1. kgV und ggT - Hesse/Schrader

Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
1. kgV und ggT
(Buch Seite 7 – 9)
Aufgabe 1
27 :
66 :
72 :
kgV
2⋅
2⋅2⋅2⋅
2⋅2⋅2⋅
3⋅3⋅3
3⋅
3⋅3
3⋅3⋅3⋅
11
11
= 2376
13
13
= 624
Aufgabe 2
3:
12 :
16 :
52 :
kgV
2⋅2⋅
2⋅2⋅2⋅2
2⋅2⋅
2⋅2⋅2⋅2⋅
3
3
3⋅
Aufgabe 3
Bei einer Umdrehung des kleinen
Zahnrades durchwandern 72 Zähne die
Ausgangsstellung, ehe es wieder in seiner
Ausgangsposition angelangt ist.
Bei einer Umdrehung des großen
Zahnrades durchwandern 96 Zähne die
Ausgangsstellung, ehe es wieder in seiner
Ausgangsposition angelangt ist.
Gesucht ist nun das kgV beider:
72 : 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅
3⋅3
96 :
2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅ 3
kgV 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 288
D.h. wenn 288 Zähne jedes Zahnrades die Ausgangsstellung durchwandert
haben, sind beide Räder wieder in der Ausgangsposition.
Das ergibt für das
-
Teil I
288
= 3 Umdrehungen
96
288
kleine Zahnrad:
= 4 Umdrehungen
72
große Zahnrad:
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Hesse/Schrader
Aufgabe 4
Als erstes suchen wir die Zeit, wo alle 3 Läufer wieder gleichzeitig die Startlinie
überqueren ⇒ wir bilden das kgV von 5, 6 und 12 Minuten:
5:
6:
12 :
kgV
5
2⋅
2⋅2⋅
2⋅2⋅
3
3
3⋅
5
= 60
Nach 60 Minuten überlaufen alle gleichzeitig die Startlinie. Das ergibt in Runden
für
- Läufer A:
60
= 12 Runden
5
-
Läufer B:
60
= 10 Runden
6
-
Läufer C:
60
= 5 Runden
12
Aufgabe 5
Wie lange dauert eine Schwingung eines jeden Pendels?
60s
= 3, 75s
16
60s
Pendel B:
= 1,5s
40
Pendel A:
Nach welcher Zeit befinden sich nun beide Pendel wieder in der
Ausgangsstellung? ⇒ kgV bilden von 3,75 und 1,5. Da sich von Dezimalzahlen
schlecht das kgV bilden lässt, multiplizieren wir beide Werte mit 100:
3, 75 ⋅100 = 375
1,50 ⋅100 = 150
375 :
150 :
kgV
2⋅
2⋅
3⋅
3⋅
3⋅
5⋅5⋅5
5⋅5
5⋅5⋅5
= 750
Dieser Wert muss nun wieder durch 100 dividiert werden:
750
= 7,5s
100
Teil I
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Hesse/Schrader
Aufgabe 6
120 :
330 :
132 :
ggT
2⋅2⋅2⋅
2⋅
2⋅2⋅
2⋅
3⋅
3⋅
3⋅
3
5
5⋅
11
11
=6
Aufgabe 7
216 :
120 :
300 :
4290 :
2⋅2⋅2⋅
2⋅2⋅2⋅
2⋅2⋅
2⋅
2⋅
3⋅3⋅3
3⋅
3⋅
3⋅
3
5
5⋅5
5⋅
11⋅
13
=6
Aufgabe 8
Um die maximale Größe einer Platte bestimmen zu können, bilden Sie den ggT
von 100m und 144m :
100 :
144 :
2⋅2⋅
2⋅2⋅2⋅2⋅
2⋅2
3⋅3
5⋅5
=4
Die maximale Seitenlänge einer Platte beträgt also 4 Meter. ⇒ Die Platten sind 4
x 4 Meter groß.
Aufgabe 9
Bilden Sie den ggT von 120 cm und 150 cm, um die Länge eines Zaunelements
zu berechnen:
120 :
150 :
2⋅2⋅2⋅
2⋅
2⋅
3⋅
3⋅
3⋅
5
5⋅5
5
= 30
Ein Zaunelement ist also 30 cm lang.
Umfang des Geheges:
2 ⋅120cm + 2 ⋅150cm = 540cm
Anzahl Zaunelemente:
540cm
= 18 Zaunelemente
30cm
Teil I
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Aufgabe 10
Bilden Sie den ggT von 180 cm und 420 cm:
180 :
420 :
2⋅2⋅
2⋅2⋅
2⋅2⋅
3⋅3⋅
3⋅
3⋅
5
5⋅
5
7
= 60cm
Die Teilstücke sind 60 cm lang.
2. Bruchrechnung
(Buch Seite 10 – 14)
Aufgabe 1
4 Jahre = 4 ⋅12 Monate = 48 Monate
1
48 Monate ⋅ = 2 Monate
24
Aufgabe 2
1 1 6 2 1 3 1
1− − = − − = =
3 6 6 6 6 6 2
Aufgabe 3
3 Jahre = 3 ⋅12 Monate = 36 Monate
1 1
36 Monate ⋅ = Monat
72 2
Aufgabe 4
X – Länge des längeren Stückes
3
X + X = 35m
4
7
X = 35m
4
X = 20m
⋅
4
7
Das kürzere Stück ist also 35m − 20m = 15m lang.
Teil I
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Hesse/Schrader
Aufgabe 5
Läufer 1 läuft die gesamte Strecke in der Zeit t:
100
L1 =
=1
100
Läufer 2 läuft
L2 =
9
der Strecke in der Zeit t:
10
90
9
=
100 10
Läufer 3 schafft nur
9
der Strecke, die Läufer 2 geschafft hat in der Zeit t:
10
9 9
81
, d.h. Läufer 3 schafft lediglich 81 Meter in der Zeit t, er ist also
⋅ =
10 10 100
19 Meter vom Ziel entfernt, als Läufer 1 im Ziel ankommt.
L3 =
Aufgabe 6
A – Gewicht der ersten Ente
1 ⎞ ⎛
1
1⎛
1 ⎞⎞
⎛
A + ⎜ A + A ⎟ + ⎜ A + A − ⎜ A + A ⎟ ⎟ = 10kg
N
3 ⎠ ⎝
3
4⎝
3 ⎠⎠
⎝
1. Ente
2. Ente
3. Ente
Auflösen nach A:
1
3 A = 10kg
3
A = 3kg
:3
1
3
Ente 1:
A = 3kg
Ente 2:
1
B = A+ A
3
1
= 3kg + ⋅ 3kg = 4kg
3
Ente 3:
1
C = B− B
4
1
= 4kg − ⋅ 4kg = 3kg
4
Teil I
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Hesse/Schrader
Aufgabe 7
1
3
⋅ 21 Jahre = 1 Jahre
12
4
Aufgabe 8
X – Autopreis
1
3
X + X = 8500€
3
8
17
X = 8500€
24
X = 12000€
24
17
⋅
Aufgabe 9
X – Verkaufspreis
1
X
3
X = 75€
25€ =
⋅3
Aufgabe 10
2
⋅ 50€ = 20€
5
Aufgabe 11
X – gesamte Ölmenge
1
⋅ X = 2500l
600
X = 1500000l
⋅600
Aufgabe 12
1 2 7 10 17
+ = +
=
5 7 35 35 35
Klaus spart monatlich
Teil I
17
seines Taschengeldes.
