年 番号
1
四面体 OABC において，P を辺 OA の中点，Q を辺 OB を 2 : 1 に内分する点，R を辺 BC の中
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
点とする．P，Q，R を通る平面と辺 AC の交点を S とする．OA = a ，OB = b ，OC = c
3
氏名
座標空間に 4 点
O(0; 0; 0);
A(s; s; s);
B(¡1; 1; 1);
C(0; 0; 1)
とおく．以下の問に答えよ．
¡! ¡!
¡
! ¡
! ¡
!
(1) PQ，PR をそれぞれ a ; b ; c を用いて表せ．
¡
!
¡
!
(2) 比 AS : SC を求めよ．
がある．ただし，s > 0 とする．t; u; v を実数とし，
¡
! ¡!
¡!
d = OB ¡ tOA;
¡
!
(3) 四面体 OABC を 1 辺の長さが 1 の正四面体とするとき， QS を求めよ．
¡
! ¡!
¡!
¡!
e = OC ¡ uOA ¡ vOB
とおく．次の問いに答えよ．
（ 神戸大学 2016 ）
¡! ¡
!
(1) OA ? d のとき，t を s を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(2) OA ? d ，OA ? e ， d ? e のとき，u; v を s を用いて表せ．
(3) (2) のとき，2 点 D，E を
¡! ¡
!
OD = d ;
¡! ¡
!
OE = e
となる点とする．四面体 OADE の体積が 2 であるとき，s の値を求めよ．
2
（ 広島大学 2016 ）
¡
!
¡
!
¡
!
大きさ 1 のベクトル a と， 0 でないベクトル b のなす角を µ とする．
(1)
(2)
¡
!
¡
!
¡
!
3 a + t b が最小となるような実数 t の値を j b j，µ を用いて表しなさい．
p
¡
!
¡
!
¡
!
1
3 a + t b は t = ¡ のとき最小値 2 2 をとる．j b j および cos µ の値を求めなさい．
2
（ 大分大学 2016 ）
4
¡
!
¡
!
¡
!
a = (1; ¡2; 1)， b = (1; 0; 1)， c = (1; ¡1; 0) とする．また，実数 s; t; u に対して
¡
! ¡
!
¡
! ¡
! ¡
!
¡
!
¡
!
x = a + s b ， y = a + t b + u c とする．
¡
!
(1) x の大きさが最小となるときの s の値を求めよ．
¡
! ¡
!
(2) a と x が 120± の角をなすときの s の値を求めよ．
¡
! ¡
!
¡
!
(3) y が a にも b にも垂直となるときの t; u の値を求めよ．
（ 三重大学 2016 ）
5
p
p
4ABC において，AB = 3，BC = 5，AC = 2 とする．辺 BC 上に点 B と異なる点 P があ
p
り，AP = 3 とする．また，辺 AB の中点を Q，線分 AP と線分 CQ との交点を R とする．こ
のとき，次の問に答えよ．
¡! ¡!
(1) 内積 AB ¢ AC と 4ABC の面積 S を求めよ．
¡! ¡! ¡!
(2) AP を AB と AC を用いて表せ．
(3) 4AQR の面積 T を求めよ．
（ 山形大学 2016 ）
9
1
を満たしているとする．直線 BC
3
¡!
¡
!
上に BC ? AP となる点 P をとり，直線 BD 上に BD ? AQ となる点 Q をとる．AB = a ，
¡! ¡
!
AD = b とおくとき，次の問に答えよ．
平行四辺形 ABCD は，AB = 2，AD = 3，cos ÎBAD =
¡
! ¡
!
(1) 内積 a ¢ b を求めよ．
¡! ¡! ¡
! ¡
!
(2) AP と AQ を a ; b で表せ．
¡!
¡!
(3) AP と AQ を求めよ．
¡!
(4) PQ を求めよ．
（ 香川大学 2016 ）
6
¼
3
を満たすとする．点 C が線分 OA の垂直二等分線と線分 OB の垂直二等分線の交点であるとき，
¡! ¡! ¡!
OC を OA，OB を用いて表せ．
4 点 O，A，B，C が同一平面上にある．3 点 O，A，B は，OA : OB = 3 : 2，ÎAOB =
（ 富山県立大学 2016 ）
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
10 四面体 OABC があり，OA = a ，OB = b ，OC = c とする．三角形 ABC の重心を G とす
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡!
る．点 D，E，P を OD = 2 b ，OE = 3 c ，OP = 6OG をみたす点とし，平面 ADE と直線 OP
の交点を Q とする．次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) OQ を a ; b ; c を用いて表せ．
