Übung 13 - Universität zu Köln

Institut für Theoretische Physik
Universität zu Köln
Prof. Dr. A. Rosch
Dr. J. Lux
TPII (Quantenmechanik) — Übungsblatt 13
http://www.thp.uni-koeln.de/~lux/QMSS16/
Abgabe:
Sommersemester 2016
Mittwoch, 20. Juli 2016
1. Zwei-Teilchen Wellenfunktion (6 Punkte)
Zwei identische Teilchen bewegen sich frei mit Impuls p1 und p2 entlang der x-Achse.
a) Wie lautet die Zwei-Teilchen Wellenfunktion, φF/B (x1 , x2 ), für fermionische (F) und
bosonische (B) Teilchen?
b) Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeitsdichte |φF/B (x1 , x2 )|2 . Bestimmen Sie deren Abhängigkeit von den Differenzen δx = x1 − x2 und δp = p1 − p2 und diskutieren
Sie die beiden Grenzfälle δx → 0 und δp → 0.
Zum Vergleich: Für zwei unterscheidbare Teilchen mit den jeweiligen Impulsen p1 und p2 ist die
Wellenfunktion gegeben durch φ(x1 , x2 ) = ei(p1 x1 +p2 x2 )/~ und damit |φ(x1 , x2 )|2 = 1.
2. Drei-Teilchen Wellenfunktion (8 Punkte)
Betrachten Sie ein Potentialkasten der Länge L
(
0
für |x| < L/2
V (x) =
∞ für |x| > L/2
(1)
und den Ein-Teilchen Hamilton-Operator
Ĥ1 =
p̂2
+ V (x̂).
2m
(2)
a) Bestimmen Sie zunächst die Eigenenergien und Eigenfunktionen für ein Teilchen im
Potential V (x).
Nun betrachten Sie drei Teilchen im Potential V . Der Hamilton-Operator lautet nun
Ĥ3 =
p̂21
p̂2
p̂2
+ 2 + 3 + V (x̂1 ) + V (x̂2 ) + V (x̂3 ).
2m 2m 2m
(3)
Da es keine Wechselwirkung gibt, können die Viel-Teilchen Eigenfunktionen aus den Ein-Teilchen
Eigenfunktionen konstruiert werden.
b) Betrachten Sie zunächst drei Bosonen. Welche Ein-Teilchen Zustände sind im Grundzustand wie oft besetzt? Wie lautet die symmetrisierte Wellenfunktion und die Energie
des Drei-Bosonen Grundzustandes?
c) Betrachten Sie nun drei spinlose Fermionen. Welche Ein-Teilchen Zustände sind im
Grundzustand wie oft besetzt? Wie lautet die anti-symmetrisierte Wellenfunktion und
die Energie des Drei-Fermionen Grundzustandes?
1
3. Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon (6 Punkte)
Betrachten Sie zwei Teilchen, die jeweils einen Spin− 12 tragen mit Spin-Operatoren Ŝ1 und Ŝ2 .
Der Spin-Anteil der Wellenfunktion sei gegeben durch einen Singulett Zustand
1
|Ψi = √ (| ↑↓i − | ↓↑i) .
2
(4)
Die Spins in diesem Zustand werden von Alice und Bob gemessen, wobei man annimmt, dass
Alice und Bob weit entfernt voneinander sind und Alice nur den ersten Spin und Bob nur
den zweiten Spin erhält. Alice misst zuerst den Spinzustand des ersten Teilchens in Richtung
e = (sin θ, 0, cos θ), d.h, sie misst den Operator e · Ŝ1 .
a) Wie lautet die nach der Messung kollabierte Wellenfunktion |Ψ̃i, nachdem Alice den
Messwert ~2 oder − ~2 erhält?
b) Was wird Bob mit welcher Wahrscheinlichkeit in einer darauf folgende Messung des
Spinzustandes des zweiten Teilchens mit Spinoperator Ŝ2z bezüglich der z−Achse messen?
Anmerkung: Auf den ersten Blick hat es den Anschein als würde die Tatsache, dass Alice den
Spin in eine bestimmte Richtung gemessen hat, das Ergebnis der Messung von Bob beinflussen.
Einstein sprach in diesem Zusammenhang von einer “spukhaften Fernwirkung“ und stellte in
einer berühmten Arbeit mit Podolsky und Rosen die Frage, ob die Quantenmechanik die Wirklichkeit vollständig beschreiben kann. Wichtig ist die Beobachtung, dass durch die Messung keine
Information von Alice zu Bob übertragen wird, d.h. Bob kann selbst bei häufiger Wiederholung
des Experiments nicht aus seiner Messung herausfinden, in welche Richtung Alice gemessen hat
(sonst könnte man Information mit Überlichtgeschwindigkeit bertragen). Eine genauere Analyse
des Experiments (unter Verwendung der sogenannten Bell’schen Ungleichung) zeigt, dass man
mit klassischen Wahrscheinlichkeiten und nur lokalen Wechselwirkungen das Experiment nicht
erklären kann.
2

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