Ph 96-16 Abschlußprüfung an Fachoberschulen: Physik 1996

Abschlußprüfung an Fachoberschulen: Physik 1996
Aufgabe III
1.0
→
Die Abhängigkeit des Betrags der Coulombkraft FC von den Punktladungen
gen Q1, Q2 und ihrem Abstand r im Vakuum wird durch das Coulombgesetz
Q ⋅Q
1
⋅ 12 2
4⋅π⋅ε0
r
erfaßt, wobei ε0 = elektrische Feldkonstante.
→
FC
1.1
= FC =
Beschreiben Sie anhand einer beschrifteten Skizze einen geeigneten Ver→
suchsaufbau, mit dem die Abhängigkeit des Betrags der Coulombkraft FC
vom Abstand r untersucht wird.
(7 BE)
1.2.0 Im Versuch 1.1 ergibt sich für Q1 = Q2 = +27 nC die folgende Meßreihe:
Messung Nr.
r in cm
FC in mN
1
2
3
4
4,0
4,0
5,0
2,6
6,0
1,8
7,0
1,4
1.2.1 Ermitteln Sie durch graphische Auswertung der Meßreihe die Abhängigkeit
→
des Betrags der Kraft FC vom Abstand r.
(5 BE)
1.2.2 Geben Sie diese Abhängigkeit in Form einer Gleichung an, und bestimmen
Sie die auftretende Proportionalitätskonstante k mit Hilfe des Diagramms
von 1.2.1.
(3 BE)
1.2.3 Berechnen Sie aus der Konstanten k die elektrische Feldkonstante.
(3 BE)
1.3.0 Im Vakuum befinden sich zwei
identische Metallkugeln (Masse
m = 0,50 g), welche die gleiche
Ladung Q tragen. Sie sind an
zwei gleich langen Fäden (Pendellänge = 1,0 m) befestigt und
an demselben Aufhängepunkt
angebracht. Auf die geladenen
Kugeln wirkt unter anderem die
Abstoßungskraft
→
→
F bzw. − F .
In der Gleichgewichtslage beträgt der Mittelpunktsabstand der Kugeln
d = 16 cm (s. Skizze). Die Abmessungen der Kugeln sind zu vernachlässigen.
Ph 96-16
1.3.1 Berechnen Sie – ausgehend von einem Kräfteplan, der die auf eine geladene Metallkugel einwirkenden Kräfte enthält – den Betrag der Abstoßungs→
→
kraft F bzw. − F . [Ergebnis: F = 0,39 mN]
(5 BE)
1.3.2 Berechnen Sie den Betrag der Ladung, die eine der beiden Kugeln trägt.
(3 BE)
2.0
An eine Schraubenfeder, für die
das Hooksche Gesetz gilt und
deren Masse unberücksichtigt
bleiben soll, wird ein Körper K der
Masse m gehängt. Ist K in der
Gleichgewichtslage, so ist die
Feder mit der Federkonstanten D
um 0 = 6,0 cm gedehnt. Der
Schwerpunkt des Körpers K
befindet sich dann im Nullpunkt
des Koordinatensystems.
Der massenlose Zeiger Z kennzeichnet in diesem Koordinatensystem die
Koordinate s der Elongation (s. Skizze 2.0).
Nun wird K um 4,0 cm angehoben und zum Zeitpunkt t0 = 0 s sich selbst
überlassen. Reibungsverluste sind zu vernachlässigen.
2.1
Zeichnen Sie einen Kräfteplan, der die auf den Körper K einwirkenden
Kräfte enthält, wenn sich K oberhalb des Nullpunkts O (0 cm < s ≤ 4,0 cm)
befindet (s. Skizze 2.0).
(2 BE)
Zeigen Sie, ausgehend von 2.1, durch allgmeine Rechnung, daß für die
Koordinate FRü der Rückstellkraft gilt: FRü = – D · s.
(5 BE)
Leiten Sie durch allgemeine Rechnung die Formel für die Periodendauer T
eines harmonisch schwingenden Federpendels aus dem linearen Kraftgesetz
her.
(6 BE)
2.4
Berechnen Sie die Periodendauer T dieser Schwingung.
