmte nicht vorhersagbare Anzahl an Atomkernen. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass ΔNt innerhalb der Zeiteinheit Δt nach dem Zeitpunkt t zerfallen, durch
B N , p (Δ N t)
t
gegeben.
Die Anzahl der zerfallenden Atomkerne ΔN10 = 16 ist jedoch nicht vorher festgelegt. Jeder Wert, der
im Rahmen der Binomialverteilung erlaubt ist, hätte auftreten können. In dem vorliegenden Beispiel
ergab sich der Wert aus dem Zerfallsgesetz:
N (t)=N 0⋅exp (−λ t)
mit N0 = 100 und λ = 0,06/a für 60Co. Zu jedem Zeitpunkt gibt es demnach eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl an Atomkernen, die in der folgenden Zeiteinheit
zerfallen werden, wobei vorher nicht festgelegt ist, wie viele letztendlich zerfallen werden. Dies
erklärt, warum keine exakte Exponentialfunktion für den Zerfall im Experiment gemessen wird. Da
die Anzahl der Atomkerne am Anfang einer Zeiteinheit von Zeitpunkt zu Zeitpunkt verschieden ist,
handelt es sich um verschiedene Binomialverteilungen. Für alle Zeitpunkte wird aber angenommen,
dass die Zerfallswahrscheinlichkeit gleich bleibt. Ist die Zerfallswahrscheinlichkeit klein genug, das
heißt, dass die Halbwertszeit
T 1 /2
groß genug ist, so wird sich die Anzahl der vorhandenen Kerne
im Laufe des Praktikumsversuchs über eine Zeit von etwa 3 h praktisch nicht ändern. Das Isotop
60
Co, das im Praktikumsversuch verwendet wird, hat eine Halbwertszeit von etwa
T 1 /2=5,27 a .
Damit ergibt sich eine Zerfallskurve wie in Abbildung 4. Sie scheint konstant zu sein, weshalb nicht
zu erwarten wäre, überhaupt einen Zerfall innerhalb einer Zeiteinheit Δt messen zu können. Reale
Proben vereinen jedoch Teilchenzahlen in sich, die in der Größenordnung von 10 15 liegen, weswegen
doch Zerfälle gemessen werden.
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8
Abbildung 4: Zerfallskurve des 60Co über eine kurzen Zeitraum von 3 h betrachtet. Die Anzahl der Atomkerne
scheint konstant zu bleiben.
Dass die Anzahl der Atomkerne in einer radioaktiven Probe über hinreichend kurze Zeitspannen
näherungsweise konstant bleibt, ist auch der Grund dafür, weshalb die Anzahlen der pro Zeiteinheit
zerfallenden Atomkerne näherungsweise aus der gleichen Binomialverteilung hervorgehen. Wird
beispielsweise die hypothetische Messzeit von Δtm = 3 h in mehrere Zeiteinheiten der Länge
Δt = 15 min unterteilt und die Anzahl der zerfallenden Atomkerne jeweils in diesen Zeiteinheiten
gemessen, so würde die relative Häufigkeitsverteilung dieser Anzahlen mit der Binomialverteilung
B N , p (Δ N 0)=B100, p (Δ N 0) verträglich sein, die zum Startzeitpunkt der Messung anzunehmen wäre.
0
Für reale Teilchenzahlen wird es rechentechnisch unmöglich, die Fakultäten der Binomialverteilung
auszuwerten, um zum Beispiel die zu erwartende Anzahl an zerfallenden Atomkernen zu einem
Zeitpunkt zu berechnen. Die große Teilchenzahl realer radioaktiver Proben erlaubt aber zusammen
mit der sehr kleinen Zerfallswahrscheinlichkeit für einen Atomkern eine Näherung der
Binomialverteilung durch eine Poissonverteilung, siehe dazu auch das Praktikumsskript zur
Datenanalyse. Das macht die rechentechnische Behandlung des radioaktiven Zerfalls erst möglich.
Im Versuch sollen die Anzahlen an zerfallenen Atomkernen aus verschiedenen Zeitabschnitten
statistisch hinsichtlich ihrer Wahrscheinlichkeitsdichte qualitativ untersucht werden.
