電気回路および演習 岩谷素顕 1-1 電気回路で何を学ぶか？ 材料工学で必要とされる電気的な基礎知識を学ぶ 材料の電気的性質を学ぶための基礎としての電気 回路を学ぶ 材料の電気的性質を測定するための基礎的な知識 を習得する 1-2 電気回路および演習の到達目標 基本的な電気回路の解析ができるようになる 代表的な回路の例 4 2V I 4 2V 4 2A 3 VR 1-3 1 代表的な回路の例 i e VR VL R L VC C 1-4 代表的な回路の例 4[S] 3[A] v1 8[A] v2 3[S] 1[S] v4 2[S] v3 25[A] 5[S] 1-5 代表的な回路の例 E [V] 1 i E VC C R t [s] VR 0 上のような電圧を加えたときにVRがどうなるか？ 1-6 2 波形の周期に比べ、1/RCが小さいとした場合 E [V] VR Ee 1 t RC VR Ee 1 t RC 1 t [s] 0 1-7 講義で必要なもの 筆記用具 関数電卓 ファイル 1-8 特に電卓は、関数電卓 （複素数が計算できるもの）が必要です 講義を受ける注意点 出席は名簿にサインをする 代筆はダメ!!代筆が見つかった段階で欠格 欠席が5コマ以上の場合、 欠格 私語などで2度注意された場合、退室してもらいます（欠 席扱い） その他、HP・電子メールで連絡予定 1-9 3 履修上の注意事項 私語厳禁 発言は歓迎します！！分からない時は挙手して質問 すること。講義中に友達に聞くのも駄目！！ 講義はできるだけ前の方の席で聞いて下さい 携帯電話の電源は切る 講義を受けるべき態度は守ってください 予習は不要ですが、復習(演習)は必ず行って下さい 講義終了後の質問は歓迎します！ 1-10 成績の評価方法 講義+演習 演習は、HPから印刷して実施する 演習を行ったらスキャナーで取り込んで提出(締切:翌週) 演習の講義では、演習問題の解答を行う。 適当に当てて、解答・説明をしてもらいます。 ⇒問題解決能力・コミュニケーション能力を養う 成績評価 期末試験70点+レポート点30点 1-11 各講義の内容 回数 項目 内容 1 直流回路(1) 直流回路の基礎、オームの法則、キルヒホッフの法則 2 直流回路(2) 直列・並列回路、分流・分圧回路、電流源・電圧源、電力 3 直流回路(3) 一般線形回路、重ね合わせの定理・テブナンの定理 4 直流回路(4) Y-Δ接続回路 5 交流回路(1) 交流回路、抵抗回路、コイル・コンデンサの性質(1) 6 交流回路(2) 交流回路、抵抗回路、コイル・コンデンサの性質(2) 7 交流回路(3) 誘導回路・容量回路 8 交流回路(4) フェーザ表示、ベクトル図 9 交流回路(5) フェーザ表示の考え方使い方 10 交流回路(6) ＲＬＣ回路、交流回路の電力、有効電力・無効電力 11 交流回路(7) フェーザ表示を使ったＲＬＣ回路、ＲＬ回路、ＲＣ回路 12 交流回路(8) ＲＬＣ回路、共振回路(直列共振、並列共振) 13 過渡現象(1) 過渡現象(1) 14 交流回路(2) 過渡現象(2) 15 まとめ 電気回路および演習のまとめ 1-12 4 電気回路で使う単位系 基本的にはSI単位系 SIとはフランス語でSysteme International d’uniteの頭文字をとった国際単位系度量衡の標準 単位系で、旧［MKS］単位系をもとに、次のような単位を基本として組み立てた単位系のことをいう。 1960年に国際度衡量総会で採択された。 量 時間 長さ 質量 電流 熱力学温度 物質量 光度 1-13 基本単位 名称 記号 s 秒 m メートル kg キログラム A アンペア K ケルビン mol モル cd カンデラ 接頭語(SI接頭辞) 接頭語とは？ 単位 例えば長さを表す単位：m(メートル) ・その1000倍 1km=1×103m 1キロメートル ・その1/1000倍 1mm=1×10-3m 1ミリメートル 接頭語 接頭語がないと数値標記が見難くなる 1-14 代表的な接頭語 それぞれ空欄に当てはまる名称・記号を入れてください。 