35
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Hesse/Schrader
Aufgabe 13
1
4
5
427
858
29
kg +
kg + kg
142 kg + 122 kg + 2 kg =
3
7
12
3
7
12
427 ⋅ 28
858 ⋅12
29 ⋅ 7
=
kg +
kg +
kg
3 ⋅ 28
7 ⋅12
12 ⋅ 7
11956
10296
203
=
kg +
kg +
kg
84
84
84
22455
9
=
kg = 267 kg
84
28
Aufgabe 14
A – Länge der Autorennstrecke
M – Länge der Motorradrennstrecke
T – Länge der Truckerrennstrecke
(I )
( II )
1
2
M = A− A = A
3
3
1
6
T =M + M = M
5
5
Einsetzen von Gleichung (I) in Gleichung (II) liefert:
6 2
4
T = ⋅ A= A
5 3
5
Aufgabe 15
N – Nettoverdienst
B – Bruttoverdienst
W – Wohnungsmiete
2
N = ⋅B
3
1
W = ⋅N
3
2
1
B− N
3
3
2
1 2
4
= B− ⋅ B = B
3
3 3
9
N −W =
Teil I
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Hesse/Schrader
Aufgabe 16
12 7
5
− =
12 12 12
5
5
⋅1h = ⋅ 60 min = 25 min
12
12
Aufgabe 17
1
1
4
1
1 m− m = m− m
3
4
3
4
16
3
= m− m
12
12
13
1
= m =1 m
12
12
Aufgabe 18
1
2
413 ⋅ 230 2
103 m ⋅ 76 m =
m
4
3
4⋅3
94990 2
5
=
m = 7915 m 2
12
6
Aufgabe 19
1
5
25
Breite = 1 m = m = dm
4
4
2
1
33
Tiefe = 4 dm = dm
8
8
1
147
Wasserhöhe = 75 cm − 2cm =
dm
2
20
V = B ⋅T ⋅ H
25 ⋅ 33 ⋅147 3
63
63
dm = 378 dm3 = 378 l
=
2 ⋅ 8 ⋅ 20
64
64
Teil I
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Hesse/Schrader
Aufgabe 20
Bande A erhält
2
2
= der Beute. Damit erhält jeder Räuber der Bande A
2+3 5
2
2
2
5
der Beute.
=
=
5 Mitglieder 5 ⋅ 5 25
Bande B erhält
3
3
= der Beute. Damit erhält jeder Räuber der Bande B
2+3 5
3
3
3
5
der Beute.
=
=
7 Mitglieder 5 ⋅ 7 35
Aufgabe 21
2
1
62
5
Breite = 12 m 2 : 2 m = m 2 : m
5
2
5
2
62 2
124
24
= ⋅ m=
m=4 m
5 5
25
25
Aufgabe 22
X – Seitenlänge der Grundfläche
1
1
X 2 ⋅ 6 cm = 128 cm3
3
4
19 513 2
3
⋅
X2⋅ =
cm
3
4
19
513 ⋅ 3 2
X2 =
cm
4 ⋅19
1539 2
=
cm
76
81
= cm 2
4
81 2
81
9
1
X=
cm =
cm = cm = 4 cm
4
2
2
4
Aufgabe 23
3
3 1 3 ⋅1
3
m: 4 = m⋅ =
m= m
4
4 4 4⋅4
16
Teil I
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Hesse/Schrader
Aufgabe 24
3
3
43
64 3
10
⎛ 1
⎞ ⎛4⎞
3
1
dm
=
dm
=
dm3 =
dm = 2 dm3
⎜
⎟ ⎜ ⎟
3
3
27
27
⎝ 3
⎠ ⎝3⎠
Aufgabe 25
3
2
10
64 3 3 64
1
dm3 = 3
dm = 3
dm = 1 dm
27
27
3
27
3. Gleichungen
(Buch Seite 15 – 24)
Aufgabe 1
X – 10-Cent-Stücke
Y – 5-Cent-Stücke
0,10 X + 0, 05Y = 1, 20
(I )
X + Y = 17 ⇒ Y = 17 − X
( II )
Einsetzen (II) in (I):
0,10 X + (17 − X ) ⋅ 0, 05 = 1, 20
0,10 X + 0,85 − 0, 05 X = 1, 20
0, 05 X = 1, 20 − 0,85
: 0, 05
X =7
Aufgabe 2
14000 − 10500
=X
100
X = 35
Aufgabe 3
10 Mannschaften ⋅ 9 Turner = X Mannschaften ⋅ 6 Turner
10 ⋅ 9
X=
= 15 Mannschaften
6
Teil I
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Hesse/Schrader
Aufgabe 4
A – jüngere Bruder
B – ältere Bruder
(I )
A + B = 39
( II )
B− A= 7 ⇒ B = 7+ A
Einsetzen (II) in (I):
A + 7 + A = 39
−7
2 A = 39 − 7
A=
:2
32
= 16 Jahre
2
Aufgabe 5
A – kleine Kiste Äpfel
B – große Kiste Äpfel
A + B = 87kg
(I )
( II )
B − A = 11kg ⇒ B = 11kg + A
Einsetzen (II) in (I):
A + 11kg + A = 87kg
−11kg
2 A = 87kg − 11kg
:2
A = 38kg
Aufgabe 6
Y
= 9, 2
⋅3, 4
3, 4
Y = 9, 2 ⋅ 3, 4 = 31, 28
Aufgabe 7
A – Alter des jüngeren Partners
B – Alter des älteren Partners
A + B = 75
(I )
B − A = 5 ⇒ A = B −5
Teil I
( II )
Seite 11 von 46
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ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Einsetzen (II) in (I):
B − 5 + B = 75
+5
2 B = 80
:2
B = 40
Aufgabe 8
B – Alter des Bürovorstehers
A – Alter des Azubis
S – Alter der Sekretärin
B
(I )
3
B
B = 2S ⇒ S =
( II )
2
B + A + S = 88 ( III )
B = 3A ⇒ A =
(I) und (II) in (III) einsetzen:
1
1
B + B + B = 88
3
2
11
6
B = 88
⋅
6
11
B = 48 Jahre
A=
B 48
=
= 16 Jahre
3 3
S=
B 48
=
= 24 Jahre
2 2
Aufgabe 9
X – Anzahl Söhne
Y – Anzahl Töchter
(I )
X = 2 (Y − 1)
X −1 = Y
( II )
(II) in (I) einsetzen:
2 (Y − 1) − 1 = Y
2Y − 2 − 1 = Y
2Y − 3 = Y
−Y ; +3
Y =3
Teil I
Seite 12 von 46
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ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 10
M – Anzahl Männer
F – Anzahl Frauen
K – Anzahl Kinder
J – Anzahl Jugendliche
M + F + K + J = 81
2F = M
(I )
( II )
2(K + J ) = M + F
J = 2K
( III )
( IV )
(II) und (IV) in (I) einsetzen:
2 F + F + K + 2 K = 81
3F + 3K = 81
(V )
(II) und (IV) in (III) einsetzen:
2(K + J ) = M + F
2K + 2 J = M + F
2K + 2 ⋅ 2K = 2F + F
6 K = 3F
1
K= F
(VI )
2
(VI) in (V) einsetzen:
⎛1 ⎞
3F + 3 ⎜ F ⎟ = 81
⎝2 ⎠
1
1
4 F = 81 : 4
2
2
F = 18
1
1
F = ⋅18 = 9
2
2
M = 2 F = 2 ⋅18 = 36
J = 2 K = 2 ⋅ 9 = 18
K=
Aufgabe 11
A – gesuchte Arbeitsdauer Arbeiter A
B – gesuchte Arbeitsdauer Arbeiter B
Wb – Wohnblock
1Wb 1Wb
1Wb
+
=
16 Tage
A
B
Teil I
(I )
Seite 13 von 46
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ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Nach 4 Tagen sind
Hesse/Schrader
4 1
= der Renovierungsarbeiten erledigt. D.h., es muss noch
16 4
3
des Wohnblocks renoviert werden.
