Lösungen

Lösungen
Lösung 13
1. y = 3x + 2
2. Fall 1 a ̸= c: Die Geraden schneiden sich im Punkt
!
d−b ad−bc
a−c , a−c
"
.
Fall 2 a = c und b = d: Die Geraden schneiden sich nicht, sondern fallen aufeinander.
Fall 3 a = c und b ̸= d: Die Geraden schneiden sich nicht, sondern sie sind parallel.
3. (a) Es gibt nur die eine Lösung (x, y) = (2, 1), (b) es gibt keine Lösung, (c) es
gibt unendlich viele Lösungen, sie haben die Form (x, −3x + 6).
4. (a) Die Lösungsmenge ist eine Gerade, gegeben durch die Gleichung x + z = 1
wobei y = 0.
(b) Es gibt keine Lösung.
(c) Die Lösungsmenge ist eine Ebene, gegeben durch 2x + y + z = 1.
5. (x, y, z) = (−2, 2, 3)
√
√
6. (a) (3, 3, 3), (b) (−1, 1, 5), (c) 0, (d) (3, 6, 12), (e) 21 (f) 3 21 und
⎛ 1 ⎞
⎛ 2 ⎞
√
√
√4
21
−1
√
6
⎜ 21 ⎟
⎜ 6⎟
(g) ⎝ √221 ⎠ und ⎝ √16 ⎠
7.
⎛ ⎞
)
)
)
)
a1
)
) )⎛
⎞)
⎝a2 ⎠
)
) ) √ 2 a1 2 2 )
) ) )
) )
a1 +a2 +a3 )
) ⃗a ) )
⎟)
) ) ⎜ √ a2
a3
) ) = )*
⎟)
) )⎜
) |⃗a| ) ) a2 + a2 + a2 ) = )⎝ a21 +a22 +a23 ⎠)
)
)
) √ a3
1
2
3)
)
)
) )
a21 +a22 +a23
)
)
)
)
+
a22
a23
a21
+ 2
+ 2
=
2
2
2
2
2
a1 + a2 + a3
a1 + a2 + a3
a1 + a22 + a23
+
a21 + a22 + a23
=
=1
a21 + a22 + a23
8. Es gibt unendlich viele solche Vektoren, z.B. (3, 2, 0)
9. (10, 3)
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10. Die Koordinaten der 8 Ecken sind: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1),
(1, 0, 1), (0, 1, 1) und (1, 1, 1).
√
11. 35
Lösung 14
1. (a)
, - , , x
0
1
=
+t
y
3
2
(b) 5y − 8x + 11 = 0
2. (a) t = 3, (b) geht nicht, P liegt nicht auf g.
3. (14, 9)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
x
3
−1
4. (a) ⎝y ⎠ = ⎝1⎠ + t ⎝ 6 ⎠
z
4
4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
x
7
1
(b) ⎝y ⎠ = ⎝−2⎠ + t ⎝0⎠
z
3
0
5. (a) g schneidet die yz-Ebene in (0, 3, −3).
(b) h schneidet die xy-Ebene nirgends.
6. (a) g und h schneiden sich in (−1, 8, 4).
(b) g und h beschreiben dieselbe Gerade
(c) g und h sind windschief
(d) g und h sind zueinander parallel
Lösung 15
1. (a) (8, 1, −3) und (2, 13, 12); (b) (−2, 13, 10) liegt nicht in der Ebene, (6, 5, 2)
liegt darin; (c) x = 9; (d) 6x − 7y + 8z − 17 = 0; (e) Man lerne, dass manche
Sachen mit Koordinatendarstellung viel schneller lösbar sind!
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
x
0
8
3
2. z.B. ⎝y ⎠ = ⎝7⎠ + t ⎝−7⎠ + s ⎝−5⎠ .
z
8
−1
−2
3. Die Punkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen.
4. Ja, das Viereck ist eben.
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5. x − 2y + z − 7 = 0
6. Die Achsen durchstossen die Ebene in den Punkten (−6, 0, 0), (0, −4, 0) und
(0, 0, 12).
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
x
1
2
7. z.B.⎝y ⎠ = ⎝2⎠ + t ⎝−5⎠
z
0
−3
Lösung 16
1. 5x + 3y − 4z = −10
2. 5x − 3y + z = 4
3. (a) 2x − 7y = 12, (b) 3x − z = 0, (c) 4x − 3y − 18z = −1
4. (a) 78.6◦ und (b) 45◦
5. sinϕ =
⃗
a·⃗
n
|⃗
a|·|⃗
n|
6. xQ = −8
7. Der Fusspunkt hat die Koordinaten (1, 14, 8).
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