1. Lösungsvorschläge zu Aufgabe 5 Aufgabe 5. Es sei f ∈ O(G) eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet G ⊂ C, sodass der Realteil Re(f ) ein lokales Minimum annimmt. Zeigen Sie, dass die Funktion f konstant ist. 1.1. Variante 1. Die Funktion g(z) = e−f (z) nimmt an einem Punkt in G ein lokales Betragsmaximum an und ist somit konstant nach dem Maximumssatz. Da f stetig ist und G zusammenhänged, muss auch f konstant sein. 1.2. Variante 2. Nach dem Satz über die Gebietsinvarianz bzw. dem Offenheitssatz ist f entweder konstant oder f (G) ist ein Gebiet, insbesondere also offen. Letzteres ist nicht möglich, wenn Re(f ) ein lokales Minimum annimmt. 1
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