Zusammenfassung: Die am Anfang einer Zerfallszeiteinheit vorhandenen Atomkerne sind
symbolisch in Abbildung 2 durch die Positionen (1), (4) und (7) dargestellt. Diese Anzahl von
anfänglichen Atomkernen kann durch das Zerfallsgesetz
N (t)=N 0⋅exp(−λ t)
beschrieben werden. Die Zerfallsrate ist dabei gegeben durch die zeitliche Ableitung des
Zerfallsgesetzes:
d N ( t)
=−λ⋅N 0⋅exp (−λ t) .
dt
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9
Was im Experiment zu einem gegebenen Zeitpunkt t mit einem zählenden Detektor gemessen wird,
ist die Anzahl an Atomkernen ΔN, die innerhalb des endlich kleinen Zeitintervalls Δt zerfallen, das auf
den Zeitpunkt t folgt:
Δ N=
d N (t )
⋅Δ t .
dt
Erfolgen wiederholte Messungen der Anzahl an zerfallenden Kernen ΔNi in der Zeiteinheit Δt über
eine Zeitspanne Δt‘ = n⋅Δt mit i = 1, 2, 3, … und n  ℕ, siehe Abbildung 4, so folgt die Verteilung der
relativen Häufigkeiten der ΔNi approximativ einer Poissonverteilung.
Methoden und Material
Im ersten Versuchsteil kommt ein handelsüblicher PC (CPU i5 mit 2 physischen Kernen und SSD) zum
Einsatz, auf dem die Modellierung und Simulation des radioaktiven Zerfalls durchgeführt werden soll.
Die Modellierung und Simulation des radioaktiven Zerfalls basiert auf einer Idee der Initiative
„OpenSourcePhysics“ (http://www.opensourcephysics.org/items/detail.cfm?ID=7154)
Siehe dazu auch Kapitel 7 in:
H. Gould, J. Tobochnik, W. Christian: An Introduction to Computer Simulation Methods – Applications
to physical systems, Pearson Addison Wesley, 2007.
Auf der Basis der dort beschriebenen Idee, wurden für den Praktikumsversuch C-Programme
(http://www.learn-c.org/) erstellt, die die benötigten Funktionen zur Verfügung stellen. Gesteuert
werden diese Programme durch sogenannte Shell-Skripte (https://wiki.ubuntuusers.de/Shell/BashSkripting-Guide_f%C3%BCr_Anf%C3%A4nger/). Ein Shell-Skript wird im jeweiligen Programmordner
von der Kommandozeile (https://wiki.ubuntuusers.de/Shell/Einf%C3%BChrung/) aus gestartet. Die
Namen der Shell-Skripte lauten für den Praktikumsversuch immer auf „start.sh“ oder „start_XXX.sh“,
wobei XXX für eine aufgabenspezifische Zeichenkette steht. Sie werden durch folgenden Befehl
gestartet:
./start.sh oder ./start_XXX.sh
Die erforderlichen Zufallszahlen werden aus den entsprechenden Verteilungsfunktionen gezogen, die
die „Gnu Scientific Library“ (gsl) (https://www.gnu.org/software/gsl/) zur Verfügung stellt.
Aufgabenstellung
1. Hausaufgabe:
•
Nehmen Sie die Abbildung 2 als Vorlage, um einen Programmablaufplan (PAP) oder ein
Struktogramm für den Simulationsschritt des radioaktiven Zerfalls zu entwerfen. Ein Beispiel
dazu ist in den Abbildungen 5, 6 und 7 gegeben.
•
Sie benötigen die Funktion gsl_rng_uniform(u), die Zufallszahlen zwischen 0 und 1 generiert.
Eine Variable muss die Zufallszahlen, die die Funktion als Rückgabewerte liefert, aufnehmen.
Ein Minimalbeispiel ist unter https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/RandomNumber-Generator-Examples.html#Random-Number-Generator-Examples zu finden.
Insgesamt erfordert die Simulation des Zerfalls zwei Schleifen, z.B. for-Schleifen. In der
ersten wird die Zeit, in der zweiten eine Teilchenzahl hochgezählt. Wann immer ein Atom aus
einem anfänglichen Ensemble herausgegriffen wird, muss „gewürfelt“ werden, - zerfällt es
oder nicht? Dies macht eine bedingte Anweisung erforderlich, z.B. die if-Anweisung. Als
Anhang zu diesem Dokument gibt es ein Cheat-Sheet („Spickzettel“) über die wesentlichen
Funktionen in C.
•
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10
Abbildung 5: Programmablaufplan zur Bildung der Summe der
ersten 20 Zahlen, aus RRZN Leibniz Universität Hannover:
Programmierung – Grundlagen mit Beispielen in Java, 6. Auflage,
2008.
Abbildung 6: Struktogramm zum Programmablaufplan „Bildung
der Summer der ersten 20 Zahlen, aus RRZN Leibniz Universität
Hannover: Programmierung – Grundlagen mit Beispielen in Java,
6. Auflage, 2008.
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11
Abbildung 7: C-Quelltext für das Beispiel Summe der
ersten 20 Zahlen.
2. Präsenzaufgabe:
•
Setzen Sie Ihr Ablaufdiagramm in einen C-Quelltext um. Dazu öffnen Sie den Ordner „K7“, der
sich auf dem Desktop befindet. Gehen Sie in den Unterordner „Teil1/raddec_simu/src/decay“.
