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前回の問題
• 不完備情報のクールノー複占
– 市場需要
P  5  ( x1  x2 )
– 企業1の限界費用＝2
– 企業2 75%の確率で限界費用＝3
–
25%の確率で限界費用＝1
• ベイジアン・ナッシュ均衡を求めなさい
• 高コストタイプ
• 低コストタイプ
• 企業1
1  H 3  L 14
 x  3x L 

 
  x1  2   H
0
4 xH 4 x L
4
4


 H
 2  x1  2 x H  0
x H
 L
 4  x1  2 xL  0
xL
3
4


 1    1H   1L   3  x1 
 1
x  3xL
 3  2 x1  H
0
x1
4
解答例(2)
• 高コストタイプと低コストタイプの1階の条件から
1
4
解答例(1)
xH  3 xL 
  x1
4

解答例(3)
x2
• 上式と企業1の一階の条件から
5
x1 
6
• これを代入して
xH 
7
19
, xL 
12
12
x1
オークションの種類
• オープンビッド・オークション
オークション
さまざまなオークション
オークションの比較
– 入札額が参加者全員にわかる
– いわゆるオークション(競売)
• シールドビッド･オークション
– 誰がどんな額を入札したかがわからない
– いわゆる入札
1
競売の種類
• イングリッシュ･オークション
– だんだん値をつり上げていく
– 最後に残った人が落札
– サザビーズ、ネット･オークション
• ダッチ･オークション
– だんだん値を下げていく
– 最初に手をあげた人が落札
– バナナの叩き売り、寅さんの売り方
オークションの定式化
• 一人の売り手と2人の買い手
– 売り手にとって、商品の価値はゼロ
– 買い手1に対する商品の価値はV1
• 商品を買うためにV1まで支払う用意がある。
– 買い手2に対する商品の価値はV2
– V1、V2はプライベート・インフォーメーション
セカンド･プライス･オークション
• セカンド･プライス･オークションの特徴
– 入札者自身の評価を正直に表明する誘引を持つ
• 買い手1の入札額b1
– b1＜V1の場合
–
→ 相手の入札額b2がb1とV1の間
–
→ 落札できない可能性
– b1＞V1の場合
–
→ b2がV1とb1の間
–
→ V1を超える額を支払うと損をする
入札の種類
• シールドビッド･ファースト・プライス･オークション
– 競争入札
– 最高入札者が落札し、その額を支払う
– ダッチ･オークションと似ている
• シールドビッド･セカンド・プライス･オークション
– 最高入札者が落札し、2番目に高い入札額を支払う
– イングリッシュ･オークションに似ている
イングリッシュ・オークション
• 買い手1の最適戦略
– せり値=p
– 相手(買い手2)の評価にかかわりなく、
p  V1
– である間は競売に残る。
• 売り手の収益＝買い手の支払額
– 最後に一人が残るのは、低いほうの評価額を超えたとき
– 収益＝min{V1,V2}
売り手の収益
• セカンド・プライス・オークション
– 最高入札者が落札し、2番目の入札額を支払う
– 収益＝min{V1、V2}
– イングリッシュ・オークションと同じ結果
• b1＝V1が期待利得が最大(支配戦略)
2
最適戦略(1)
ファースト・プライス・シールドビッド・オークション
• ベイジアン・ゲーム
– 買い手1と買い手2のゲーム
– 評価額V1、V2はプライベート・インフォーメーショ
ン
– V1、V2は[0,1]の一様分布
– 評価額=タイプ、自然が評価額を選択
– 各プレイヤーは自分の評価額をもとに入札額b1
を決定
–
→ b1はV1の関数
• プレイヤー1の最適戦略
– 評価額がV1のとき、いくらで入札するべき？
– b1で落札できたとすると
–
→ 買い手1の利得＝V1－b1
• 期待利得
– (b1で落札できる確率)×(V1－b1)
＝(b1＞b2である確率) ×(V1－b1)
–
• 相手の入札額の見込み？
最適戦略(2)
勝者の災い
• 勝者の災い(Winner’s curse)：
– 期待利得＝(b1で落札できる確率)×(V1－b1)
– b1で落札できる確率はb1が大きいほど高い
– 落札したときの利得はb1が大きいほど小さい
–
↓
– 落札できた → 入札額が大きすぎた
–
→ 儲け損ねた
• この効果を考慮すれば、入札額は評価額を
割り引いた金額になるはず
• 買い手2は、評価額を一定の率で割り引いて入札す
ると考えて、割引率をkとおく
b2  kV2
• 買い手1の期待利得
– (b1で落札できる確率)×(V1－b1)
–
＝(b1＞b2である確率) ×(V1－b1)
＝(b1＞kV2である確率)×(V1－b1)
–
b1  kV2 
最適戦略(3)
一様分布
• 一様分布の確率変数
– どの数値も等しい確率で起こりうる
– [0,1]上の一様分布
–
0
1
– V1＜Xとなる確率＝Xの左側の面積
＝X
–
1
b1  V2
k
• 買い手1の期待利得
1
– (b1＞kV2である確率)×(V1－b1)  b1 (V1  b1 )
k
– 期待利得の最大化(V1は既知)
– b1で微分してゼロとおく
1
(V1  2b1 )  0,
k
• 最適戦略
1
b1  V1
2
– 最適な入札額は評価額の半分
3
ベイジアン・ナッシュ均衡
• 競争入札のベイジアン・ナッシュ均衡
– 評価額V1、V2が[0,1]上の一様分布
– それぞれの買い手の戦略
– ｢自分の評価額の半分の額を入札する｣
– はベイジアン・ナッシュ均衡
• オークションの結果
– 売り手の収益＝
1 1 
max  V1 , V2 
2 2 
ダッチ・オークション
• ダッチ・オークションの最適戦略
– ダッチ・オークションでは上から価格が下落
– 最初に手をあげて落札
–
→ 手を上げるときの価格＝入札額
– ファースト・プライス・オークションと同じ
–
→ 自分の評価額の半分で手を上げる
• 売り手の収益
オークションの比較
• 売り手の収益＝買い手の支払額
– イングリッシュ・オークション
＝セカンド・プライス・オークション
–
minV1 ,V2 
– ダッチ・オークション＝ファースト・プライス・オークション
1 1 
max  V1 , V2 
2 2 
minV1 ,V2  の平均(期待値)
• V1＝v1に固定
– V2＜v1 → min{V1,V2}＝V2
 v2dv2 
v1
0
– v1は0から1まで
v
2
2
1
1
2
 v1

v
1
0  0 v2dv2 dv1  0 21 dv1  6


1
– V1＜V2である場合も同様 → 期待値＝1/3
1 1 
max  V1 , V2 
2 2 
– F.P.Oと同じ＝
収益同値性定理
• 個人価値オークション
– 商品の価値が各個人に固有
– 評価の分布は独立
• 収益同値性定理
– 個人価値オークションでは、オークションの形式によらず、
売り手の平均収益(期待収益)は等しい
• V1、V2が[0,1]上の一様分布
1 1 
•
minV1 ,V2 の期待値＝ max  V1 , V2  の期待値
2 2 
＝1/3
•
1 1 
max  V1, V2 の平均(期待値)
2 2 
• V1＝v1に固定
– V2＞v1 → max{V1/2,V2/2}＝V2/2
v
1 v
 22 dv2  4 1
v1
1
2
– v1は0から1まで
1 v
2
   2 dv
1
0
 v1
2
1
2

dv1   1  v1 dv1  1



4 
6
0

– V1＞V2である場合も同様 → 期待値＝1/3
4
今日の問題
5

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