4
Daraus folgt:
3 Wb
1Wb
3Wb
= 4
=
A
36
4 ⋅ 36
Umstellen nach A:
1Wb ⋅ 4 ⋅ 36 = A ⋅ 3Wb
A=
1Wb ⋅ 4 ⋅ 36
= 48 Tage
3Wb
Einsetzen in Gleichung (I):
1Wb 1Wb 1Wb
1Wb
+
=
−
B
48
16
48
1Wb 1Wb 1Wb
=
−
B
16
48
1Wb 48Wb − 16Wb 1Wb
=
=
B
16 ⋅ 48
24
B = 24 Tage
Aufgabe 12
X + Y = 4430
(I )
X − Y = 1370 ⇒ X = 1370 + Y
(II) in (I) einsetzen:
1370 + Y + Y = 4430
( II )
−1370
2Y = 4430 − 1370
:2
Y = 1530
X = 1370 + Y
= 1370 + 1530
= 2900
Teil I
Seite 14 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 13
K – Meter Kunstfaserteppich
W – Meter Wollteppich
(I )
3K + 4W = 470
( II )
W − K = 30 ⇒ W = K + 30
(II) in (I) einsetzen:
3K + 4 ( K + 30 ) = 470
3K + 4 K + 120 = 470
−120
7 K = 470 − 120
:7
K = 50€
W = K + 30
= 50 + 30
= 80€
Aufgabe 14
5 X − 50 = 30
5 X = 80
+50
:5
X = 16
Aufgabe 15
A – Strecke am 1. Tag
B – Strecke am 2. Tag
C – Strecke am 3. Tag
A + B + C = 130
(I )
A
2
( III )
A = 2C ⇒ C =
B = A − 10
( II )
(II) und (III) in (I) einsetzen:
A
A + A − 10 + = 130
+10
2
1
1
2 A = 140
:2
2
2
A = 56km
Teil I
Seite 15 von 46
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ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
B = A − 10
= 56 − 10 = 46km
A
2
56
=
= 28km
2
C=
Aufgabe 16
A – Länge großes Teil
B – Länge kleines Teil
A + B = 800
B + 70 = A
(I )
( II )
(II) in (I) einsetzen:
B + 70 + B = 800
−70
2 B = 730
:2
B = 365cm = 3, 65m
Aufgabe 17
X + ( X + 5 ) + ( X + 5 + 5 ) + ( X + 5 + 5 + 5 ) = 42
N
1. Zahl
2. Zahl
3. Zahl
4. Zahl
4 X + 30 = 42
4 X = 12
−30
:4
X =3
Die Zahlen lauten also 3, 8, 13 und 18.
Aufgabe 18
X – gesamtes Restgeld von der Klassenfahrt
− ( X − 10 ⋅ 20€ ) = X − 10 ⋅18€
− X + 200€ = X − 180€
2 X = 380€
+ X ; +180
:2
X = 190€
Teil I
Seite 16 von 46
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ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 19
M – Preis für 1 kg Mehl
Z – Preis für 1 kg Zucker
1000M + 1000 Z = 4700€
(I )
( II )
aus (II) folgt:
1000 M = 4700€ − 1000Z
:1000
7000M + 3000 Z = 21700€
( III )
M = 4, 70€ − Z
(III) in (I) einsetzen:
7000 ( 4, 70€ − Z ) + 3000 Z = 21700€
32900€ − 7000Z + 3000 Z = 21700€
−32900€
−4000 Z = 21700€ − 32900€
: −4000
Z = 2,80€
M = 4, 70€ − Z
= 4, 70€ − 2,80€ = 1,90€
Aufgabe 20
X – Alter
X + 10 = 2 ⋅ ( X − 4 )
X + 10 = 2 X − 8
− X ; +8
X = 18
Aufgabe 21
N – Nicos Anteil
P – Peters Anteil
H – Hans Anteil
C – Claudias Anteil
N + P + H + C = 6600€
N = 6P
H = 4C
C=
Teil I
1
N
2
(I )
( II )
( III )
( IV )
Seite 17 von 46
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ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
aus (II) folgt:
N
P=
(V )
6
aus (III) und (IV) folgt:
1
H = 4C = 4 ⋅ N = 2 N
2
(VI )
(IV), (V) und (VI) in (I) einsetzen:
1
1
N + N + 2 N + N = 6600€
6
2
2
2
3 N = 6600€
:3
3
3
N = 1800€
P=
N 1800€
=
= 300€
6
6
H = 2 N = 2 ⋅1800€ = 3600€
C=
1
1
N = ⋅1800€ = 900€
2
2
Aufgabe 22
alte Produktivität: 2 Autos
Tag
neue Produktivität: 3 Autos
Tag
⇒ Arbeitsproduktivität muss um
1
= 50% gesteigert werden.