[Ergebnis: T = 0,49 s]
(4 BE)
2.5
Ermitteln Sie, unter Berücksichtigung der bisherigen Daten, die Gleichung
der Elongation s(t) in Abhängigkeit von der Zeit.
Berechnen Sie den Zeitpunkt t1, bei dem die Elongation zum erstenmal
s1 = – 3,0 cm annimmt.
2.2
2.3
2.6
Ph 96-17
(3 BE)
(4 BE)
(50 BE)
Lösung
1.1
Versuch mit der Torsionsdrehwaage
An einem Instrumententräger (Einrichtung zur Befestigung von Spiegel, Kugel K1 und
Ausgleichsmasse) befinden sich oben und unten zwei Torsionsdrähte, die ihrerseits in
einem Gestell fest eingespannt sind. Die beiden Befestigungsstellen A und B liegen
dabei in einer Senkrechten. Die gleich großen Metallkugeln K1 und K2 befinden sich an
Isolierstäben, K1 kann sich dabei in einer waagrechten Ebene mit AB als Drehachse bewegen. In dieser Ebene befindet sich im Abstand r (Kugelmittelpunkte) die Kugel K2.
Dabei ist darauf zu achten, daß die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte senkrecht
auf dem Drehradius der Kugel K1 steht. Mit dem Lichtzeiger wird die Auslenkung aus
der Nullage sichtbar gemacht, sie ist ein Maß für den Betrag der wirkenden
Coulombkraft.
(Zusatzbemerkung:
– Die Kugeln dürfen nicht zu groß sein, da sonst die Ladungsmittelpunkte zu stark von
den Kugelmittelpunkten abweichen.
– Die möglichen Auslenkungen müssen auf kleine Werte beschränkt bleiben, da nur
dann Proportionalität zwischen Kraft und Auslenkung gegeben ist.)
Ph 96-18
1.2.1 Aus 1.0 ist zu entnehmen, daß FC in Abhängigkeit von
Messung Nr.
1
in 10 2 m −2
r2
FC in mN
1
2
3
4
6,3
4,0
2,8
2,0
4,0
2,6
1,8
1,4
Der Graph ist Teil einer Ursprungsgeraden
1
⇒
FC ~ 2
r
1
r2
∆FC
FC = k ⋅
1.2.2
⇒
k
=
∆
1
r2
Aus der Graphik entnimmt man z. B.
⇒
∆FC = 3,5 · 10–3 N
1
∆ 2 = 5,5 · 102 m–2
r
3, 5 ⋅ 10 −3 N
k=
5,5 ⋅ 10 2 m −2
k = 6,4 · 10–6 Nm2
Ph 96-19
1
r2
darzustellen ist.
1.2.3 Nach 1.0 und 1.2.0 gilt:
FC =
Q 2
1
⋅ 12
4 πε 0 r
⇒
FC =
Q 12 1
⋅
4 πε 0 r 2
⇒
ε0 =
Q 12
4πk
ε0 =
( 27 ⋅ 10 −9 As) 2
4 π ⋅ 6,4 ⋅ 10 −6 VAsm
ε 0 = 9 ,1 ⋅ 10 −12
also
k=
Q 12
4πε 0
(1 Nm2 = 1 Jm = 1 VAs · m)
As
Vm
1.3.1 Da die Ladung in Ruhe ist, muß gelten:
→
FG
→
→
→
+ F + FF = 0
Aus der Geometrie der Anordnung
entnimmt man:
d
2
d
=
2
0 ,16 m
sin ϕ =
2,0 m
⇒ ϕ = 4 ,6 sin ϕ =
Für F gilt dann:
F = FG ⋅ tan ϕ
m
⋅ tan 4 , 6 s2
N = 0 , 39 mN
F = 0 , 50 ⋅ 10 −3 kg ⋅ 9, 81
F = 0 , 39 ⋅ 10 −3
1.3.2 Aus F =
Q2
1
⋅ 2 erhält man:
4 πε 0 d
Q 2 = 4 πε 0 ⋅ d 2 ⋅ F
As
⋅ ( 0 ,16 m ) 2 ⋅ 0 ,39 ⋅10 −3 N
Vm
As ⋅ Nm
Q 2 = 1,1 ⋅10 −15
(1 Nm = 1 VAs)
V
Q = 3,3 ⋅ 10 −8 As
Q 2 = 4 π ⋅ 8,85 ⋅10 −12
⇒
Ph 96-20
2.1
→
Die Federkraft FF wirkt stets nach
→
oben, die Gewichtskraft FG stets
nach unten. Oberhalb der Nullage gilt
stets:
→
FF
2.2
→
< FG
→
Für die Rückstellkraft FRü gilt:
→
→
→
FRü = FF + FG
→
→
→
Die Kräfte sind parallel gerichtet, FG ist konstant, FF und damit FRü sind während
der Schwingung zeitabhängig.
Man kann also schreiben:
→
→ 
→
FRü ( t ) = FF ( t ) − FG
 FF ↑ ↓ FG 