Dort öffnen Sie die Datei raddec.c, indem Sie einen Rechtsklick auf dem Dateisymbol
ausführen und unter „Öffnen mit“ den Editor „kate“ auswählen. Die Quelltextdatei ist in
Abbildung 8 zu sehen. Gehen zu Zeile 42 und fügen Sie Ihren Quelltext zur Simulation des
radioaktiven Zerfalls ein.
•
Im Verzeichnis „raddec_simu“ befindet sich ein Shell-Skript „start_simu.sh“. Führen Sie
dieses über die Kommandozeile zunächst mit folgenden Übergabeparametern aus:
./start_simu.sh <NO_NUCL> <P TIME COUNT_PERIOD> <TRIALS>
also z.B. mit
./start_simu.sh 10000 0.01 200 1 10
Die Übergabeparameterwerte bedeuten:
NO_NUCL
= Anzahl der Kerne am Anfang der Simulation
P
= Zerfallswahrscheinlichkeit
TIME
= Gesamtzeit in Sekunden, über die der Zerfall Simuliert wird.
COUNT_PERIOD = Zeitspanne in Sekunden, über die die sekündlichen Zerfallsereignisse
summiert wird.
TRIALS
= Anzahl an Wiederholungen der Simulationen (>1)
Wenn Sie keinen Fehler im Quelltext haben, wird die Simulation starten. Das Shell-Skript ist in
drei Blöcke unterteilt, die in den Abbildungen 18, 19 und 20 zu sehen sind.
•
Wechseln Sie in das Unterverzeichnis „dat“. Dort finden Sie eine Dateien mit den Namen
„raddec_trialX.dat“ (X = 1,2,3,…), die die momentanen Anzahlen an Atomkernen in
Abhängigkeit von der Zeit enthält.
•
Starten Sie nun das Shell-Skript „start_fit.sh“, das sich im gleichen Hauptordner befindet. Mit
diesem passen Sie eine Exponentialfunktion an die Zerfallskurve an. Bestimmen Sie darüber
die Parameter N0 und λ der Zerfallsgleichung mit ihren Unsicherheiten.
Wie groß ist die reduzierte Prüfsumme (reduced chisquare) des χ²-Tests, den gnuplot
durchführt? Diskutieren Sie die Streuung der Datenpunkte. Ist die angepasste
Zerfallskonstante mit der Modell-Zerfallskonstanten verträglich? Was nehmen Sie daraus für
sich mit?
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12
Abbildung 8: C-Quelltext zur Simulation des radioaktiven Zerfalls
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13
Abbildung 9: Beispiel-Skript Kurvenanpassung für gnuplot.
Die Abbildung 9 zeigt das gnuplot-Skript, mit dem Sie einerseits die Kurvenanpassung
durchführen, als auch ein Bild erstellen können. Um eine Bilddatei im jpg-Format zu erzeugen,
müssen sie die Zeile 3 aus- und die Zeilen 6 und 17 einkommentieren.
3. Präsenzaufgabe:
•
Sie sollen nun untersuchen, unter welchen Bedingungen davon ausgegangen werden kann,
dass die Anzahlen an zerfallenen Atomkernen, die in aufeinander folgenden Zeitabschnitten
gemessen worden sind, einer Poisson-Verteilung folgen. Wechseln Sie dafür zunächst in den
zweiten Unterordner des Hauptordners „K7“ auf Ihrem Desktop, der auf den Namen
„bin_poi_distr“ lautet. Darin befindet sich ein Shell-Skript „start.sh“. Das Shell-Skript besteht
aus vier Blöcken, die in den Abbildungen 14, 15, 16 und 17 zu sehen sind. Im ersten Block
(Abbildung 14) werden die Parameterwerte für die Simulationen eingestellt. Wenn Sie das
Programm mit den Übergabeparametern starten durch
./start.sh <NO_NUCL> <P> <TIME> <POISSON_TRIALS>
also z.B. mit
./start.sh 10000 0.01 200 100 Simu1
dann bedeuten die Übergabeparameter:
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14
NO_NUCL
= Anzahl der Kerne am Anfang der Simulation
P
= Zerfallswahrscheinlichkeit
TIME
= Gesamtzeit in Sekunden, über die der Zerfall Simuliert wird.