2
Aufgabe 23
A – Kantenlänge Würfel A
B – Kantenlänge Würfel B
6 A2 − 6 B 2 = 6480cm 2
A = B + 6cm
Teil I
(I )
( II )
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Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
(II) in (I) einsetzen:
2
6 ⋅ ( B + 6 ) − 6 B 2 = 6480
6 ( B 2 + 12 B + 36 ) − 6 B 2 = 6480
6 B 2 + 72 B + 216 − 6 B 2 = 6480
−216
72 B = 6480 − 216
: 72
B = 87cm
A = B + 6cm
= 87cm + 6cm = 93cm
Aufgabe 24
B – Breite
L – Länge
A – Flächeninhalt
L = 3B
(I )
( L + 8 )( B + 7 ) = LB + 404
( II )
(I) in (II) einsetzen:
( 3B + 8)( B + 7 ) = 3B ⋅ B + 404
3B 2 + 21B + 8 B + 56 = 3B 2 + 404
29 B + 56 = 404
−3 B 2
−56
29 B = 404 − 56
: 29
B = 12dm
L = 3B
= 3 ⋅12dm = 36dm
A = LB
= 12dm ⋅ 36dm = 432dm 2
Teil I
Seite 19 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 25
1 Möbelstück 1 Möbelstück 1 Möbelstück 1 Möbelstück
+
+
=
2
3
Tage
4
Tage
X Tage
2 Tage
5
5 1 1 1
+ + = =1
12 3 4 1
1 Möbelstück 1 Möbelstück
=
X Tage
1 Tag
1 Möbelstück ⋅1 Tag=1 Möbelstück ⋅ X Tage
X=1 Tag
Aufgabe 26
A – Wehrsold Soldat A
B – Wehrsold Soldat B
A=
5
B
6
(I )
3
A + B + 80 = 1120
4
( II )
(I) in (II) einsetzen:
3⎛5 ⎞
⎜ B ⎟ + B + 80 = 1120
4⎝6 ⎠
5
B + B = 1040
8
5
1 B = 1040
8
B = 640€
−80
:1
5
8
5
B
6
5
= ⋅ 640€ = 533,33€
6
A=
Teil I
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Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 27
X – Anzahl Jungen
Y – Anzahl Mädchen
(I )
X + Y = 740 ⇒ X = 740 − Y
21 9
16
% ⋅ Y + 10% ⋅ X = 15% ⋅ 740 ⇒
(I) in (II) einsetzen:
69
1
Y + ⋅ ( 740 − Y ) = 111
320
10
69
1
Y + 74 − Y = 111
320
10
37
Y = 37
320
Y = 320
69
1
3
Y + X = ⋅ 740
320
10
20
( II )
−74
:
37
320
X = 740 − Y
= 740 − 320 = 420
Aufgabe 28
P – Preis Pflanze
Ü – Preis Übertopf
P + Ü = 32€
(I )
P − Ü = 30€ ⇒ P = 30€ + Ü
( II )
(II) in (I) einsetzen:
30€ + Ü + Ü = 32€
−30€
2Ü = 2€
:2
Ü = 1€
Teil I
Seite 21 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 29
S – Gesamtzahl der Studenten der Universität
1
1
1
S + S + S + 300 = S
2
4
7
25
S + 300 = S
28
−
3
S = 300
28
S = 2800
25
S
28
:
3
28
Aufgabe 30
R – Anzahl der Rosen
G – Anzahl der Gerberas
(I )
R + G = 50 ⇒ G = 50 − R
( II )
1,50 ⋅ R + 2, 00 ⋅ G = 80
(I) in (II) einsetzen:
1,5 R + 2 ⋅ ( 50 − R ) = 80
1,5R + 100 − 2 R = 80
−100
−0,5 R = −20
: ( −0,5 )
R = 40
Aufgabe 31
G – Anzahl der guten Äpfel
S – Anzahl der schlechten Äpfel
G + S = 200 ⇒ S = 200 − G
0,9G + 0, 4S = 115
(I )
( II )
(I) in (II) einsetzen:
0,9G + 0, 4 ( 200 − G ) = 115
0,9G + 80 − 0, 4G = 115
−80
0,5G = 115 − 80
: 0,5
G = 70
Teil I
Seite 22 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 32
A – Anzahl der 10€-Banknoten
B – Anzahl der 20€-Banknoten
(I )
A+ B = 8 ⇒ B = 8− A
10 A + 20 B = 110
( II )
(I) in (II) einsetzen:
10 A + 20 ( 8 − A ) = 110
10 A + 160 − 20 A = 110
−160
: ( −10 )
−10 A = −50
A=5
Aufgabe 33
Flächeninhalt Dreieck =
A=
1
Höhe ⋅ Seitenlänge
2
1
ha
2
1
1
ha + 5 = ( h + 1)( a + 1)
2
2
1
1
ha + 2 = ( h + 2 )( a − 1)
2
2
(I )
( II )
aus (I) folgt:
1
1
ha + 5 = ( ha + h + a + 1)
2
2
1
1
1
1
1
ha + 5 = ha + h + a +
2
2
2
2
2
1
1
a + h = 4,5 ( III )
2
2
1
1
− ha; −
2
2
aus (II) folgt:
1
1
ha + 2 = ( ha − h + 2a − 2 )
2
2
1
1
1
1
1
ha + 2 = ha − h + a − 1
− ha; +1; + h
2
2
2
2
2
1
a = 3 + h ( IV )
2
Teil I
Seite 23 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
(IV) in (III) einsetzen:
1⎛
1 ⎞ 1
⎜ 3 + h ⎟ + h = 4,5
2⎝
2 ⎠ 2
1,5 + 0, 25h + 0,5h = 4,5
0, 75h = 3
Hesse/Schrader
−1,5
: 0, 75
h = 4cm
1
a = 3+ h
2
1
= 3 + ⋅ 4cm = 5cm
2
Aufgabe 34
A – Anzahl Murmeln aus Kiste A
B – Anzahl Murmeln aus Kiste B
A − 11 = B + 11 ⇒ A = B + 22
A + 11 = 2 ( B − 11)
(I )
( II )
(I) in (II) einsetzen:
B + 22 + 11 = 2 ( B − 11)
B + 33 = 2 B − 22
− B; +22
B = 55
A = B + 22
= 55 + 22 = 77
Aufgabe 35
F – Anzahl der Freunde
P – Preis des Ferienhauses
F ⋅ 40€ = P − 105€ ⇒ P = 40€ ⋅ F + 105€
F ⋅ 60€ = P + 35€
( II )
(I) in (II) einsetzen:
60€ ⋅ F = 40€ ⋅ F + 105€ + 35€
20€ ⋅ F = 140€
(I )
−40€ ⋅ F
: 20€
F =7
Teil I
Seite 24 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