数 接頭語 名称 記号 1012 10-1 デシ 109 10-2 106 10-3 103 10-6 102 10-9 数 10 接頭語 名称 記号 デカ da d 10-12 1-15 5 電気回路解析における計算の要領として、 有効数字、誤差の考え方、計算作法について・・・ 誤差 数値の誤差評価は大別して次の2つがある。 絶対誤差 測定値 - 真値 相対誤差 測定値 - 真値 真値 例えば、測定値に1mの絶対誤差があると言われても 測定値が10kmと2mに対するものでは評価が異なる 相対誤差ならば、0.001%と100％の相対誤差と 表現されるので、誤差の表現がしやすい 1-17 一般には相対誤差を用いるほうが望ましい。 電気回路の分野で現れる誤差 (1) 実験で測定した値と真値との差 (2) 公称値と実測値との差 (3) 計算による誤差 (1)に関しては、実際の実験によるものであり(2)に関しては電子部品である抵抗のカラー コード表示は公称値であり、公称値から何%の誤差範囲内に収まるように製造されている。 (3)に関しては、本講義の電気回路理論の計算にて注意を払うべきものである。これにつ いて次に考える。 ここが誤差を表わす 金：5% ちなみにこの抵抗は1k 1-18 有効数字 4桁の有効数字とは、5桁目に不確かさ（または誤差）があるため、確からしい上位4桁を用い た数値をいう。 100mm 110mm この目盛を読む 計測では、最小目盛りがmmのものさしで、ある棒の長さを測ったところ、102mmと 103mmの間にあり、目測により102.7mmと判定したとする。 この場合、0.01mmの位の数字を四捨五入して得たと考えてよいので、真実値Lは、 102.65≦L＜102.75の範囲にあると考えてよい。102.7mmには4個の数字が用いられて おり、末尾の数字はほぼ確実であるから、この場合を有効数字は4桁であるという。 1-19 6 有効数字の表示 有効数字の桁数が小さく、かつ絶対値が大きいまたは小さい場合には 10の累乗を用いる：見やすさ重視 例えば14567000Wを有効数字2桁、3桁、4桁で表現するとき 2桁 3桁 4桁 1.5107W 1.46107W 1.457107W 15MW 14.6MW 14.57MW 0.015GW 0.0146GW 0.01457GW 1.510-2GW 1.4610-2GW 1.45710-2GW があるが、この4つの表現を比べたとき、どちらが良いかは一概に言えない。 ＊基本的に見やすいものを使うのが良い ＊接頭語を使いつつ見やすく記載する 1-20 計算における有効数字の決め方 計算した結果を答えとして記述するときの決め方は、 (1)答えに有効数字の桁数が指定されている場合に は、それより1桁多く算出し、その数字を四捨五入 することによって指定桁数を出す。 (2)答えに有効数字が指定されていない場合には、 最も小さい有効数字に合わせたらよい。例えば、 4.025×102× 3.2×103≒1.3×106 ただし、電卓を使う場合は、最後に有効数字を気に して解答を書く。 1-21 電気回路の基礎 高校までに習ったことおよび基本的なことを 今日は復習します 1-22 7 電荷、電流、電位の概念 電流の定義 I dq 電流I: 電荷qの時間的変化の割合 dt 単位: 電荷q： C（クーロン） 電流I： C/sのディメンジョンを持ち、単位としては A（アンペア）が用いられる。 時間的変化のない電流：直流電流 周期的に大きさと向きが変化する電流：交流電流 1-23 電位 単位は重要 電位：低 電位：高 電荷が移動 電流が流れる 何らかの方法で電流が流れても電位差がなくならないよ うにしておけば、電流はいつまでも流れ続ける。電池はこ のような装置の一つであり、起電力を持っているといわ れ、起電力Eと電圧Vは同じディメンジョンを持ち、単位と してV（ボルト）が用いられる。 1-24 電気回路を構成している部品 電気回路で主に扱う部品は ・・・・抵抗素子、誘導素子、容量素子 の主に3種類を考えて勉強します。 