⇒
FRü ( t ) = D ⋅ ( 0 − s ( t )) − m ⋅ g
(0 – s(t) ist die zeitabhängige Dehnung der Schraubenfeder)
FRü ( t ) = D ⋅ 0 − D ⋅ s( t ) − m ⋅ g
mit D ⋅ 0 = m ⋅ g (folgt aus der Nullage) erhält man:
FRü ( t ) = − D ⋅ s( t )
oder unter Berücksichtigung des angegebenen Koordinatensystems:
FRü = − D ⋅ s
(FRü und s sind dabei keine Beträge, sondern Koordinaten eindimensionaler Vektoren).
2.3
→
FBeschl
Es gilt:
bzw.
→
= FRü
m · a(t) = –D · s(t)
Für eine harmonische Schwingung mit s(t) = A · sin(ωt + ϕ0) gilt außerdem:
a ( t ) = (
s t)
= − Aω 2 ⋅ sin( ωt + ϕ 0 ) = − ω 2 ⋅ s ( t )
2
⇒ m ⋅ ( − ω ⋅ s ( t )) = − D ⋅ s ( t )
⇒ m ⋅ω2
= D
Ph 96-21
Mit ω =
2π
T
ergibt sich:
T = 2π
2.4
m
D
Es ist zunächst weder m noch D bekannt. Aus den Angaben läßt sich jedoch D
bestimmen. Es gilt (siehe auch 2.2):
D⋅0 = m ⋅g
m⋅g
⇒ D
=
0
Setzt man in die Beziehung für die Schwingungsdauer ein, so erhält man:
T = 2π
⇒
T = 2π
m
m⋅g
0
0
g
Die Masse m kürzt sich also heraus. Damit ergibt sich:
0 ,060 m
T = 2π
= 0 ,49 s
9 ,81 m2
s
2.5
Allgemein gilt: s(t) = A · sin(ω t + ϕ0)
Aus 2.0 entnimmt man:
A = 4, 0 cm
π
ϕ0 =
2
2π
2π
ω=
=
Für ω gilt:
( = 13 s −1 )
0 , 49 s
T
⇒
 2π
π
s ( t ) = 4 , 0 cm ⋅ sin 
⋅t + 
 0 , 49 s
2
oder
 2π

s ( t ) = 4 , 0 cm ⋅ cos 
⋅ t
 0 , 49 s 
(Bei der gegebenen Genauigkeit ist es zweckmäßiger, den Wert für ω in der angegebenen Form zu verwenden).
Ph 96-22
2.6
Es soll gelten:

 2π
–3,0 cm = 4, 0 cm ⋅ cos 
⋅ t1 
 0 , 49 s 
⇒
⇒
⇒
 2π

cos 
⋅ t 1  = – 0,75
 0 , 49 s 
2π
⋅ t 1 = 2,42
0 , 49 s
t1 = 0,19 s
Ph 96-23

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