POISSON_TRIALS = Anzahl an Wiederholungen der Simulationen
JPG_NAME
= Namenserweiterung für jpg-Dateien der Histogramme
Im dritten Block des Shell-Skripts starten Sie drei Programme, die Ihnen binomial- und
poissonverteilte Zufallszahlen generieren. Werfen Sie erneut einen Blick auf Abbildung 3 und
vergegenwärtigen Sie sich, dass die Anzahlen an zerfallenen Atomkernen für jeden Zeitpunkt
aus verschiedenen Binomialverteilungen hervorgehen. Der vierte Block des Shell-Skripts
(Abbildung 16) ruft ein Programm „binomi_dat_mult“ auf. Dieses startet bei einer
vorgegebenen Teilchenzahl und „würfelt“ im ersten Zeitschritt aus der entsprechenden
Binomialverteilung die Anzahl an zerfallenen Kernen. Dann wird die verbliebene Anzahl an
Atomkernen im nächsten Zeitschritt verwendet, um diesmal aus einer Binomialverteilung zu
würfeln, die eine entsprechend verkleinerte Grundgesamtheit aufweist, usw. Über alle so
erzeugten Anzahlen an zerfallenen Atomkernen über die gesamte Zeit des Zerfalls wird eine
relative Häufigkeitsverteilung erstellt. Das Programm „binomi_dat_single“ „würfelt“ aus der
Binomialverteilung des ersten Zeitschritts aus der vorigen Simulation so viele Anzahlen an
zerfallenen Kernen, wie es Zeitschritte gegeben hat, jedoch ohne die Größe der
Grundgesamtheit zu ändern. Das entspricht der Annahme, dass sich die Anzahl der
Atomkerne bei langlebigen Nukliden innerhalb der Versuchsdauer praktisch nicht ändert. Das
Programm „poisson_dat“ „würfelt“ Zufallszahlen (Anzahlen an zerfallenen Kernen) für den
ersten Zeitschritt, wobei es den arithmetischen Mittelwert aus den Zufallszahlen verwendet,
die das Programm „binomi_dat_single“ generiert hat.
•
Starten Sie das Shell-Skript mit folgenden Übergabeparameterwerten:
NO_NUCL
= 104
104
104
P
= 0,01
0,001
0,0001
TIME
= 100
100
100
POISSON_TRIALS = 100
100
100
Der vierte Block des Shell-Skripts erzeugt zu jedem Durchlauf ein Diagramm im jpeg- Format.
Drucken Sie sich die Diagramme aus und vergleichen Sie sie. Welche Auswirkung hat das
Verringern der Zerfallswahrscheinlichkeit bei sonst gleichen Einstellungen? Rechnen Sie die
Halbwertszeiten für die drei Fälle aus. Nutzen Sie dazu die Gleichung
λ=
ln(2)
.
T 1/ 2
Wenn Sie das Histogramm der Poissonverteilung mit dem Histogramm der Binomialverteilung
vergleichen, die Sie in dem Programm „binomi_dat_single“ benutzt haben, zu welchem
Schluss können Sie dann gelangen?
•
Wiederholen Sie nun die Simulationen mit folgenden Übergabeparameterwerten:
NO_NUCL
= 104
104
104
104
P
= 0,001 0,001 0,001
0,001
TIME
= 50
100
200
400
POISSON_TRIALS
= 100
100
100
100
______________________________________________________________________________
15
Was beobachten Sie im Vergleich zu vorigen Simulation? Diskutieren Sie den Vergleich der
Ergebnisse.
______________________________________________________________________________
16
TEIL 2
Signifikanzprüfung eines Messsignals bei Vorhandensein eines Störsignals am Beispiel
der Zerfallsrate beim radioaktiven Zerfall
Einleitung
Ein häufig in der Physik, dem Strahlenschutz oder analytischen Chemie auftretendes Problem ist das
Messen eines Probensignals vor eine störenden Hintergrundsignal. Dann stellt sich die Frage, ob sich
das Probensignal signifikant vom Hintergrundsignal unterscheidet, so dass davon ausgegangen
werden kann, den physikalischen Effekt beobachtet zu haben, der das Probensignal verursacht. Ein
typisches Beispiel aus der Strahlenschutzphysik ist die Untersuchung einer Bodenprobe auf
natürliche und anthropogene Radionuklide. Hierzu wird die Bodenprobe mit einem
energieauflösenden Spektrometer (meist ein Germanium-Detektor) vermessen. Ein interessierendes
Radionuklid kann anhand seiner charakteristischen Zerfallslinien im Spektrum identifiziert werden
siehe Abbildung 10. Darüber hinaus ist es möglich, dessen spezifische Aktivität zu bestimmen. Dafür
müssen einzelne Linien des Radionuklids ausgewertet werden. Manchmal ist die maximale
Impulshöhe einer interessierenden Linie klein gegenüber den Impulshöhen der Nachbarstrukturen im
Spektrum, siehe Abbildung 12. Dann stellt sich genau die eingangs erwähnte Frage, ob es sich nun
um eine Linie des Radionuklids oder nur um Beiträge aus dem natürlichen Strahlungshintergrund
oder um statistisches Rauschen handelt. Die gleiche Fragestellung ergibt sich auch für nicht
energieauflösende zählende Strahlungsmessungen an einer radioaktiven Probe zum Beispiel mit
einem Geiger-Müller-Zählrohr oder einer PIN-Diodenarray, wie sie im Versuch verwendet wird. Die
primäre Messgröße ist dann eine Bruttozählrate oder eine Bruttoimpulszahl, die in einer bestimmten
Zeit gemessen worden ist. Für diese Größe muss dann entschieden werden, ob sich ihr Messwert von
dem Messwert des reinen Strahlungshintergrunds oder Rauschens signifikant unterscheidet. Sind
Bruttozählrate der Probenmessung und Zählrate des Strahlungshintergrundes verträglich, so darf
davon ausgegangen werden, dass keine Radionuklide in der Probe enthalten sind.
