平均と分散 (5) 二項分布 B(n,p)(k)の平均

平均と分散
(5)
• 二項分布 B(n,p)
• ポアソン分布 P(λ)
• 正規分布 N(μ,σ2)
統計的計算手法
Copyright © 2003-2016 by Takeshi Kawabata
二項分布 B(n,p)(k)の平均
n
n
k 0
k 1
E ( X )   xi  pi   k     k 
i
n
 k 
k 1
n!
 p k (1  p ) n  k
k!(n  k )!
n  (n  1)!
 p  p k 1 (1  p ) ( n 1) ( k 1)
k  (k  1)!((n  1)  (k  1))!
(n  1)!
 p k 1 (1  p ) ( n 1) ( k 1)
k 1 ( k  1)!(( n  1)  ( k  1))!
n
 np  
 np 
n 1
 B(n  1, p)(k  1)  np
k 1 0
統計的計算手法
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二項分布 B(n,p)(k)の分散
V ( X )  E( X 2 )  E( X )2
n
n
  k    k 2 
2
k 0
k 1
n!
 p k (1  p ) n  k  (np ) 2
k!(n  k )!
(n  1)!
 np   k 
 p k 1 (1  p) ( n 1) ( k 1)  (np ) 2
(k  1)!((n  1)  (k  1))!
k 1
n
 np 
n 1
2
((
k

1
)

1
)

B
(
n

1
,
p
)(
k

1
)

(
np
)

k 1 0
 np ((n  1) p  1)  (np ) 2  np (1  p)
統計的計算手法
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ポアソン分布の平均と分散を
求めるための補題（その1）

k  e 

k
k 1
k!

k 1
k 1
k!
 e    k
0
2






 e  1   2   3   
2!
3!
 1

  2
  


 e  1      e  e  
 1! 2!


xi
e  1 
i 1 i!
x
統計的計算手法
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ポアソン分布の平均と分散を
求めるための補題（その2）

 k (k  1)  e
k 1

k
k!

e 
2

k  2
k 1
k!
 k (k  1)


1
0

2
 e  1  0 
 2 1   3  2   4  3   
1!
2!
3!
4!


2

  2 


 2
 e   0  1      e  e  2
1! 2!



2
統計的計算手法
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ポアソン分布の平均
pk  e  
k
k!
(k  1,  , )


k 1
k 1
E ( X )   k  pk   k  e
  e



k
k!
k 1
 (k  1)!
k 1
   e   e   
統計的計算手法
補題（その１）
より
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ポアソン分布の分散
pk  e

k
k!
(k  1,  , )


V ( X )   (k   )  pk   (k  2k   ) e
2
2
k 1
2
k 1

  (k (k  1)  k (1  2 )   ) e
2
k 1
 2   (1  2 )  2  
統計的計算手法


k
k!
k
k!
補題（その１）
＆（その２）より
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中心極限定理
• 独立な n 個の確率変数 X1, X2,…,Xn が
平均 μ1, μ2, …,μn、
分散 σ21, σ22, …,σ2nの
「任意の」分布に従うとき、合成確率変数

Y
n
i 1
( X i  i )

n
i 1
 i2
の分布は n→∞ で正規分布に近づく
統計的計算手法
Copyright © 2003-2016 by Takeshi Kawabata
中心極限定理
(2)
• ある確率変数が他の無数の変動要因によっ
て影響され、
近似的に
「その変数は正規分布すると考えられる」
統計的計算手法
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