7
平面上に平行四辺形 ABCD がある．辺 AB の中点を E とし，辺 BC，辺 CD，辺 DA それぞれを
¡! ¡
!
1 : 2 に内分する点を順に F，G，H とする．線分 EG と線分 FH の交点を I とする．AB = b ，
¡! ¡
!
AD = d とおくとき，以下の問いに答えよ．
S2
を求めよ．
S1
V2
(3) 四面体 OADE の体積を V1 ，四面体 PQDE の体積を V2 とするとき，
を求めよ．
V1
(2) 三角形 ADE の面積を S1 ，三角形 QDE の面積を S2 とするとき，
（ 横浜国立大学 2016 ）
¡
! ¡
! ¡
!
(1) EI : IG = t : (1 ¡ t) とおくとき，AI を b ， d ，t を用いて表せ．
¡
! ¡
! ¡
!
(2) HI : IF = u : (1 ¡ u) とおくとき，AI を b ， d ，u を用いて表せ．
¡
! ¡
! ¡
!
(3) AI を b ， d を用いて表せ．
1
に対し OA を s : (1 ¡ s) に内分する点
2
¡! ¡
!
¡
!
を P とし，0 < t < 1 に対し OC を t : (1 ¡ t) に内分する点を Q とする．OA = a ，OB = b ，
¡! ¡
!
OC = c とおくとき，以下の問いに答えよ．
11 1 辺の長さ 1 の正四面体 OABC を考える．0 < s <
（ 会津大学 2016 ）
¡
! ¡!
¡
! ¡
! ¡
!
(1) PB，PQ をそれぞれ a ; b ; c ; s; t を用いて表せ．
8
四面体 OABC を考える．辺 OA を 1 : 1 に内分する点を P とする．また辺 OB を 2 : 1 に内分す
る点を Q として，辺 OC を 3 : 1 に内分する点を R とする．さらに三角形 ABC の重心を G と
する．3 点 P，Q，R を通る平面と線分 OG の交点を K とする．線分 OK と KG の長さの比を求
(2) ÎBPQ = 90± であるとき，t を s を用いて表せ．
(3) (2) の条件の下で，t の最大値とそのときの s の値を求めよ．
(4) (3) で求めた s; t に対して，PQ2 を求めよ．
めよ．
（ 鹿児島大学 2016 ）
（ 熊本大学 2016 ）
¡!
¡!
12 4ABC と，A を通り BC に平行な直線 ` を考える．k を正の数とし，直線 ` 上に点 P を AP = kBC
となるようにとる．また直線 ` 上に点 Q を，線分 PB と線分 QC が 1 点で交わるようにとる．そ
¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡!
¡!
の交点を R とする．AB = b ，AC = c とおき，また m を AQ = mAP により定める．以下
の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) AR を b ; c ; k; m を用いて表せ．
¡
!
¡
!
¡! ¡!
3
(2) b = 1， c = 2，cos ÎBAC =
，m = ¡1 とする．BR と CR が直交するとき，k の
4
値を求めよ．
（ 熊本大学 2016 ）
13 三角形 OAB の辺 OA を x : (1 ¡ x) の比に内分する点を X，辺 OB を y : (1 ¡ y) の比に内分
する点を Y とする．ただし 0 < x < 1，0 < y < 1 とする．線分 YA と線分 XB の交点を Z と
する．
(1) 点 Z が線分 XB を s : (1 ¡ s) の比に内分しているとする．s を x と y を用いて表せ．
(2) 辺 OA の中点を C，辺 OB の中点を D とする．点 Z が線分 CD 上にあるための条件を x; y の
式で表せ．
（ 弘前大学 2016 ）
14 空間に 3 点 A(1; 2; 6)，B(7; 0; 9)，C(s; t; 0) がある．ただし ，s; t は実数とする．この
とき，次の問に答えよ．
¡! ¡!
(1) 内積 AB ¢ AC を s と t を用いて表せ．
¡!
¡!
(2) AB = AC となるとき，s と t の関係式を求めよ．
(3) 4ABC が ÎBAC = 90± の直角二等辺三角形となるとき，s と t の値を求めよ．
（ 佐賀大学 2016 ）
¡
!
¡
!
¡
!
15 大きさ 1 のベクトル a と， 0 でないベクトル b のなす角を µ とする．
(1)
(2)
¡
!
¡
!
¡
!
3 a + t b が最小となるような実数 t の値を j b j，µ を用いて表しなさい．
p
¡
!
¡
!
¡
!
1
3 a + t b は t = ¡ のとき最小値 2 2 をとる．j b j および cos µ の値を求めなさい．
2
（ 大分大学 2016 ）

(2) aが - SUUGAKU.JP

2¡! OA + 3¡! OB + 4

熊本地震に伴う営業状況について