Die Entscheidungsfindung kann mit Hilfe der sogenannten Erkennungs- und Nachweisgrenze auf
eine mathematisch eindeutige Basis gestellt werden. Die Erkennungsgrenze für eine beliebige
Messgröße ist zunächst einfach ein Vergleichswert für den primären (Netto-)Messwert der Größe. Ist
dieser Messwert größer als die Erkennungsgrenze, dann kann mit einer vorher festgelegten
Irrtumswahrscheinlichkeit α entschieden werden, dass es einen signifikant von Null verschiedenen
Probenbeitrag durch ein Radionuklid gibt. Überschreitet der primäre Messwert auch die
Nachweisgrenze, so darf mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit β entschieden werden, dass ein
Probenbeitrag sicher vorliegt. Üblicherweise wird die Nachweisgrenze aber zur Beurteilung des
Messverfahrens herangezogen. Durch den Vergleich der Nachweisgrenze mit einem Richtwert, der
durch gesetzliche, technische oder anderen Quellen vorgegeben ist, kann eine entschieden werden,
ob das Messverfahren den Messzweck erfüllt. Das Messverfahren gilt als ungeeignet für den
Messzweck, wenn der Richtwert kleiner als die Nachweisgrenze ist. Für eine gegebene primäre
Messgröße a ist die Erkennungsgrenze a* definiert als das (1 - α )-Quantil der Wahrscheinlichkeits-
f (a | ~
a ) (Likelihood) dieser Messgröße unter der Annahme, dass der vermutete physikalische
a gilt: ~
a =0 , siehe Abbildung 12. Die
Effekt nicht vorliegt und damit für den „wahren“ Wert ~
dichte
Nachweisgrenze a# baut darauf auf und wird als das β -Quantil der Wahrscheinlichkeitsdichte
f (a | ~
a ) definiert, wenn ~
a =a # ist. Häufig werden die Irrtumswahrscheinlichkeiten für den Fehler
1. und 2. Art auf α = β = 5 % gesetzt, wie auch in den Skripten zu diesem Versuch.
______________________________________________________________________________
17
Zählereignisse
100000
Spektrum IAEA08 - Gips
10000
1000
100
150
200
250
300
350
Energie (keV)
400
Abbildung 10: Ausschnitt aus einem Energiespektrum einer Gips-Probe, die natürliche Radionuklide enthält.
Zählereignisse
100000
Spektrum IAEA08 - Gips
10000
1000
150
175
Energie (keV)
200
225
Abbildung 11: Ausschnitt aus einem Energiespektrum einer Gips-Probe mit natürlichen Radionukliden. Im
Bereich zwischen 150 keV und 175 keV gibt es viele kleinere Strukturen, mit denen die zweitgrößte Struktur im
Spektrum nahe bei 150 keV verglichen werden muss, um entscheiden zu können, ob es sich um eine
signifikant hervortretende Linie handelt.
______________________________________________________________________________
18
Abbildung 12: Bedeutung von Erkennungs- und Nachweisgrenze, nach
einer Vorlage aus G. Gilmore, J. D. Hemingway: Practical Gamma-Ray
Spectrometry, John Wiley & Sons.
In der Praxis lassen sich die Wahrscheinlichkeitsdichten oft durch Gauß-Verteilungen hinreichend
genau nähern. Dann ergibt sich die Nachweisgrenze als wahrscheinlichster Wert bzw. als
Erwartungswert dieser Wahrscheinlichkeitsdichte. Dazu wird die Wahrscheinlichkeitsdichte von
kleinen Werten kommend so weit zu größeren hin verschoben, bis ihr β -Quantil mit der
Erkennungsgrenze übereinstimmt. Der Erwartungswert dieser justierten Wahrscheinlichkeitsdichte
gilt dann als Nachweisgrenze.
