Jahrgangsstufen 8 - Q2 - Gymnasium an der Schweizer Allee

Liebe Schülerin,
lieber Schüler,
du bist an Mathe interessiert und hast Spaß zu tüfteln und
zu kombinieren? Dann ist der Mathematik-Wettbewerb
2016/17 für dich eine Möglichkeit, dir selbst und anderen
dein Können zu beweisen. Zusätzlich kannst du noch
attraktive Preise gewinnen, z. B. die Teilnahme an einer
mathematischen Sommer-Akademie!
Hier die „Spielregeln“:
Runde 1
In der Zeit bis zum 27.09.2016 sollen die gestellten Aufgaben gelöst werden. Um in die 2. Runde zu kommen,
hat es in den vorhergehenden Wettbewerben in der Regel
ausgereicht, wenn die Hälfte der Aufgaben richtig gelöst
war. Deine Lösung (mit der Schilderung der Lösungsansätze und der Lösungswege, nicht der Rechenschritte) schickst du bitte zusammen mit dem ausgefüllten, abgetrennten Abschnitt (Erklärung, siehe rechts) bis
zum 27.09.2016 (Poststempel) an das:
Immanuel-Kant-Gymnasium
MATHE
WETTBEWERB
Zur Erleichterung der Korrektur wäre es nett,
wenn Du Deine Lösungen mit der Erklärung (siehe unten) zusammenheftest. Die Arbeiten sollten
nach Möglichkeit nicht in Klarsichthüllen oder
Schnellheftern abgegeben werden.
2016/17
Vielen Dank!
(Name, Anschrift mit Hausnummer und Schule
bitte in Druckschrift schreiben. Diese Daten werden benötigt, um Dich über das Weiterkommen
zu informieren!!!)
........................................................................
Stichwort: „Mathematik-Wettbewerb“
Erklärung
Grüningsweg 42 - 44
44319 Dortmund
Nach den Herbstferien werden wir im Internet die Namen
der Teilnehmer der 2. Runde veröffentlichen. Du erhältst
anschließend zusätzlich per Post Nachricht, ob du an der
Runde 2 teilnehmen kannst, die am 12.11.2016 um 10.00
Uhr voraussichtlich im Immanuel-Kant-Gymnasium in
44319 Dortmund (Asseln) stattfindet.
An alle Schülerinnen und Schüler mit Team-Geist!
Ich erkläre hiermit, dass ich die Aufgaben ohne
fremde Hilfe gelöst habe.
Teilnahme am letzten Mathematikwettbewerb:
O JA
O NEIN
VORNAME: ...............................................................
NAME:
Vierundzwanzigster
Mathematikwettbewerb
für Dortmunder
Schülerinnen und Schüler
der Klassen 8 bis 13 !
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Die Aufgabenstellung findest du auch im Internet unter
der Adresse:
SCHULE:
................................................................
www.Dortmunder-Mathematikwettbewerb.de
KLASSE:
..........
Organisatoren: Geschwister-Scholl-Gesamtschule
Goethe-Gymnasium
Gymnasium an der Schweizer Allee
Immanuel-Kant-Gymnasium
Mallinckrodt-Gymnasium
Reinoldus- und Schiller-Gymnasium
Bach-Grundschule
Holte-Grundschule
Libori Grundschule
DATUM:
............................
Sponsor:
In diesem Jahr kann wieder im Schulteam um den tollen
Wanderpokal der Schulen (derzeit am Gymnasium an der
Schweizer Allee) gerungen werden. Die Gesamtpunktzahl
der Bestplatzierten einer Schule entscheidet, wohin der
Pokal wandert.
STRASSE: ................................................................
PLZ:
.......................
DORTMUND
TELEFON: 0231 / …………......................................
UNTERSCHRIFT: ......................................................
Altersgruppe Klasse 8
Ermittle das Verhältnis von Ankreisradiuslänge R zu Inkreisradiuslänge r.
Aufgabe 1
Frank hatte 10 verschlossene, nummerierte Kästen vor sich
auf dem Tisch. Die Kästen waren, wie in der Abbildung dargestellt, kreisförmig angeordnet.
Altersgruppe Klasse
10 und Einführungsphase
Aufgabe 1
siehe Klasse 9 Aufgabe 1
Aufgabe 2
Beweise, dass sich ein gleichseitiges Dreieck stets restlos so
in vier Teildreiecke zerlegen lässt, dass drei der vier Teildreiecke rechtwinklig sind und ein Teildreieck gleichseitig ist.
Aufgabe 3
siehe Klasse 9 Aufgabe 3
Altersgruppe Qualifikationsphase
Hinweis: Es ist nicht zulässig, Messwerte zum Ermitteln der
Lösung zu verwenden.
