複素関数論
講義１０
第１０回 複素積分
曲線
=
C : z z (t ) (a ≤ t ≤ b)
z (a ) ：始点
z (b) ：終点
z (b)
z (t )
端点
z (a)
z (a ) = z (b) ならば 閉曲線
z (t )
z (b) = z (a )
定義１
自分自身と交わらない曲線
：単一曲線，ジョルダン弧
自分自身と端点以外で交わらない閉曲線
：単一閉曲線，ジョルダン曲線
定義２
滑らかな曲線：
[a, b] のすべての t で z ′(t ) が存在
し，連続でかつ z′(t ) ≠ 0
区分的に滑らかな曲線：
滑らかな曲線をつなぎ合わせた曲線
定理 ジョルダンの曲線定理
平面上の任意の単一閉曲線 C の補集合
C を境界とする二つの領域にわかれる
C
内部，外部，正の向き
C
正の向き
正の向き：内部を左手に見る向き
実変数複素数値の定積分の定義
(t ) u (t ) + iv(t )
[a, b] で定義された，関数 f =
t ：実変数
b
=
f
t
dt
(
)
∫
a
∫
b
a
b
u (t )dt + i ∫ v(t )dt
a
実変数複素数値の定積分での不等式
∫
b
a
b
f (t )dt ≤ ∫ f (t ) dt
a
複素積分の定義
C : z (t )(a ≤ t ≤ b) ：区分的に滑らかな曲線
f ( z ) ： C 上で定義された連続な関数
＝ f ( z (t )) が連続
b
∫
f ( z )dz = ∫ f ( z (t )) z ′(t )dt
=
b
C
a
∫
a
b
(ux′ − vy′)dt + i ∫ (vx′ + uy′)dt
a
複素積分の性質（１）
−C ： C の逆向きの曲線
z= z (−t ), −b ≤ t ≤ − a
∫
−C
f ( z )dz=
∫
= − ∫ f ( z )dz
C
−a
−b
f (− z )(− z ′(t )))dt
複素積分の性質（２）
C2
C1
∫
=
f ( z )dz
C1 + C2
∫
C1
f ( z )dz + ∫ f ( z )dz
C2
例題１
∫
C
zdz 以下の経路で求めよ
(1) 0から1+iに至る線分
C 経路をtの関数で記述
C : z = z (t ) = (1 + i ) t (0 ≤ t ≤ 1)
∫
C
b
f ( z )dz = ∫ f ( z (t )) z ′(t )dt
z ′(t ) = 1 + i
a
z (t )=
(1 − i ) t
z ′(t ) = 1 + i
∫
C
z (t )=
(1 − i ) t
b
f ( z )dz = ∫ f ( z (t )) z ′(t )dt
a
1

2 t 
=∫ (1 − i )t (1 + i )dt =(1 − i )  =1
0
2 0

1
2
(2) 0から1，1から1+iに至る線分
経路をtの関数で記述
C1 : z= z (t )= t (0 ≤ t ≤ 1)
z ′(t ) = 1
z (t ) = t
C2 : z = z (t ) = 1 + it (0 ≤ t ≤ 1)
z ′(t ) = i
z (t ) = 1 − it
∫
C1 + C2
zdz =
1+ i
∫ td + ∫ (1 − it )idt =
1
1
0
0
例題２
z
−
a
(
)
∫C
n
dz (n = 0, ±1, ±2,...)
を求めよ．
r 正の向きに一周
C ： z−a =
円の極形式
iθ
z = a + re (0 ≤ θ ≤ 2π )
r
θ
a
∫
C
f ( z )dz =ir
n +1
∫
2π
0
e
i ( n +1)θ
dθ
n ≠ −1
ir
n +1
∫
2π
0
n +1
e
i ( n +1)θ
dθ = ir
n +1
i ( n +1)θ
2π
e



 i (n + 1)  0
r
i ( n +1)2π
i ( n +1)0
e

−e
n +1
n +1
r
1] 0
=
[1 −=
n +1
∫
C
f ( z ) =ir
n +1
∫
2π
0
e
i ( n +1)θ
dθ
n = −1
ir
0
2π
2π
2π
0
0
e dθ i ∫=
1dθ i [θ ]
∫=
0
0
= i [ 2π − 0]
= 2π i

null

Document