Fachschaft Mathematik Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Warm-Up WS 2016/17 Übungsaufgaben zu Linearen Gleichungssystemen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungsmenge folgender linearer Gleichungssysteme, das heißt die Menge aller (x1 , x2 , x3 , x4 ), welche alle vier Gleichungen erfüllen. (i) 2x1 − x1 − 2x1 6x1 + x2 + 2x2 + 3x2 + 4x2 + − − + 2x3 + x4 3x3 + 4x4 2x3 + 3x4 2x3 = = = = 8 8 8 8 − 2x1 − x1 3x1 2x1 + 8x2 − 3x2 − x2 + 2x2 − − + + 4x3 2x3 6x3 4x3 = = = = 8 6 4 2 (ii) + x4 + 5x4 + x4 − x4 (iii) 2x1 3x1 − x1 x1 + x2 + 2x3 − 3x2 + 3x3 + 2x2 + x3 − 3x2 + x4 − 3x4 + 2x4 − 3x4 = 5 = 3 = 1 = −1 + x3 + 4x3 + 2x3 + 2x3 + + + + = = = = − + + − + 4x4 + 12x4 − 8x4 − 4x4 (iv) 2x1 + x2 3x1 + 2x2 2x1 + 2x2 x2 2x4 3x4 4x4 3x4 2 4 6 8 (v) 3x1 − 6x1 − 3x1 9x1 + x2 + 3x2 − 2x2 − x2 –1– 2x3 4x3 2x3 6x3 = 1 = −7 = 0 = 7 Fachschaft Mathematik Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Warm-Up WS 2016/17 Hinweis: Beachte, dass eine Lösungsmenge unterschiedliche Darstellungsformen haben kann. Zum Beispiel lässt sich die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems 2x1 + 4x2 = 4 x1 + 2x2 = 2 auf die beiden äquivalenten Arten ( ) ( x1 x1 0 2 x1 L= = +λ , λ∈R = x2 x2 1 −1 x2 ) 2 −4 x1 = +µ , µ∈R 0 2 x2 darstellen. Aufgabe 2 Stelle ein Gleichungssystem zu folgenden Problemen auf und löse dieses: (i) Der Umfang eines Rechtecks beträgt 100cm. Verkürzt man zwei gegenüberliegende Seiten um 5cm und verlängert die beiden anderen Seiten um 5cm, so verkleinert sich der Flächeninhalt des Rechtecks um 75cm2 . Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? (ii) Max ist 16 Jahre alt. Damit ist er genau doppelt so alt, wie Lena war, als Max so alt war, wie Lena jetzt ist. Wie alt ist Lena? (iii) Bei einem großen Oldtimer-Treffen verabreden sich Liebhaber von Oldtimer-Bussen zu einer gemeinsamen Ausfahrt. Alle Busse fahren mit gleich vielen Personen los. Unterwegs haben 10 Busse eine Panne. Die Personen in den defekten Bussen teilen sich daraufhin gleichmäßig auf die übrigen Busse auf, wonach in jedem Bus genau eine Person mehr sitzt. Bei der Rückfahrt haben weitere 15 Busse eine Panne, die Mitfahrer in den defekten Bussen teilen sich wieder gleichmäßig auf die übrigen Busse auf, sodass am Ende in jedem Bus drei Personen mehr sitzen als zu Beginn der Ausfahrt. Wie viele Personen haben insgesamt an der Ausfahrt teilgenommen? (iv) Auf einer fahrenden Rolltreppe benötigst du 60 Schritte bis du oben angekommen bist. Gehst du sie entgegen der Fahrtrichtung hinunter sind es 90 Schritte. Wie viele Schritte benötigst du, falls die Rolltreppe steht? –2–
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