P = 40€ ⋅ F + 105€
= 40€ ⋅ 7 + 105€ = 385€
Aufgabe 36
A – Anzahl der 5€-Scheine
B – Anzahl der 10€-Scheine
C – Anzahl der 50€-Scheine
A+ B +C = 9
B = 2C
5 A + 10 B + 50C = 155
(I )
( II )
( III )
aus (I) und (II) folgt:
A + 2C + C = 9
A + 3C = 9
−3C
( IV )
A = 9 − 3C
(II) und (IV) in (III) einsetzen:
5 ( 9 − C ) + 10 ⋅ 2C + 50C = 155
45 − 15C + 20C + 50C = 155
−45
55C = 110
: 55
C=2
B = 2C
= 2⋅2 = 4
A = 9 − 3C
= 9 − 3⋅ 2 = 3
Aufgabe 37
S – Gewicht eines Stahlträgers
B – Gewicht eines Betonteils
Z – Gewicht eines Zementsackes
5S + 2 B + 20 Z = 10000
2 S + 3B + 40 Z = 10000
2S + 4 B = 10000
Teil I
(I )
( II )
( III )
Seite 25 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
aus (III) folgt:
2 S = 10000 − 4 B
:2
S = 5000 − 2 B
( IV )
Hesse/Schrader
(IV) in (II) einsetzen:
2S + 3B + 40 Z = 10000
2 ( 5000 − 2 B ) + 3B + 40Z = 10000
10000 − 4 B + 3B + 40 Z = 10000
−10000
40 Z − B = 0
+B
40Z = B
(V )
(IV) in (I) einsetzen:
5S + 2 B + 20 Z = 10000
5 ( 5000 − 2 B ) + 2 B + 20 Z = 10000
25000 − 10 B + 2 B + 20 Z = 10000
−25000
−8 B + 20Z = −15000
(VI )
(V) in (VI) einsetzen:
−8 B + 20 Z = −15000
−8 ⋅ 40 Z + 20 Z = −15000
−300 Z = −15000
: ( −300 )
Z = 50kg
B = 40Z
= 40 ⋅ 50kg = 2000kg = 2t
S = 5000 − 2 B
= 5000 − 2 ⋅ 2000kg = 1000kg = 1t
Aufgabe 38
A – Arnos Arbeitszeit für 1 Haus
W – Werners Arbeitszeit für 1 Haus
K – Klaus Arbeitszeit für 1 Haus
1 1
1
1
1 1
+ =
⇒
= −
A W 12
W 12 A
1 1 1
1 1 1
+ =
⇒
= −
A K 15
K 15 A
1 1
1
+ =
( III )
W K 20
Teil I
(I )
( II )
Seite 26 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
(I) und (II) in (III) einsetzen:
1 1 1 1 1
1
1
− + − =
− ;−
12 A 15 A 20
12 15
2 1 1 1
− =
− −
A 20 12 15
2
1
− =−
⋅ ( −1)
10
A
2 1
=
A 10
A = 2 ⋅10 = 20 Monate
1
1 1
= −
W 12 A
1 1
1
= −
=
12 20 30
W = 30 Monate
1
1 1
= −
K 15 A
1 1
1
= −
=
15 20 60
K = 60 Monate
Aufgabe 39
A – Pflügzeit für ein Feld Bauer A
B - Pflügzeit für ein Feld Bauer B
(I )
B− A= 6 ⇒ A= B−6
1 1 1
+ =
A B 4
( II )
(I) in (II) einsetzen:
1
1 1
+ =
B−6 B 4
B + ( B − 6) 1
=
B ( B − 6)
4
2B − 6 1
=
B2 − 6B 4
4 ( 2B − 6) = B2 − 6B
8 B − 24 = B 2 − 6 B
−8 B; +24
0 = B 2 − 14 B + 24
Teil I
Seite 27 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Lösungsformel für quadratische Gleichungen benutzen:
2
p
⎛ p⎞
B1/ 2 = − ± ⎜ ⎟ − q
2
⎝2⎠
p = −14
q = 24
14
⎛ −14 ⎞
= ± ⎜
⎟ − 24
2
⎝ 2 ⎠
2
B1/ 2
= 7 ± 25
= 7±5
B1 = 12h
B2 = 2h
Lösung 2 hat nach der Aufgabenstellung keinen Sinn, Bauer B braucht daher 12
h zum Pflügen eines bestimmten Feldes.
Aufgabe 40
F – Anzahl der Freunde
E – Eintrittspreis pro Person
(I )
( II )
F ⋅ E = 49
( F − 2 ) ⋅ 2,8 = 2 E
aus (II) folgt:
( F − 2 ) ⋅ 2,8 = 2 E
2,8F − 5, 6 = 2 E
:2
E = 1, 4 F − 2,8
( III )
(III) in (I) einsetzen:
F ⋅ (1, 4 F − 2,8 ) = 49
1, 4 F 2 − 2,8 F − 49 = 0
:1, 4
F 2 − 2 F − 35 = 0
Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwenden:
p
F1/ 2 = − ±
2
p = −2 und
Teil I
2
⎛ p⎞
⎜ ⎟ −q
⎝2⎠
q = −35
Seite 28 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
2
⎛ −2 ⎞
± ⎜ ⎟ + 35
2
⎝ 2 ⎠
2
F1/ 2 =
= 1 ± 36
= 1± 6
F1 = 7 und F2 = −5
Lösung 2 hat keinen Sinn, es gehen daher 7 Freunde ins Kino.
Aufgabe 41
P – Preis für 1 kg Kaffee
M – Menge Kaffee in kg
P ⋅ M = 108
(I )
( II )
M − P = 3 ⇒ P = M −3
(II) in (I) einsetzen:
( M − 3) M = 108
M 2 − 3M = 108
−108
M 2 − 3M − 108 = 0
Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwenden:
2
p
⎛ p⎞
M 1/ 2 = − ± ⎜ ⎟ − q
2
⎝2⎠
p = −3 und q = −108
3
⎛ −3 ⎞
M 1/ 2 = ± ⎜ ⎟ + 108
2
⎝ 2 ⎠
= 1,5 ± 10,5
M 1 = 12kg und M 2 = −9kg
2
Lösung 2 hat keinen Sinn ⇒ Man kauft 12 kg Kaffee.
Aufgabe 42
X 2 + ( X + 1) + ( X + 2 ) = 77
2
2
X 2 + X 2 + 2 X + 1 + X 2 + 4 X + 4 = 77
3 X 2 + 6 X + 5 = 77
3 X 2 + 6 X − 72 = 0
−77
:3
X 2 + 2 X − 24 = 0
Teil I
Seite 29 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwenden:
2
p
⎛ p⎞
± ⎜ ⎟ −q
2
⎝2⎠
p = 2 und q = −24
X 1/ 2 = −
2
X 1/ 2
2
⎛2⎞
= − ± ⎜ ⎟ + 24
2
⎝2⎠
= −1 ± 25
= −1 ± 5
X 1 = 4 und X 2 = −6
Nach der Aufgabenstellung hat Lösung 2 keinen Sinn. Die Zahlen lauten daher 4,
5 und 6.
