Gewöhnliche Differentialgleichungen ¨Ubungsblatt 1

Sven-Ake Wegner
Sebastian Möller
Bergische Universität Wuppertal
Wintersemester 2016/2017
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Übungsblatt 1
Aufgabe 1. (10 Punkte) Bestimmen Sie die Konstante k > 0 aus Beispiel 1 der Vorlesung für
eine Flüssigkeit Ihrer Wahl. Sagen Sie die Temperaturänderung für einen Zeitraum Ihrer Wahl
voraus und überprüfen Sie Ihre Vorhersage.
Aufgabe 2. (10 Punkte) Ein Student hat sich einen gewissen Wissensstoff eingeprägt (etwa
für ein Examen). Mit der Zeit wird er einiges davon vergessen. p(t) bedeute den Prozentsatz des
Stoffes, den er t Zeiteinheiten nach dessen voller Meisterung noch im Gedächtnis hat; es ist also
p(0) = 100. Optimistischerweise wird man annehmen dürfen, daß er einen gewissen Prozentsatz
0 < b < 100 des Stoffes nie vergißt, ferner wird man den Ansatz wagen, daß zur Zeit t die
Vergessensrate ṗ(t) proportional zu dem Prozentsatz des noch zu vergessenden Stoffes, also zu
p(t) − b, ist. Formulieren Sie das zugehörige Anfangswertproblem, finden Sie eine Lösung und
skizzieren Sie diese.
Aufgabe 3. (10 Punkte) Vergewissern Sie sich, daß die Kettenlinie nicht besonders gut durch
eine Parabel beschrieben wird. Passen Sie die Koeffizienten von p(x) = ax2 + bx + c derart an,
dass der Graph durch die Punkte A, B und C verläuft, wobei letztere wie in Beispiel 4 der
Vorlesung definiert sind. Vergleichen Sie den Graph von p mit der Form der echten Kette.
Aufgabe 4. (10 Punkte) Zeigen Sie, daß
y(x) =
H
x − C1 cosh
+ C2
γ
H/γ
mit Konstanten C1 und C2 die Differentialgleichung der Kettenlinie löst.
Dieses Aufgabenblatt kann bis zum Montag, dem 31. Oktober 2016, 10:00 Uhr, in Postfach 42 auf
Ebene D.13 abgegeben werden. Bitte notieren Sie Name und Übungsgruppe auf Ihrer Abgabe.
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