Ist das primäre Messergebnis größer als die Erkennungsgrenze, wird der Wert des sogenannten
besten Schätzers, der beste Schätzwert, für die Messgröße berechnet. Der beste Schätzwert ergibt
sich aus dem Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsdichte, die aus der Faltung einer Stufenfunktion
mit der Wahrscheinlichkeitsdichte der primären Messgröße hervorgeht (hier die Nettozählrate), siehe
Abbildung 13. Die Stufenfunktion erscheint hier, weil die Zählrate aus physikalischer Sicht eine nicht
negative Größe darstellt. Hinsichtlich des Bayesschen Ansatzes im Konzept der Messunsicherheiten,
entspricht die Stufenfunktion der Prior-Dichte im Bayesschen Theorem. Die Wahrscheinlichkeitsdichte
der primären Messgröße bedeutet die Likelihood und die resultierende Dichte stellt die PosteriorDichte dar. Die Unsicherheit des besten Schätzwerts folgt dann aus der Varianz der Posterior-Dichte.
______________________________________________________________________________
19
Im Praktikumsversuch sollen Erkennungs- und
Nachweisgrenze für eine zählende Messung vor
einem störenden Hintergrund durch eine MonteCarlo-Rechnung bestimmt werden. Dazu muss
einmal der Strahlungshintergrund und dann die
Probe vermessen werden. Außerdem wird
angenommen, dass die gemessenen
Impulszahlen poissonverteilt sind. Die Ausgangsgröße des Modells der Auswertung und damit die
primäre Messgröße ist die Nettozählrate rn:
r n =r b −r 0=
nb n0
−
tm t 0
mit
n b= Bruttoimpulszahl
n0= Hintergrundimpulszahl
t m = Messzeit der Bruttoimpulszahl
.
t 0= Messzeit der Hintergrundimpulszahl
r b = Bruttozählrate
r 0= Hintergrundzählrate
Abbildung 13: Faltung der Wahrscheinlichkeitsdichte
der primären Messgröße mit der Stufenfunktion und
anschließende Renormierung. Zusätzlich sind die
Grenzen des kürzesten Überdeckungsintervalls
eingetragen, y< und y>. Der Erwartungswert der
primären Messwertverteilung (gepunktet) liegt etwas
Um die Erkennungsgrenze zu berechnen,
unterhalb des besten Schätzwerts ŷ (gestrichelt). γ ist das
werden Zufallszahlen aus zwei WahrscheinlichVertrauensniveau.
keitsdichten gezogen, deren Erwartungswerte
den Messwerten für die Bruttoimpulszahl und die
Hintergrundimpulszahl entsprechen. Nachdem je eine Zufallszahl aus jeder Dichte gezogen worden
ist, wird die Differenz der Raten gebildet und gespeichert. Da viele Zufallszahlengeneratoren bei
gleichem Startwert identische Folgen von Zufallszahlen generieren, müssen die Zufallszahlen der
beiden Dichten mit verschiedenen Startwerten (seeds) gestartet werden. Der Berechnung der
Erkennungsgrenze liegt zugrunde, dass die Bruttozählrate gleich der Hintergrundzählrate ist. Daher
werden zwei Folgen von Zufallszahlen erzeugt, die aus Dichten mit gleichem Erwartungswert, aber
unterschiedlichen Startwerten des Generators stammen. Die Erkennungsgrenze entspricht dann dem
95 %-Quantil der Wahrscheinlichkeitsdichte der Nettozählrate.
Die Nachweisgrenze ergibt sich aus einer iterativen Berechnung von poissonverteilten Zufallszahlen.
Die Iteration beginnt mit Zufallszahlen, die aus einer Poisson-Verteilung gezogen werden, deren
Erwartungswert kleiner ist als die Erkennungsgrenze. Von dieser Verteilung ausgehend wird das 5 %Quantil berechnet und mit der zuvor bestimmten Erkennungsgrenze verglichen. Solange das Quantil
nicht mit der Erkennungsgrenze im Rahmen eine vorgegebenen Genauigkeit verträglich ist, wird ein
neues Zufallsexperiment simuliert, wobei der Erwartungswert der Poissonverteilung um einen
kleinen Betrag erhöht wird. Ist die Verträglichkeit gegeben, so folgt die Nachweisgrenze aus dem
Erwartungswert der zuletzt ermittelten („gewürfelten“) Wahrscheinlichkeitsdichte.
______________________________________________________________________________
20
Methoden und Material
Im zweiten Versuchsteil kommt ein handelsüblicher PC (CPU i5 mit 2 physischen Kernen und SSD)
zum Einsatz, an den das Micro-Controller-Board Nucleo (µC) des Herstellers STM angeschlossen ist,
siehe unter:
(http://www.st.com/content/st_com/en/products/evaluation-tools/product-evaluation-tools/mcu-evaltools/stm32-mcu-eval-tools/stm32-mcu-nucleo/nucleo-l476rg.html).