これらを受動素子を呼びます トランジスタ・ダイオード・FETなどの半導体デバイスは能 動素子と呼び、詳しいことはアナログ電子回路で・・・ 1-25 8 抵抗素子 記号: I R 実物: V V=IR オームの法則 炭素皮膜抵抗 抵抗Rを電気抵抗または単に抵抗とよび、単位としては （オーム）が用いられる。抵抗Rの逆数G＝1/Rをコン ダクタンスと呼び、単位としてS（ジーメンス）を用いる。 1-26 オームの法則 I 記号: I R 傾き:R 式的には：V=IR V O V 実験結果 I=GV(コンダクタンス:G=1/R) 単位は電位差[V]、電流[A]、抵抗[]、コンダクタンス[S] 1-27 オームの法則の物理的解釈 解釈1: 導体に電圧（電位差）を加えると、導体に応じた 電流が流れるが、このときの電圧と電流の関係は線形 であり、その傾きを抵抗と呼ぶ 解釈2: 抵抗のあるところに、電流が流れると電位差を 生ずる 解釈3:抵抗は同じでも、電流が多くなれば、電位差も大 きい 解釈4：抵抗は同じでも、電位差が大きければ、電流も 多い 1-28 9 オームの法則が成り立つ材料・成り立たない 材料 電流-電圧特性 × ○ 線形な場合 非線形な場合 （タングステン） （ニクロム） 線形な場合のみオームの法則を使ってよい 1-29 コイル（誘導素子） 加えられた電気エネルギーを一時的に電磁エネルギーに変 換する素子を誘導素子またはインダクタンス素子という 実物: i L 記号: 電流と電圧 の関係式 vL di dt v 1-30 Lはインダクタンスといい単位としてはH（ヘンリー） が用いられる。 コンデンサ（容量素子） 静電エネルギーを蓄積する素子を容量素子もしくは キャパシタンスといい 表示 101 変換値 100 1000 0.001 0.022 0.033 0.047 0.47 102 セラミックコンデンサ i C 1-31 v 記号 223 333 473 474 dv 電流と電圧 の関係式 i C dt v 単位 pF pF F F F F F 1 idt C 10 コンデンサに加わる電圧と電流の関係 Q=CV 容量C 電荷の時間変化が変位電流なので + - i i dQ dt 電流iと電圧vの関係は 電荷 +Q -Q v v 1 idt C 1-32 キルヒホッフの法則 複数の電源と分岐がある回路で、回路の接続点での電 流の式と、閉回路毎の起電力と電圧降下の式を連立させ て、回路解析を行うための法則 キルヒホッフの法則には2つの法則がある。 ・キルヒホッフの電流則： 回路の接続点（枝分かれ部分）では、電流の収支が0になる ・キルヒホッフの電圧則： 閉回路では、起電力の総和と、電圧降下の総和が等しくなる 1-33 キルヒホッフの電流則： 回路の接続点（枝分かれ部分）では、電流の収支が0にな る 流れ込む電流の総和＝流れ出る電流の総和 例えば右のような回路を考える 右図の接続点aに流入またはaか ら流出する電流の代数和(例えば 流入する電流を正、流出する電 流を負とする）は I1+I2+I3+I4+I5=0 n 一般的に 1-34 I k 1 k 0 となる。 I2 I1 I5 I3 a I4 これをキルヒホッフの法則(電流則)と呼ぶ 11 キルヒホッフの電圧則：閉回路では、起電力 の総和と、電圧降下の総和が等しくなる 回路網の中の任意の閉路 において、その閉路を構成 する枝の電位差の代数和 は0になる。右の図の閉路 abcdにおいて、それを構成 する枝の電位差(同一方向 に測らねばならない）の代 数和は、 -E1+V1+V2+E3-V3-V4=0 n 1-35 一般的に、 V4 d E3 n k V1 V3 E V k 1 a E 1 k 1 k b c V2 0 と表わされる。 電位の考え方 電流の向き 負荷 電位 高 低 電流は電位の高 いほうから低いほ うに流れる 電源 電圧源は、プラスの ほうが電位が高い 電位 低 高 1-36 キルヒホッフの法則は回路方程式を立てるとき に基本となる式です。 