„Was machst du denn da?“, fragte sein Freund Sven neugierig. Frank erklärte ihm: „Ich habe in irgendeinen dieser Kästen
einen Zettel mit der Zahl 1 gelegt. Dann habe ich in den im
Uhrzeigersinn nächsten Kasten einen Zettel mit der Zahl 2
gelegt, wieder in den dann im Uhrzeigersinn nächsten Kasten
einen Zettel mit der Zahl 3 und so fort, bis ich in den letzten
Kasten einen Zettel mit der Zahl 10 gelegt habe. Wenn du mir
jetzt sagen kannst, in welchem Kasten der Zettel mit deiner
Glückszahl 7 liegt, dann bist du ein Hellseher.“
„Du könntest mir wenigstens sagen, bei wie vielen Kästen die
Kastennummer mit der Zahl auf dem Zettel im Innern des
Kastens übereinstimmt“, meinte Sven.
„Das geht leider nicht. Denn würde ich dir dies sagen, dann
wüsstest du, in welchem Kasten der Zettel mit der Zahl 7
liegt.“ Nach dieser Aussage konnte Sven nach einigem Nachdenken den richtigen Kasten benennen.
Welche Kastennummer hat Sven angegeben?
Erläutere, wie Sven seine korrekte Antwort hergeleitet haben
könnte.
Aufgabe 2
Ermittle alle durch 72 teilbaren, sechsstelligen natürlichen
Zahlen, die folgende Bedingung erfüllen:
Trennt man die Zahl nach der zweiten und vierten Ziffer auf,
dann verhalten sich die drei so von links nach rechts gebildeten zweistelligen Zahlen in dieser Reihenfolge wie 1 : 2 : 3.
Aufgabe 3
In der Abbildung (in der nächsten Spalte) ist ein gleichseitiges
Dreieck ABC mit seinem Inkreis und einem der drei Ankreise
dargestellt.
Aufgabe 1
Man bestimme alle reellen Zahlen x, y, die das Gleichungssystem
(1)
(2)
Altersgruppe Klasse 9
Aufgabe 1
Nach einer Aufgabe aus einem alten Mathematikbuch:
Die beiden Läufer Anton und Bernd machen ein Wettrennen
auf einer 800 Meter langen Bahn. Wenn Bernd vom schnelleren Anton einen Vorsprung von 30 Metern bekommt, dann ist
Anton 2,0 Sekunden früher am Ziel als Bernd. Wenn Bernd
von Anton hingegen einen Vorsprung von 50 Metern bekommt, dann ist Anton 1,2 Sekunden später am Ziel als
Bernd.
Ermittle die Geschwindigkeit von Anton und die von Bernd in
Metern pro Sekunde auf zwei Nachkommastellen genau.
Hinweis: Bernd läuft beide Male mit der gleichen, konstanten
Geschwindigkeit, ebenso Anton.
√ − 2016 +
− 56 = 11
+ = 2193
erfüllen.
Aufgabe 2
Im Kreis sind der Mittelpunkt, die Strecke
ein Durchmesser und ein Punkt auf der Kreislinie, der von und von
verschieden ist. Das Dreieck
ist außerdem gleichschenklig. Der Radius
steht außerhalb des Dreiecks
senkrecht; siehe Abbildung.
auf dem Durchmesser
Man beweise, dass der Inkreis des Dreiecks
und die
Kreise, die den Durchmesser
, den Radius
und den
Kreis berühren, gleichen Radius haben.
Aufgabe 2
siehe Klasse 8 Aufgabe 3
Aufgabe 3
Wir betrachten die Funktion ( ) = · | | − 2 .
a) Zeichne den Graph der Funktion f in einem rechtwinkligen
Koordinatensystem.
b) Bestimme durch Argumentieren anhand des Graphen
dieser Funktion diejenigen reellen
Zahlen , für welche die Gleichung · | | − 2 = genau
zwei verschiedene Lösungen für hat.
Hinweis: Das Ablesen von Werten aus der Zeichnung
führt höchstens zu einer Vermutung, deren Korrektheit
dann aber noch begründet werden muss.
Aufgabe 3
In der Eisdiele „Parabolo“ gibt es als Attraktion das Eis in
Waffeln einer besonderen Form. Diese entsteht, indem der
Graph der Parabel =
mit > 0 um die y-Achse rotiert
wird. Der Betreiber möchte eine Eiskugel so in die Waffel
füllen, dass sie diese im tiefsten Punkt berührt.
Man ermittle alle möglichen Radien der Eiskugel in Abhängigkeit vom Parameter a.

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