Veranschaulichung von Aufgabe 5b): Verbesserung des Tests durch

Veranschaulichung von Aufgabe 5b): Verbesserung des Tests durch
Hinzunahme weiterer Hypothesen
In der Sitation, dass man nur die Hypothesen H= : {µ1 = µ2 }, H≤ :
{µ1 ≤ µ2 }, H≥ : {µ1 ≥ µ2 } betrachtet (und dazu 2- bzw. 1-seitige t-Tests
ϕ= , ϕ≤ , ϕ≥ zum Niveau α), muss man erst einmal den Abschlusstest bilden, um
einen multiplen Test zum multiplen Niveau α zu erhalten:
ϕ̄≤ = ϕ= · ϕ≤ ,
ϕ̄= = ϕ= ,
ϕ̄≥ = ϕ= · ϕ≥ .
Wenn man nun testet und ϕ= = 0 sein sollte, sind alle Einzeltests im Abschlusstest gleich null, wir können also nichts aussagen – unabhängig davon,
was ϕ≥ und ϕ≤ ergeben haben.
Nimmt man hingegen H< : {µ1 < µ2 } und H> : {µ1 > µ2 } und ϕ> := ϕ≥
und ϕ< := ϕ≤ zu unserer anfänglichen Situation hinzu, so ist der Abschlusstest
gegeben durch
ϕ̄= = ϕ= ,
ϕ̄≤ = ϕ= · ϕ≤ ,
ϕ̄≥ = ϕ= · ϕ≥ ,
ϕ̄< = ϕ≤ ,
ϕ̄> = ϕ≥ .
Wenn nun wieder ϕ= = 0 sein sollte und z.B. ϕ≤ = 1, so folgt:
ϕ̄= = 0,
ϕ̄≤ = 0,
ϕ̄≥ = 0,
ϕ̄< = 1,
ϕ̄> = 0.
D.h. wir können nun (im Gegensatz zum Vorgehen oben mit drei Hypothesen)
H< signifikant ablehnen, uns also signifikant für sein Komplement H≥ entscheiden.
Diese Sitaution kann tatsächlich auftreten: Bei den oben beschriebenen tTests, die wir betrachten, ist ϕ= = 0 und ϕ≤ = 1 genau dann, wenn
|Tn | ≤ tn−2,1− α2
UND
Tn > tn−2,1−α ,
(Tn bezeichne die t-Statistik, basierend auf n Beobachtungen, tn−2,β das βQuantil der t-Verteilung mit n − 2 Freiheitsgraden) was äquivalent ist zu
tn−2,1−α < Tn ≤ tn−2,1− α2 .
Es kann genauso eine ähnlich Situation eintreten, so dass ϕ= = 0 und ϕ≥ = 1
sind.
Das heißt, wir können das folgende Schaubild aus der Vorlesung ergänzen, indem wir für Tn aus dem Intervall (tn−2,1−α , tn−2,1− α2 ] signifikant sagen können:
“µ1 ≥ µ2 ” und für Tn aus dem Intervall [−tn−2,1− α2 , −tn−2,1−α ) sagen wir signifikant “µ1 ≤ µ2 ”.
{ϕ̄= = ϕ= = 0}
z
”‘µ1 < µ2 ”’
}|
) −tn−2, 1−α
{
tn−2, 1−α (
”‘µ1 > µ2 ”’
...
- Wert von Tn
−tn−2, 1− α2
|
|
{z
{ϕ̄≥ = 1}
{z
{ϕ≥ = 1}
0
tn−2, 1− α2
|
}
}
|
1
{z
{ϕ̄≤ = 1}
{z
{ϕ≤ = 1}
}
}
2

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