キルヒホッフの法則による回路方程式の計算 ・キルヒホッフの電流則(キルヒホッフの第1法則)： 回路の接続点（枝分かれ部分）では、電流の収支が0になる ・キルヒホッフの電圧則(キルヒホッフの第2法則)： 閉回路では、起電力の総和と、電圧降下の総和が等しくなる 実際の回路方程式のたてかた ステップ1: 閉回路毎に「起電力の総和＝電圧降下の総和」の式を作る ステップ2: 接続点毎に「流れ込む電流の総和＝流れ出る電流の総和」の式を作る ステップ3: 作った式を連立させて、各部品を流れる電流を求める 1-37 12 例えば右のような回路を考える ・キルヒホッフの電流則：回路の接続点（枝分かれ部分）で は、電流の収支が０になる 流れ込む電流の総和＝流れ出る電流の総和 R1R 電流を右図のように決めた 1 I1 （実際の電流の向きは分から ないが、任意に決めて良い、 E1 RR2 2 但し答えを求めた時に向きが E1 A I2 反対の場合マイナスになる） ときA点においては、次の関 E2 R3 E2 R3 係式が成り立つ I3 I2＋I3 ＝I1 流れ込む電流 流れ出る電流 これをキルヒホッフの法則(電流則)と呼ぶ 1-38 ・キルヒホッフの電圧則： 閉回路では、起電力の総和と、電圧降下の総和が等しくなる どこかを基準電位として、閉じた 回路を考える。 右の回路で考えると （赤線のループを考える） I1 I2 E1-R2I2-R1I1=0 この2つの法則を使って回路を 解く I3 R1 ここが基準電位 R2 E1 R3 E2 左から右に行くと電 位がR1I1だけ下がる 右から左に行くと電 右から左に行くと 位がR2I2だけ下がる 電位がE1上がる 1-39 この考え方をもう少し図的にすると、 I1 電位 R2I2 I2 E1 R1I1 3 I3 1 2 R1 1 E1 R2 R3 2 E2 3 場所 1-40 13 例題 下の図でI1、I2、I3の値を求めよ。単位を解答に書くこ と。 I1 6Ω I2 2Ω 2V I3 3Ω 6V 1-41 例題 下の図でI1、I2、I3の値を求めよ。単位を解答に書くこと。 6Ω I 使う法則 1 オーム＋キルヒホッフの法則 I2 電位 I3 I1 キルヒホッフの電圧則より 赤いループを考える ① ここを基準電位とする。 6V 3Ω 電流の向きに注意してどちらが電 位が高いかを考えて式を立てる 例えばこの場所では左の方が 抵抗２Ω 電位が高いとして式を立てる。 ２×Ｉ２ Ｖ↑ したがって、下記の式がたつ 抵抗6Ω ６×Ｉ１ Ｖ↓ 電源２Ｖ 2+2×I2-6×I1=0・・・① 電位が２Ｖ↑ 同様に青いループを考えると 6＋3×I3-6×I1=0 ・・・② 場所 2Ω 2V この点に注目してキルヒホッフ の電流則を適用 6Ω キルヒホッフの電流則：回路の接 続点では、電流の収支が０になる I1+I2+I3=0 ・・・③ 2+2×I 6V 2-6×I1=0 ・・・① 3Ω I3 6+3×I3-6×I1=0 ・・・② ①、②より I2=3×I1-1・・・①‘ 注意点:電流がマイナスで I3=2×I1-2・・・②‘ 出る場合があるがそれは ①‘、②’を③に代入 電流の向きが逆という意 I1+I2+I3=6×I1-3=0 味になる。 ⇔I1=0.5 [A] 従って、①‘、②’より 1-43 I2=0.5 [A], I3=-1.0 [A] I2 2Ω 2V 14 直流回路と交流回路 直流は、時間によらず電圧が常に一定 電圧 時間 交流は、時間によって電圧が変化する 電圧 時間 1-44 代表的なそれぞれの電源 直流電源 乾電池 直流電源 家庭用のコンセントは交流 1-45 何故、家庭用電源は交流か？ 同じ電力を送るとしたら、 電力=(電流)×(電圧)=(抵抗)×(電流)2 •高電圧で送る ○ 有利 •大電流で送る × 有利 伝送中の消費電力を小さくできる ・ロスを少なく、効率よく家庭に電力を送りたい 交流の特徴:変圧器によって自由に電圧に可変○ 1-46 15 代表的な変圧器の例 巻数 磁束密度が変化すると電流が発生する。 直流:電圧一定(変圧不可）、交流：電圧は変化（変圧可能） 1-47 代表的な変圧器の例 巻数 1次電圧と2次電圧の関係 V1 N 1 V2 N 2 例えば、電圧を1/100にするには1次コイルの巻き数を2 次コイルの巻き数の100倍にすればよい。 