Prof. Dr. Reinhard Höpfner Frederik Klement Grundlagen der Stochastik Blatt 3 Aufgabe 1:(3 + 3 Punkte) Wir betrachten eine unendliche Folge von unabhängigen Münzwürfen, also einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) wie er in Bsp.1.7 aus der Vorlesung definiert wurde. Zeigen Sie a) P {ω ∈ Ω : ωn = 1 für unendlich viele n ∈ N} = 1, b) P {ω ∈ Ω : ωn = 1 ab einem gewissen k ∈ N} = 0. Hinweis: Sie können die Stetigkeit von oben bzw. von unten des Maßes P benutzen. Aufgabe 2:(4 Punkte) Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und An ∈ A ein Ereignis für n ∈ N. Beweisen Sie die Siebformel von Sylvester, i.e. beweisen Sie für alle N ∈ N : [ X N N P Ai = i=1 X (−1)j+1 P[Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aij ] 1≤i1 ≤i2 ≤...≤ij ≤j j=1 Hinweis: Sie können die folgenden Identitäten verwenden: Sei I eine beliebe Indexmenge und sei B ⊂ Ω und Ci ⊂ Ω für i ∈ I eine Teilmenge, dann gilt: [ [ \ \ B∩ Ci = Ci = B ∩ Ci , B ∪ B ∪ Ci . i∈I i∈I i∈I i∈I Aufgabe 3:(4 Punkte) Der berühmte Mathematiker Stefan Banach hat in beiden Hosentaschen je eine Schachtel mit N Streichhölzern. Jedesmal, wenn er ein Streichholz anzünden möchte, greift er mit gleicher Wahrscheinlichkeit in eine der beiden Hosentaschen und nimmt sich ein Streichholz aus der Schachtel. Falls die Schachtel dadurch leer wird, wirft er beide Schachteln weg. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau k Streichhölzer wegwirft? Aufgabe 4:(6 + 3 Punkte) Wir betrachten folgende Mengensysteme in R: E1 := {(a, b) ⊂ R : a, b ∈ R, a < b}, E2 :={(a, b] ⊂ R : a, b ∈ R, a < b}, E3 := {(−∞, a] ⊂ R : a ∈ R}, O :={A ⊆ R : A ist offen}, wobei O die Standardtopologie ist. a) Zeigen Sie, dass σ(E1 ) = σ(E2 ) = σ(E3 ). Extra: Zeigen Sie, dass σ(E1 ) = σ(O). Abgabe: Freitag, 13.11.15, 10 Uhr 1