Der µC zählt die Rechtecksignale des PIN-Diodenarrays RD2014 vom Hersteller Teviso
(http://www.teviso.com/file/pdf/rd2014-dataspecification.pdf). Der Detektor enthält eine
Vorverstärker und Pulsformer, der für jeden Impuls ein TTL-Signal erzeugt, das auf einen ZählerEingang des µC gelegt ist. Der µC wird über ein USB-Kabel mit dem Rechner verbunden. Die
Datenbereitstellung durch den µC startet sofort, nachdem das µC-Board mit einer PC-USBSchnittstelle verbunden worden ist. Um die Daten lesen zu können, muss die USB-Schnittstelle
konfiguriert werden, an die der Detektor angeschlossen ist.
Dies geschieht über die Kommandozeile mit dem Befehl:
stty -F /dev/ttyACM0 115200 time 21
Um die Daten auf den Bildschirm auszugeben, wechseln Sie in den Ordner „K7/Messdaten/in_dat/“
und verwenden den Befehl:
cat /dev/ttyACM0
Die Messdaten werden nun auf dem Bildschirm in sechs Spalten angezeigt. Die erste ist die
Systemzeit, die jeweils um eine Sekunde hochgezählt wird. Die zweite enthält die Anzahl an
gemessenen Strahlungsereignissen pro Sekunde. Alle weiteren Spalten geben die momentanen
Ereigniszahlen über größere Zeitspannen als eine Sekunde an. Für den Versuch sind aber nur die
ersten beiden Spalten relevant. Die Daten lassen sich in eine Datei umleiten durch:
cat /dev/ttyACM0 > messdaten01.txt
Die Datei hat dann folgende Struktur:
Systemzeit in s
525,
526,
527,
528,
529,
530,
531,
532,
Ereignisse in 1 s
1,
3,
2,
2,
1,
0,
0,
1,
nn
10,
10,
11,
10,
9,
8,
5,
4,
nn
27,
30,
30,
31,
31,
30,
30,
31,
nn
93,
93,
95,
94,
95,
93,
93,
94,
nn
113
116
118
120
121
121
121
122
Aufgabenstellung
4. Präsenzaufgabe:
Führen Sie eine Hintergrundmessung durch, nachdem Ihnen Ihr Betreuer die radioaktive
Quelle positioniert hat. Da die Detektoren nur eine kleine Nachweiswahrscheinlichkeit
besitzen, muss eine Quelle genutzt werden, um hinreichend viele (nun simulierte)
Hintergrundereignisse zu produzieren. Die Messzeit soll 15 min betragen. Der Start einer
Messung und die Übernahme der Messdaten in eine Datei ist unter „Methoden und Material“
beschrieben. Nutzen Sie das Skript „start.sh“ im Ordner „K7/Messdaten/“, um sich die
Messzeit und die gemessene Anzahl an Impulsen auf den Bildschirm ausgeben zu lassen.
______________________________________________________________________________
21
Das Skript benötigt den Namen der Datendatei als Übergabeparameter:
./start.sh messdaten01.txt
5. Präsenzaufgabe:
Führen Sie eine Probenmessung durch, nachdem Ihnen Ihr Betreuer die radioaktive Quelle
positioniert hat. Die Messzeit soll 10 min betragen. Der Start einer Messung und die
Übernahme der Messdaten in eine Datei ist unter „Methoden und Material“ beschrieben.
Nutzen Sie das Skript „start.sh“ im Ordner „K7/Messdaten/“, um sich die Messzeit und die
gemessene Anzahl an Impulsen ausgeben zu lassen.
Parallel zur Messung können Sie bereits die Erkennungsgrenze berechnen. Nachdem diese
bestimmt ist, suchen Sie sich aus dem entsprechenden Bildordner das Bild heraus, das das
Histogramm der Nettozählrate zeigt, wenn kein Probenbeitrag vorliegt. Drucken Sie es aus
und markieren Sie die Erkennungsgrenze.
Um die Erkennungsgrenze zu berechnen, wechseln Sie in den Ordner „K7/Teil2/EKG“ und
starten das vorbereitete Skript mit dem Namen „start.sh“. Auch dieses wird mit
Übergabeparametern gestartet:
./start.sh <NM_REAL> <TM> <N0_REAL> <T0>
also z.B. durch:
./start.sh 6 100 27 2500
Dabei bedeuten die Übergabeparameter Folgendes:
NM_REAL = Gemessene Brutto-Anzahl an Impulsen
TM
= Messzeit in Sekunden
N0_REAL
= Gemessene Anzahl an Impulsen aus dem Strahlungshintergrund
T0
= Messzeit der Hintergrundmessung in Sekunden
6. Präsenzaufgabe:
Bestimmen Sie die Nachweisgrenze und den besten Schätzwert für Ihre Probenmessung.