Aufgabe 43
B – Breite
L – Länge
BL = 108
(I )
1
B= L
3
( II )
(II) in (I) einsetzen:
1
L ⋅ L = 108
3
1 2
⋅3
L = 108
3
L2 = 324
L = 18cm
1
B= L
3
1
= ⋅18cm = 6cm
3
Teil I
Seite 30 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 44
X 2 + ( X + 1) + ( X + 2 ) + ( X + 3) = 30
2
2
2
X 2 + X 2 + 2 X + 1 + X 2 + 4 X + 4 + X 2 + 6 X + 9 = 30
4 X 2 + 12 X + 14 = 30
4 X 2 + 12 X − 16 = 0
−30
:4
X 2 + 3X − 4 = 0
Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwenden:
2
p
⎛ p⎞
X 1/ 2 = − ± ⎜ ⎟ − q
2
⎝2⎠
p = 3 und q = −4
2
X 1/ 2
3
⎛3⎞
=− ± ⎜ ⎟ +4
2
⎝2⎠
= −1,5 ± 6, 25
= −1,5 ± 2,5
X 1 = 1 und X 2 = −4
Lösung 2 hat aufgrund der Aufgabenstellung keinen Sinn. ⇒ Die Zahlen lauten 1,
2, 3 und 4.
Aufgabe 45
X 2 + X = 42
X 2 + X − 42 = 0
Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwenden:
2
p
⎛ p⎞
X 1/ 2 = − ± ⎜ ⎟ − q
2
⎝2⎠
p = 1 und q = −42
2
X 1/ 2
1
⎛1⎞
= − ± ⎜ ⎟ + 42
2
⎝2⎠
= −0,5 ± 42, 25
= −0,5 ± 6,5
X 1 = 6 und X 2 = −7
Teil I
Seite 31 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
4. Denkaufgaben
(Buch Seite 25 – 32)
Aufgabe 1
Dreisatz aufstellen:
6
X
=
1
1
⋅19
⋅ 57
2
3
Nach X umstellen:
6 1
X=
⋅ ⋅ 57 = 12
1
⋅19 3
2
Aufgabe 2
siehe Lösungsbeispiel im Buch
Aufgabe 3
5 Mäuse
5 Mäuse
20
=
⋅
5 Katzen ⋅ 5 Minuten 5 Katzen ⋅ 5 Minuten 20
100 Mäuse
=
5 Katzen ⋅ 100 Minuten
(Erweitern mit 20)
⇒ 5 Katzen
Aufgabe 4
Die Strecke besteht aus 60 halben Metern. Nach der Zeichnung überschreitet
Hannes den ersten halben Meter mit einem Schritt, die folgenden 58 halbe Meter
mit jeweils 3 Schritten, den letzten halben Meter wieder nur mit einem einzigen.
Daraus folgt:
1 ⋅1 + 58 ⋅ 3 + 1 ⋅1 = 176
Teil I
Seite 32 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 5
Wie viele Schüler gehören nur der Sportgruppe an?
283 − 89 = 194
Wie viele Schüler gehören dem Orchester und der Sportgruppe an?
17
Wie viele Schüler gehören der Sportgruppe an?
194 + 17 = 211
Aufgabe 6
Da es sich um 3 Räuber handelt, muss man alle Vielfache von 3 durchprobieren:
- 3:
3 1 1 1
⇒ erfüllt die Forderung nicht!
= + +
3 3 3 3
-
6:
6 3 2 1
= + +
6 6 6 6
werden:
Karl:
3 1
=
6 2
Knut:
2 1
=
6 3
Ulf:
⇒ Diese Brüche können auf die gewünschte Form gebracht
1
6
Aufgabe 7
Dies ist eine Kombination ohne Wiederholung: Es werden 6 Elemente ohne
Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung aus 8 Elementen
ausgewählt.
⎛8⎞
8!
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8
=
= 28 Möglichkeiten
⎜ ⎟=
⎝ 6 ⎠ 6!⋅ ( 8 − 6 ) ! 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅1 ⋅ 2
Aufgabe 8
siehe Lösungsbeispiel im Buch
Teil I
Seite 33 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 9
A – Zehnerstelle der gesuchten Zahl
B – Einerstelle der gesuchten Zahl
a) Die gesuchte Zahl muss folgende Bedingung erfüllen:
2
⎛ A ⋅10 + B ⎞
⎜
⎟ = B ⋅10 + A
2
⎝
⎠
(10 A + B )
2
= 10 B + A
4
100 A2 + 20 AB + B 2
= 10 B + A
4
100 A2 + 20 AB + B 2 = 40 B + 4 A
⋅4
0 = 100 A2 + B 2 + 20 AB − 40 B − 4 A
b) Des weiteren gilt: Die gesuchte Zahl ist zweistellig, d.h. das auch die Zahl mit
vertauschten Ziffern zweistellig ist.
Daraus folgt, dass auch die Hälfte der gesuchten Zahl zum Quadrat zweistellig
sein muss. ⇒ Die gesuchte Zahl liegt somit zwischen 10 und 19, denn nur hier
ist Bedingung a) erfüllt. ⇒ A = 1
⇒ Einsetzen in Bedingung a):
0 = 100 + B 2 + 20 B − 40 B − 4
0 = B 2 − 20 B + 96
Lösungsformel für quadratische Gleichungen benutzen:
2
p
⎛ p⎞
B1/ 2 = − ± ⎜ ⎟ − q
2
⎝2⎠
p = −20
q = 96
20
⎛ −20 ⎞
± ⎜
⎟ − 96
2
⎝ 2 ⎠
2
B1/ 2 =
= 10 ± 4
= 10 ± 2
B1 = 8
B2 = 12
Lösung 2 hat keinen Sinn, die gesuchte Zahl heißt somit 18.
Teil I
Seite 34 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 10
Aussehen eines Steines mit Variablen statt Ziffern: ABC / DEF
Nun sollen auf den Steinen nur zwei verschiedene Ziffern auftauchen, die im
Folgenden mit A und B bezeichnet werden: AAA / BBB oder ABA / BAB usw.
Es gibt nun nur 4 Anordnungsmöglichkeiten für die 2 verschiedenen Ziffern:
ABB / BAA
BAB / ABA
BBA / AAB
AAA / BBB
(BAA / ABB, ABA / BAB, AAB / BBA und BBB / AAA finden keine Beachtung, da
sie das gleiche darstellen und keine neuen Anordnungsmöglichkeiten sind.)
Man stellt fest, dass die Summe aus A und B immer 9 ist, somit ist ein
Entfernungsstein nur noch von einer Variable abhängig: A
A
9− A 9− A
9− A
A
9− A
9− A 9− A
A
A
A
A
/ 9− A
A
A
/
A
9− A
A
/
A
A
9− A
/ 9− A 9− A 9− A
A kann nun insgesamt 10 verschiedene Werte annehmen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
und 9.
Es gibt also insgesamt 4 ⋅10 = 40 Steine mit 2 verschiedenen Ziffern.
