統計力学I試験問題略解

統計力学Ｉ試験問題略解
1. (a)
)
N
2
∑
p
i
d3 p1 ...
d3 pN exp −β
d3 q 1 ...
d3 q N
2m
V
V
−∞
−∞
i=1
(
)
(
∫
∫
2 )
∞
∞
3N
2
p
V
p
1y
dp1y exp −β
=
dp1x exp −β 1x
3N
N !h
2m
2m
−∞
) ∫ ∞ −∞
)
(
(
∫ ∞
2
2
p
p
×
dp1z exp −β 1z ...
dpN x exp −β N x
2m
2m
−∞
−∞
(
)
(
)
(√
)3N
∫ ∞
∫
∞
p2N y
p2N z
VN
2πm
×
dpN y exp −β
dpN z exp −β
=
2m
2m
N !h3N
β
−∞
−∞
(
)
3N/2
V N 2πmkB T
F (T, V ) = −kB T ln Z(T, V ) = −kB T ln
N!
h2
(
)3/2
V e 2πmkB T
≃ −N kB T ln
N
h2
1
Z=
N !h3N
∫
∫
∫
∞
∫
∞
(
(b)
[
(
)]
2πm
∂
∂
VN
3N
U =−
ln Z = −
ln
+
ln
∂β
∂β
N !h3N
2
β
(
)
2πm
3N
3N ∂
ln
=
=−
2 ∂β
β
2β
∂U 3N kB
CV =
=
∂T V
2
(c)
∂F N kB T
P =−
=
∂V T
V
(d)
(
)
(
)3/2
∂F V e 3N kB
2πemkB T
V e 2πemkB T
= N kB ln
+
ln
= N kB ln
S=−
∂T V
N
2
h2
N
h2
この表式では T が十分小さいときはエントロピーが負になってしまう。
これが起きるのは kB T に相当するエネルギーのドブロイ波長が粒子間
隔程度になるときであり、量子効果（波動関数の重なり）が重要になる
ので古典的な取り扱いが破綻していると考えられる。
2. (a)
i.
Z=
1 ∑
1
∑
....
n1 =0 n2 =0
=
N
∏
i=1
(
1
∑
1
∑
{
exp −β
nN =0
}
E ni
=
1 ∑
1
∑
....
n1 =0 n2 =0
i=1
)
exp(−βEni )
N
∑
1 ∏
N
∑
exp {−βEni }
nN =0 i=1
= (1 + exp(−βϵ))N
ni =0
ii.
∂
∂
ln Z = − N ln(1 + exp(−βϵ))
∂β
∂β
N ϵ exp(−βϵ)
Nϵ
=
=
1 + exp(−βϵ)
1 + exp βϵ
U (T ) = −
(
)(
)
∂U
∂
Nϵ
1
N ϵ2 exp βϵ
C(T ) =
=
= −
−
∂T
∂T 1 + exp βϵ
kB T 2
(1 + exp βϵ)2
ϵ2
N
ϵ2
N
=
(
(
))2 =
βϵ
kB T 2
4kB T 2
βϵ
βϵ
cosh2
exp
+ exp −
2
2
2
iii.
低温極限 kB T ≪ ϵ (βϵ ≫ 1)
C(T ) ≃
C/NkB
Schottky型比熱
N
ϵ2
N ϵ2 −βϵ0.4
=
e
(
)
2
kB T 2
kB T 2
βϵ
exp
2
(1)
0.2
2
高温極限 kB T ≫ ϵ (βϵ ≪ 1)
∼1/T
−ε/kBT
∼e
C(T ) ≃
(b)
N ϵ2
4kB T 2
(2)
0
0
1
2
kBT/ε
i. 1)
Z = (e−β(ϵ+gµB H) + e−β(ϵ−gµB H) + e−βϵ + 1)N
F = −N kB T ln(e−β(ϵ+gµB H) + e−β(ϵ−gµB H) + e−βϵ + 1)
e−β(ϵ+gµB H) − e−β(ϵ−gµB H)
∂F
= −N gµB −β(ϵ+gµ H)
B
∂H
e
+ e−β(ϵ−gµB H) + e−βϵ + 1
−βϵ −βgµB H
−βgµB H
2N gµB e−βϵ sinh βgµB H
N gµB e (e
−e
)
=
−
= − −βϵ βgµ H
e (e B + e−ηgµB H + 1) + 1
e−βϵ (2 cosh βgµB H + 1) + 1
M =−
2)
gµB H ≪ kB T では M ≃ −N gµB e−βϵ
χ=
N (gµB )2 2
kB T 3 + eβϵ
−βgµB H
3e−βϵ + 1
χ E0/N(gµB)
2
3) 高温
χ≃
N (gµB )2
2kB T
0.5
低温
χ≃
2N (gµB )2 −βϵ
e
kB T
0
0
2
4 kBT/E0
ii. 1)
∫
(gµB )2 ∞
2
χ=
N P (ϵ)dϵ
kB T 0 3 + eβϵ
∫
∫
N (gµB )2 E0
N (gµB )2 βE0 2
2
=
dϵ =
dx
E0 kB T 0 3 + eβϵ
E0
3 + ex
0
χ E0/N(gµB)
2) 高温
χ≃
2
N (gµB )2
1
N (gµB )2
βE0 =
E0
2
2kB T
低温
∫
N (gµB )2 ∞ 2
dx ∝ const.
χ≃
E0
3 + ex
0
∫ ∞
2
dx ≃ 0.9242
3 + ex
0
0.5
0
0
2
4 kBT/E0

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