Wechseln Sie dazu in den Ordner „K7/Teil2/NWG“ und starten Sie das Skript ./start.sh mit
folgenden Übergabeparametern:
NM_REAL
= Gemessene Brutto-Anzahl an Impulsen
TM
= Messzeit in Sekunden
N0_REAL
= Gemessene Anzahl an Impulsen aus dem Strahlungshintergrund
T0
= Messzeit der Hintergrundmessung in Sekunden
LOWLIMIT_REAL = Untere Grenze der Impulszahlen für NWG
UPLIMIT_REAL
= Obere Grenze der Impulszahlen für NWG
Die Iterationsgrenzen LOWLIMIT_REAL und UPLIMIT_REAL legen die Impulszahl fest,
bei der die Iteration startet und endet.
Das Skript führt eine iterative Berechnung der Nachweisgrenze aus. Die Genauigkeit der
numerischen Iterationen ist auf zwei Nachkommastellen festgelegt und wird im Skript durch
den Parameter „MULTIPLIKATOR“ angegeben. Im Unterordner „pic“ befinden sich die Bilder
der Histogramme, die nach jeder Iteration erzeugt werden. Zum einen wird erneut die
Erkennungsgrenze berechnet, deren Wahrscheinlichkeitsdichte in Form eines Histogramms in
dem Bild mit dem Namen
______________________________________________________________________________
22
„ekg_<NM_REALxMULTIPLIKATOR>m<N0_REALxMULTIPLIKATOR>_\
s<GSL_RND_SEED1>x<GSL_RND_SEED2>_histo.jpg“
wiedergegeben wird. Zum anderen zeigen alle übrigen Bilder die
Wahrscheinlichkeitsdichten, die für die Bestimmung der Nachweisgrenze iteriert werden
müssen. Dabei ist zu Vergleichszwecken immer auch die Wahrscheinlichkeitsdichte eingezeichnet,
die für die
Bestimmung der Erkennungsgrenze erforderlich ist. Die Namen der Bilder für die
Iteration der Nachweisgrenze lauten auf
„nwg_<NM_REALxMULTIPLIKATOR>m<N0_REALxMULTIPLIKATOR>_\
s<GSL_RND_SEED1>x<GSL_RND_SEED2>_histo.jpg“
So bedeutet zum Beispiel „nwg_net_rate_405m2700_s48x48_histo.jpg“:
405
= Aktueller (iterierter) Erwartungswert der Poissonverteilung, die für die
Bestimmung des β-Quantils bezüglich der Nachweisgrenze benutzt wird.
Der reale Wert betragt hier 4,05 Impulse bei einem MULTIPLIKATOR = 100.
x
= mal
2700
= Erwartungswert der Poissonverteilung, die aus der Hintergrundmessung
hervorgeht. Der reale Wert beträgt hier 27,00 Impulse bei einem
MULTIPLIKATOR = 100.
s
= seed
48
= GSL_RND_SEED1, Startwert für den Zufallszahlengenerator
x
= mal
48
= GSL_RND_SEED2, Startwert für den Zufallszahlengenerator
•
Dokumentieren Sie die Ergebnisse der Berechnungen gemäß den Empfehlungen des GUM.
•
Erklären sie den Iterationsprozess in Worten.
•
Suchen Sie sich aus der Bildersammlung des Unterordners „pic“ 6 Bilder heraus, mit
denen Sie die Iteration der Nachweisgrenze dokumentieren. Fügen Sie die Bilder in ein
libreOffice-Dokument so ein, dass sie auf eine DIN-A4-Seite passen, und drucken Sie die
Seite aus. Die Bilderfolge muss das Histogramm des ersten und letzten Iterationsschritts
enthalten. Im letzten dieser Bilder markieren Sie die Erkennungs- und Nachweisgrenze.
Schraffieren Sie die Flächen unter den Histogrammen, die zu den
Irrtumswahrscheinlichkeiten α und β gehören.
•
Suchen Sie aus der Bildersammlung des Unterordners „pic“ das Bild heraus, das das
Histogramm des Posteriors zeigt, also das Histogramm, das aus der Faltung einer
Stufenfunktion bei Null (Prior) mit dem Histogramm der primären Messgröße (Likelihood)
zeigt. Machen Sie sich anhand dessen die Bedeutung des Bayesschen Theorems im
Konzept der Messunsicherheiten klar.
•
Fällen Sie nun eine Entscheidung, - haben Sie einen Probenbeitrag erkannt?
______________________________________________________________________________
23
Anhang
Abbildung 14: Einstellen der Eingabeparameter für das Ziehen der Zufallszahlen.
Abbildung 15: Kompilieren der Quelltexte.
______________________________________________________________________________
24
Abbildung 16: Ziehen der Zufallszahlen und Berechnen der Statistiken.
Abbildung 17: Graphische Darstellung der Verteilungen.
______________________________________________________________________________
25
Abbildung 18: Eingabeblock für die Simulation des radioaktiven Zerfalls
Abbildung 19: Kompilieren der Quelltexte.
______________________________________________________________________________
26
Abbildung 20: Ausführen der Berechnungen.
______________________________________________________________________________
27

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