Aufgabe 11
V – Volumen des anfänglichen Würfels
K – Kantenlänge des anfänglichen Würfels
0, 2V = 2 ⋅13 + 2 ⋅ 23 + 2 ⋅ 33 + 2 ⋅ 43
V=
: 0, 2
2 + 16 + 54 + 128 200
=
= 1000cm3
0, 2
0, 2
K = 3V
= 3 1000cm3 = 10cm
Aufgabe 12
siehe Lösungsbeispiel im Buch
Teil I
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Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 13
Bei der 1. Entnahme wird
1
des gesuchten Betrages entnommen, bei der 2.
16
1 1
1
⋅ =
des gesamten Ersparten.
8 16 128
D.h., die gesuchte Zahl muss durch 16 und 128 teilbar sein. ⇒ Dies ist für 128
der Fall. ⇒ Am Anfang befinden sich mindestens 128 € im Sparschwein.
Entnahme
Aufgabe 14
vRad - Geschwindigkeit des Fahrrads
vMoped - Geschwindigkeit des Mopeds
s - Strecke zwischen A-Dorf und B-Dorf
t Rad / Gesamt - Zeit, die Radfahrer von A-Dorf nach B-Dorf braucht
t Rad / Teil - Zeit, die Radfahrer von B-Dorf bis zum Treffen mit dem Moped braucht
tMoped / Teil - Zeit, die Mopedfahrer von A-Dorf bis zum Treffen mit dem Fahrrad
braucht
vRad =
s = vMoped ⋅ tMoped / Teil + vRad ⋅ t Rad / Teil
s
t Rad / Gesamt
s = vRad ⋅ t Rad / Gesamt
Gleichsetzen
vRad ⋅ t Rad / Gesamt = vMoped ⋅ tMoped / Teil + vRad ⋅ t Rad / Teil
−vRad ⋅ t Rad / Teil
vRad ⋅ t Rad / Gesamt − vRad ⋅ tRad / Teil = vMoped ⋅ tMoped / Teil
vRad ( t Rad / Gesamt − t Rad / Teil ) = vMoped ⋅ tMoped / Teil
vRad =
vRad
vMoped ⋅ tMoped / Teil
t Rad / Gesamt − t Rad / Teil
1
48 km ⋅ 2 h
h 2
=
= 30 km
h
2
2
5 h −1 h
3
3
s = vRad ⋅ t Rad / Gesamt
2
= 30 km ⋅ 5 h = 170km
h 3
Teil I
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ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 15
Gesamtinhalt des Pools:
120 ⋅15l = 1800l
Wie viel Wasser ist im Pool, als der Sohn zur Hilfe eilt:
24 ⋅15l = 360l
Es verbleiben 1800l − 360l = 1440l Wasser, die noch eingefüllt werden müssen.
V – restlichen Wege des Vaters
S – Wege des Sohns
V ⋅15l + S ⋅ 2 ⋅10l = 1440l ,
da S = 1,5V folgt:
V ⋅15l + 1,5 ⋅ V ⋅ 2 ⋅10l = 1440l
45l ⋅ V = 1440l
: 45l
V = 32
Zu den Wegen des Vaters werden nun noch die 24 Wege hinzugerechnet, die er
allein gearbeitet hat, d.h. er läuft 32 + 24 = 56 mal.
Der Sohn läuft 1,5 ⋅ 32 = 48 mal.
Aufgabe 16
Entscheidend für den Sieg ist die Gesamtdauer der Pausen der Igel.
⎛ 100m ⎞
− 1⎟ ⋅ 5s = 95s
Igel A: ⎜
⎝ 5m
⎠
⎛ 100m ⎞
− 1⎟ ⋅12s = 108s
Igel B: ⎜
⎝ 10m
⎠
⎛ 100m ⎞
− 1⎟ ⋅ 25s = 100 s
Igel C: ⎜
⎝ 20m
⎠
Reihenfolge: erst A, dann C, dann B
Aufgabe 17
R jetzt , Rdamals - Ronnys Alter, jetzt und damals
Fjetzt , Fdamals - Friedrichs Alter, jetzt und damals
Teil I
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ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Da der Altersunterschied immer konstant bleibt, gilt:
R jetzt − Fjetzt = Rdamals − Fdamals
(I )
Des Weiteren gilt:
R jetzt = 24 ( II )
1
1
R jetzt = ⋅ 24 = 12
2
2
= Fjetzt
( IV )
Fdamals =
Rdamals
( III )
(II), (III) und (IV) in (I) einsetzen:
24 − Fjetzt = Fjetzt − 12
+ Fjetzt , +12
2 Fjetzt = 36
:2
Fjetzt = 18
Aufgabe 18
vRad =
sRad 25km
=
t
t
vMoped = vRad + 20 km =
h
⇒ vRad =
sMoped
t
=
55km
t
55km
− 20 km
h
t
Gleichsetzen
25km 55km
=
− 20 km
h
t
t
km
25km 55km − 20 h ⋅ t
=
t
t
25km = 55km − 20 km ⋅ t
h
20 km ⋅ t = 30km
: 20 km
h
h
t = 1,5h
⋅t
+20 km ⋅ t ; −25km
h
Aufgabe 19
K – Klaus Murmeln
M – Martins Murmeln
K +3 = M −3 ⇒ M = K +6
3 ( K − 1) = M + 1
Teil I
(I )
( II )
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ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
(I) in (II) einsetzen:
3 ( K − 1) = K + 6 + 1
3K − 3 = K + 7
2 K = 10
− K ; +3
:2
K =5
M = K +6
= 5 + 6 = 11
Aufgabe 20
Z n = 6 + ( n − 1) ⋅ 2
Z 987 = 6 + ( 987 − 1) ⋅ 2 = 1978
Aufgabe 21
Da die Gesamtzahl durch 3, 7 und 11 teilbar sein muss, ist die Gesamtzahl ein
Vielfaches von
3 ⋅ 7 ⋅11 = 231
Durch Probieren erhält man die Gesamtzahl:
1 ⋅ 231 = 231
n =1:
⇒ liegt nicht zwischen 500 und 700
n = 2:
2 ⋅ 231 = 462
⇒ liegt nicht zwischen 500 und 700
n = 3:
3 ⋅ 231 = 693
⇒ liegt zwischen 500 und 700
Aufteilung auf die einzelnen Länder:
1
- Australien: ⋅ 693 = 231
3
1
- Neuseeland: ⋅ 693 = 99
7
1
⋅ 693 = 63
- Indonesien:
11
- Der Rest kommt aus Singapur: 693 − 231 − 99 − 63 = 300
Teil I
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ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 22
A – Geld, das der Junge erhält
B – Geld, das das Mädchen erhält
M – Geld, das die Mutter erhält
A = 2M
(I )
M
2
A + B + M = 350000
2B = M ⇒ B =
( II )
( III )
(I) und (II) in (III) einsetzen:
M
2M +
+ M = 350000
2
1
1
3 M = 350000
:3
2
2
M = 100000€
A = 2M
= 2 ⋅100000 = 200000€
1
M
2
1
= ⋅100000 = 50000€
2
B=
Aufgabe 23
Wie viele Kinder können wenigstens eine Sache (ABC oder 1x1 oder beides)?