この式が成り立つのは交流の場合のみ 1-48 詳しくは電磁気の講義で勉強します ちなみに、護身グッズのスタンガンはこのトランス を使っています。 直流電圧 スタンガン 1-49 直流の電流をON/OFFした時には極 めて急激な電流の変化があるため、 2次コイルには非常に大きな電圧が 発生する。 この原理を使ってスタンガンは放電させる 16 実際に家庭まで送電するときの電圧の ながれ 1-50 直流・交流の使い分け 直流(電源は交流から取る) パソコン ブラウン管 テレビ 液晶テレビ LED LAMP 発光ダイオード LED LAMP LD レーザダイオード 1-51 交流で動作している例 半導体で構成 インバータは 交流→直流→交流 エアコン 扇風機 洗濯機 掃除機 (整流モータ) 1-52 17 ちなみに電車の場合 新幹線： 0系、100系 直流モータ 単相交流 25000V(送電) 300系以降 3相交流モータ 在来線 関東、東海、近畿、中国、四国など 直流1500V 九州・東北・北海道・北陸など 交流 20000V 例 ブルートレインの場合 途中で機関 車を交換 本州では・・・ 九州では・・・ 今では、直交流対応の電車もある。 また、動作モータは最近はインバータを使った3相交流モー タが増えてきている。（理由：メンテが容易、耐久性がある） 直流回路 スイッチのON/OFFのない場合 I i R L i C V v V=IR di vL dt 通常はこれだけ を考える 電圧差=0 v 時間変化なし iC 電流=0 短絡と等価 1-54 dv dt 開放と等価 直流回路 直流回路素子：抵抗のみを考えればよい I E G=1/R R RI=E I=E/R I V G GV=I V=I/G この2つの回路は等価になる 1-55 18 次に合成抵抗について 抵抗を複数個扱う場合について考える。 a R1 R2 Rn b 直列接続 R1 直流回路の場合こ の2つの接続の組 み合わせで考える。 R２ b a 並列接続 Rn 1-56 直列回路 V V1 a R1 V2 Vn R2 Rn b ab端子間の合成抵抗R R=R1+R2+・・・・+Rn :全抵抗の和 V1=R1V/R, V2=R2V/R・・・V3=R3V/R 1-57 演習 次の回路において、V2がV1の1/10になるた めには、R2はいくらにすればよいか？R1を用いて 示せ I 回路全体の抵抗：Z＝R1+R2な ので、回路に流れる電流Iは R1 V１ R２ 1-58 V２ I V1 V1 Z R1 R 2 よってV2は V2 R2 I R2V1 R1 R 2 したがってV2がV1の1/10になるためには R2V1 R2 R 1 1 V1 10 R2 R1 R2 R2 1 R1 R 2 10 R1 R 2 10 9 19 並列回路 R1 合成抵抗R R２ n 1 1 1 1 1 R R1 R2 Rn k 1 Rk b a Rn 1-59 演習 次の回路において端子ab間の合成抵抗を求 めよ。ただし、有効数字2桁で求めよ。 ２Ω ４Ω ｂ ａ ３Ω ３Ω 端子間の合成抵抗Rは R 1-60 1 1 2.9 1 1 1 1 2 3 4 3 [] 演習 次の回路において端子ab間の合成抵抗を求 めよ。ただし、有効数字2桁で求めよ。 ２Ω ２Ω ａ 上側2つの抵抗の合成抵抗R1は ｂ ３Ω ４Ω R1 1 1 2 3 2 6 10 16 5 5 したがって端子間の合成抵抗Rは R 1-61 1 1 1 1 R1 4 1 5 1 16 4 1 .8 [] 20 本日の講義のまとめ ・電気回路の講義の進め方 プロジェクタを使う 講義の資料はHP上 http://nitride.meijo-u.ac.jp/iwaya/index.htm ・電気回路を構成している素子について 抵抗・コンデンサ・コイル ・キルヒホッフの法則 ・直列回路の基礎 1-62 21
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