Übung 9

Festkörperphysik I
Prof. Klaus Ensslin
HS 2016
Verteilung: 16. November 2016
Nachbesprechung: 23./24. November 2016
9. Übungsblatt: Bandstruktur (Teil 2)
Hinweis: Auf der Vorlesungshomepage gibt es eine Extraaufgabe inklusive Musterlösung zum Tight-binding
Modell für Graphen. Interessierte Studenten können sich dort die Aufgabe herunterladen.
Aufgabe 1: Tight Binding Modell in einer Dimension
In dieser Übung soll mit einem einfachen eindimensionalen Modell nachvollzogen werden, wie aus lokalisierten
Wellenfunktionen durch Überlapp eine Bandstruktur entstehen kann. Das Modellpotential aus periodischen
Deltafunktionen ist dasselbe, welches auch beim Kronig-Penney-Modell (Übungsblatt 8, Aufgabe 3) betrachtet
wurde. Im Gegensatz zum Ansatz mit ausgedehnten ebenen Wellen soll jetzt aber von lokalisierten Zuständen
ausgegangen werden.
Um die Bandstruktur E(k) des tiefsten Energiebandes zu bestimmen, gehen Sie wie folgt vor:
a) Bestimmen Sie zunächst den niedrigsten (und einzigen) gebundenen Eigenzustand E0 und die dazugehörige
Wellenfunktion (das “Atom-Orbital”) ϕ0 (x) für ein einzelnes Deltapotential
U0 (x) = −u0 δ(x).
b) Betrachten Sie nun den “eindimensionalen Kristall”, dessen Potential gegeben ist durch
U (x) = U0 (x) + ∆U (x) = U0 (x) −
∞
∑
u0 (δ(x − na) + δ(x + na)) .
n=1
Im Sinne der Tight Binding Näherung nehmen Sie an, dass die ausgedehnte Wellenfunktionen für die
Zustände im tiefsten Band gegeben sind durch die Linearkombinationen der Atom-Orbitale
ψk (x) =
+∞
∑
ϕ0 (x − ja)eikja ,
(1)
j=−∞
wobei k ein reeller “Wellenvektor” ist.
Zeigen Sie, dass die ψk (x) das Bloch-Theorem erfüllen.
c) Setzen Sie den Ansatz (1) in die Schrödingergleichung des 1D-Kristalls ein und zeigen Sie durch Multiplikation mit ϕ0 (x) und anschliessende Integration über x, dass die Dispersionsrelation die Form
∑∞
β + n=1 γn cos(nka)
∑∞
E(k) = E0 +
1 + n=1 αn cos(nka)
annimmt. Geben Sie die Grössen αn , β und γn explizit an. Vereinfachen Sie die Formel unter der
Bedingung κa ≫ 1. Geben Sie den Ausdruck für die eﬀektive Masse im Minimum an, und vergleichen Sie
diesen mit dem Ausdruck für das freie Elektron.
Hinweis: Benutze folgende Integrale:
∫
2
∫
dxϕ0 (x)ϕ0 (x + ja) =
dxϕ0 (x)∆U (x)ϕ0 (x) =
∫
2
dxϕ0 (x)∆U (x)ϕ0 (x + ja) =
2 (1 + κja) e−κja
e−2κa
1 − e−2κa
]
[
e−κa(j+2)
.
−4 |E0 | je−κaj + 2
1 − e−2κa
−4 |E0 |

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