100 − 10 = 90
Wie viele Kinder können nur das ABC?
90 − 75 = 15
Wie viele Kinder können nur das 1x1?
90 − 83 = 7
Wie viele Kinder können sowohl das ABC, als auch das 1x1?
90 − 15 − 7 = 68
Teil I
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ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 24
R – Anzahl der Räuber
B – Beute
R ⋅ 2 = B − 4 ⇒ B = 2R + 4
R ⋅3 = B + 3
(I )
( II )
(I) in (II) einsetzen:
3R = 2 R + 4 + 3
−2 R
R = 7 Räuber
B = 2R + 4
= 2 ⋅ 7 + 4 = 18 Goldstücke
Aufgabe 25
A, B und C – Basketballvereine am Ende der Sommerpause
B = 2A
C = 2B
A + B + C = 56
(I )
( II )
( III )
(I) in (II) einsetzen:
C = 2 ⋅ 2 A = 4 A ( IV )
(I) und (IV) in (III) einsetzen:
A + 2 A + 4 A = 56
7 A = 56
:7
A=8
B = 2A
= 2 ⋅ 8 = 16
C = 4A
= 4 ⋅ 8 = 32
Zu Beginn der Sommerpause hatte jeder Verein:
- A: 8 + 7 = 15 Spieler
- B: 16 + 5 − 7 = 14 Spieler
- C: 32 − 5 = 27 Spieler
Teil I
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ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Aufgabe 26
X – die gesamten Eintrittskarten
1
1
1
( X − 120 ) + 60 + ⎛⎜ X − 120 − ( X − 120 ) − 60 ⎞⎟ + 120
3
3⎝
3
⎠
1
1
1
X = 120 + X − 40 + 60 + X − 40 − ( X − 120 ) − 20 + 120
3
3
9
5
1
5
− X
X = X + 213
9
3
9
X = 120 +
4
1
X = 213
9
3
X = 480
:
4
9
Aufgabe 27
O – Anzahl Orangen
Ä – Anzahl Äpfel
P – Anzahl Pfirsich
3€
2€
5€
O+
Ä + P = 108
5
3
7
5P = O ( II )
6P = Ä
(I )
( III )
(II) und (III) in (I) einsetzen:
3€
2€
5€
⋅ 5P + ⋅ 6 P + P = 108€
5
3
7
5
5
7 € ⋅ P = 108€
:7 €
7
7
P = 14
⇒ das sind 2 Kisten Pfirsiche
O = 5 P = 5 ⋅14 = 70
⇒ das sind 14 Beutel Orangen
Ä = 6 P = 6 ⋅14 = 84
⇒ das sind 28 Packungen Äpfel
Aufgabe 28
Bei einstelligen Zahlen gibt es nur eine Zahl:
6
Teil I
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Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
Bei zweistelligen Zahlen gibt es 6 Möglichkeiten:
15, 24, 33, 42, 51, 60
Bei dreistelligen Zahlen gibt es 21 Möglichkeiten:
Hunderterstelle
1
2
3
4
5
6
Zehnerstelle
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
0
1
2
3
0
1
2
0
1
0
Einerstelle
5
4
3
2
1
0
4
3
2
1
0
3
2
1
0
2
1
0
1
0
0
Insgesamt gibt es also 1 + 6 + 21 = 28 Zahlen zwischen 0 und 999 mit der Quersumme
6.
Aufgabe 29
10 Brote ⋅ 7 Tage + 30 Brote ⋅ 7 Tage
= 20 Brote
Tag
14 Tage
Aufgabe 30
v Auto
s=
2
s
2s
= 3 =
t Auto 3t Auto
3v Auto t Auto
2
vFuß
1
s
s
= 3 =
t Fuß 3t Fuß
s = 3vFuß t Fuß
Gleichsetzen
3vAutot Auto
= 3vFuß t Fuß
2
Teil I
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Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
da t Fuß = 6t Auto folgt:
3v Autot Auto
= 3vFuß ⋅ 6t Auto
2
3vAuto = 36vFuß
:3
: t Auto ; ⋅2
vAuto = 12vFuß
⇒ Auto fährt 12mal so schnell
Aufgabe 31
X – Anzahl Eier
⎞
⎛1
⎞ ⎛1⎛
⎛1
⎞⎞
X − ⎜ X + 10 ⎟ − ⎜ ⎜ X − ⎜ X + 10 ⎟ ⎟ + 15 ⎟ = 50
⎝8
⎠ ⎝2⎝
⎝8
⎠⎠
⎠
⎛1⎛
1
1
⎞⎞
X − X − 10 − ⎜ ⎜ X − X − 10 ⎟ ⎟ − 15 = 50
8
8
⎠⎠
⎝2⎝
7
1
1
X − 10 − X + X + 5 − 15 = 50
8
2
16
7
X = 70
16
X = 160
+20
:
7
16
Aufgabe 32
siehe Lösungsverzeichnis im Buch
Aufgabe 33
A – Tausenderstelle
B – Hunderterstelle
C – Zehnerstelle
D – Einerstelle
A+ B +C + D = 8
(I )
A ⋅ B ⋅ C ⋅ D = B ⋅10 + C
A=C
D = 3B
Teil I
( II )
( III )
( IV )
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Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
(III) und (IV) in (I) einsetzen:
C + B + C + 3B = 8
4 B + 2C = 8
−4 B
2C = 8 − 4 B
:2
C = 4 − 2B
(V )
(III) und (IV) in (II) einsetzen:
C ⋅ B ⋅ C ⋅ 3B = 10 B + C
3B 2 ⋅ C 2 = 10 B + C
(VI )
(V) in (VI) einsetzen:
2
3B 2 ⋅ ( 4 − 2 B ) = 10 B + 4 − 2 B
3B 2 (16 − 16 B + 4 B 2 ) = 8B + 4
48B 2 − 48 B + 12 B 4 = 8B + 4
−8 B − 4
12 B 4 + 48B 2 − 56 B − 4 = 0
Durch Probieren erhält man die erste Lösung für B = 1
D = 3B
= 3 ⋅1 = 3
C = 4 − 2B
= 4 − 2 ⋅1 = 2
A=C
=2
Die Zahl lautet also 2123.
Aufgabe 34
Z n = n2
Z 423 = 4232 = 178929
Aufgabe 35
v=
s
t
s = Kreisumfang = 2π r
Teil I
Seite 45 von 46
Lösungen zum Testtraining Textaufgaben
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Hesse/Schrader
2π ⋅ 2m
= 4π m
h
1h
2π ⋅1,5m 1 m
=
= π
h
12h
4
vMinutenzeiger =
vStundenzeiger
vMinutenzeiger
vStundenzeiger
vMinutenzeiger
Teil I
4π m
h = 16
1 m
π h
4
= 16vStundenzeiger
=
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