13. Übungsblatt

13. Übung Zahlentheorie
Prof. Dr. Nebe
(SS 2016)
Aufgabe 37.
(3 Punkte) Bestimmen Sie mit MAPLE (oder einem anderen CAS) die
Gewichtszähler von H4 (F2 ) und H3 (F3 ).
Aufgabe 38. (6 Punkte) Sei C ≤ K n ein linearer Code der Dimension k und H ∈ K n×n−k
eine Kontrollmatrix für C, d.h.
C = {x ∈ K n | xH = 0}
Für jedes v ∈ K n−k sei
Ev := {x ∈ K n | xH = v}
und ev ∈ Ev ein Element minmalem Gewichts in Ev , ein sogennanter Nebenklassenführer.
Zeigen Sie:
Für x ∈ K n ist x − exH ∈ C ein Wort in C mit minmal möglichem Abstand von x.
Die Vorschrift, x zu x − exH zu dekodieren heißt daher minimum distance decoding.
Sei C = H3 (F2 ) der Hamming Code der Länge 7. Bestimmen Sei eine Erzeugermatrix und
eine Kontrollmatrix für C. Bestimmen Sie alle Nebenklassenführer und decodieren Sie mit
deren Hilfe
(1, 1, 0, 0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 0, 1, 1, 0) und (1, 1, 1, 1, 1, 1, 0).
Aufgabe 39.
(3 Punkte) (Erweiterter Code) Sei p eine Primzahl und C ≤ (Z/pZ)n ein
linearer Code. Der erweiterte Code von C is
C̃ = {(c1 , . . . , cn , −
n
X
ci ) | (c1 , . . . , cn ) ∈ C} ≤ (Z/pZ)n+1 .
i=1
Zeigen Sie, dass C̃ ein linearer Code der Länge n + 1 ist mit dim(C̃) = dim(C).
Wie erhält man aus der Erzeugermatrix von C eine Erzeugermatrix von C̃ ?
Wie erhält man aus der Kontrollmatrix von C eine Kontrollmatrix von C̃ ?
Bestimmen Sie Erzeugermatrix und Kontrollmatrix von C̃ für die folgenden durch Erzeugermatrizen Ei gegebenen ternären Codes C:
E1 =
1 0 1 −1
0 1 1 1
!
, E2 =
1 1 1
.
Aufgabe 40. (3 Punkte) Sei g24 der selbstduale doppelt gerade binäre Code der Länge 24
mit Minimalabstand 8 und
g23 := {(c1 , . . . , c23 ) | ∃c24 ∈ {0, 1}, (c1 , . . . , c24 ) ∈ g24 }
die Projektion von g24 auf die ersten 23 Stellen. Zeigen Sie dass der Minimalabstand von g23
gleich 7 ist und g23 ein perfekter Code ist.
Abgabe: Dienstag 19.7.2016 vor der Übung 12:00 Uhr im Hörsaal IV.

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