MATLAB・Scilab参考資料2

2016.7.19
コンピュータ数学 MATLAB・Scilab の使い方
– 行列とベクトルの計算 –
本資料では，MATLAB，及び Scilab における行列・ベクトルの計算について説明します．MATLAB のコ
ンソールは >>，Scilab のコンソールは --> と表示されます．
また，計算した結果が 2.2204e-16 のように e を含んだ形で表示されることがありますが，これは
2.2204 × 10−16 を表しています．このような非常に小さい値は，0 とみなしてもらって構いません．
基本的な演算命令
1
1.1
演算子
MATLAB，Scilab では表 1 にある演算子を用いて，四則演算とべき乗を計
算できます．
表 1 MATLAB・Scilab
の演算子．
>> a = 1.4;
>> b = 3.5;
演算
演算子
>> a + b
加算
+
ans =
減算
-
乗算
*
除算
/
べき乗
^
4.9000
>> a - b
ans = -2.1000
>> a * b
ans =
4.9000
>> a / b
ans =
0.4000
>> a^2
ans =
1.2
1.9600
ベクトル・行列の定義と演算
ベクトルと行列の定義
1.2.1
MATLAB，Scilab ではベクトルと行列を簡単に定義することができます．例えば 3 次元ベクトル x として
 
1
x= 2 
3
を定義するには，
>> x = [1; 2; 3]
x =
1
2
3
1
と入力します．x の成分 1, 2 の後にセミコロン ; が入っていますが，これは改行を表しています．セミコロ
ンをつけないで入力すると，
>> x = [1 2 3]
x =
1
2
3
となり，x は 3 次元行ベクトルとして定義されます．
行列も同じように定義できます．例えば，3 行 3 列の行列

1
A= 4
7
2
5
8

3
6 
9
を定義するには，以下のように入力します．
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
この行列は 1 行あたり 3 つの要素があるので，3 つの要素ごとにセミコロンをつけて改行します．
行列とベクトルの要素の参照方法
1.2.2
MATLAB，Scilab では，行列やベクトルの特定の要素を参照することができます．例えば上記の行列 A の
3 行 1 列目を参照したい場合は
>> A(3,1)
ans = 7
と入力すると，7 という要素が書き出されます．ベクトルの場合も同様に，
>> x(2)
ans = 2
で参照が可能です．x(2,1) としても同様の結果が得られます．
行列・ベクトルに関する演算
1.2.3
◦ 行列・ベクトルの加算と減算
行列・ベクトルでの加減算を行うには，2 つの行列・ベクトルの行数と列数は等しくなければいけません．
>> A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>> A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>> x = [1; 4; 6];
>> B = [1 3 5;7 9 2;4 6 8];
>> B = [1 3 5;7 9 2;4 6 8];
>> y = [1; 3; 5];
>> A + B
>> A - B
>> x + y
ans =
ans =
ans =
2
5
8
0
-1
-2
2
11
14
8
-3
-4
4
7
11
14
17
3
2
1
11
図1
行列の加算．
図2
行列の減算．
2
図3
ベクトルの加算．
◦ 行列とベクトルに関する乗算
行列の乗算 A * B の計算では，行列 A の列数と行列 B の行数が等しくないといけません．A または B がベ
クトルの場合も同様です．下記の一番右の例では，A の列数と B の行数が等しくないため，エラーメッセージ
が表示されています（Scilab では，エラーメッセージの内容が若干異なります）．
>> A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]; >> A = [1 4 6; 2 7 9];
>> A = [1 2; 4 5; 7 8];
>> x = [3; 7; 5];
>> B = [1 3;5 6;7 8];
>> B = [1 3 5;7 9 2;4 6 8];
>> A * x
>> A * B
>> A * B
ans =
ans =
エラー:
32
63
75
77
100
120
*
内部行列の次元は一致しなければ
なりません。
122
図4
行列とベクトルの乗算．
図5
行列の乗算．
図6
行列の乗算が定義されない例．
◦ 行列のべき乗
行列でもスカラーと同じように，演算子^ を用いて行列のべき乗を計算することができます．但し，行列の
べき乗は行数と列数が等しい正方行列の場合に限ります．
>> A = [2 3 -1; 4 7 8;-5 9 6] >> A = [2 3 -1; 4 7 8;-5 9 6] >> A = [2 3 -1; 4 7 8;-5 9 6]
A =
>> A^2
>> A^3
ans =
ans =
2
3
-1
21
18
16
34
333
219
4
7
8
-4
133
100
24
1819
1668
-5
9
6
-4
102
113
-165
1719
1498
図7
行列 A．
図8
行列 A の 2 乗 (A2 )．
図9
行列 A の 3 乗 (A3 )．
◦ 行列の転置
行列を転置させたい場合は，変数の後に ’ をつけます．
>> A = [1 2 3; 4 5 6]
>> x = [1; 2; 3];
A =
>> y = [2; 5; 9];
1
2
3
4
5
6
>> x’ * y
ans =
>> A’
39
ans =
1
4
2
5
3
6
図 10 行列 A とその転置．
図 11 ベクトル x の転置とベクトル y の積（内積の計算）．
3
数学で用いられる定数と関数
2
円周率 π は，MATLAB では pi，Scilab では %pi という変数で，あらかじめ登録されています．ですので，
円周率を自分で手入力する必要はありません．（もし円周率が登録されていない環境で円周率が必要になった
場合は，π = 4 arctan 1 という式を使って計算すると楽です．覚えておきましょう．）
数学で用いられる代表的な MATLAB，Scilab の組み込み関数を表 2 に示します．Mathematica と異なり，
MATLAB，Scilab の組み込み関数は関数名は全て小文字で，カッコは (
) です．もしエラーが出た場
合は，カッコを確認してみましょう．
表 2 MATLAB・Scilab の組み込み関数．
関数
MATLAB・Scilab の組み込み関数
sin x
sin(x)
cos x
cos(x)
tan x
tan(x)
log x
log(x)
log10 x
log10(x)
x
exp(x)
e
√
x
sqrt(x)
arcsin x
asin(x)
arccos x
acos(x)
arctan x
atan(x)
|x| (x の絶対値)
abs(x)
行列に関する命令
3
3.1
値の代入などを行う命令
行列に値を代入する命令として，以下の命令が用意されています．
• zeros：全ての要素の値が 0 の行列を設定する命令
m = 2; n = 3;
A =
A = zeros(m,n)
=⇒
0
0
0
0
0
0
• ones：全ての要素の値が 1 の行列を設定する命令
m = 3; n = 2;
A =
A = ones(m,n)
=⇒
1
1
1
1
1
1
• eye：対角要素が 1，その他の要素が 0 の行列を設定する命令（正方行列でなくてもよい）
m = 3; n = 2;
A =
A = eye(m,n)
=⇒
1
0
0
1
0
0
4
• rand：行列要素を乱数で設定する命令
m = 2; n = 3;
A =
A = rand(m,n)
=⇒
0.7968
0.1588
0.8478
0.1138
0.3558
0.5828
• diag：対角要素だけを取り出す命令
m = 2; n = 3;
ans =
A = rand(m,n);
=⇒
diag(A)
3.2
0.7968
0.3558
行列に関する演算を行う命令
MATLAB，Scilab には，行列の行列式，階数，逆行列を計算したり，連立一次方程式を解く命令などが用
意されています．
• det：行列の行列式を求める命令（正方行列でなくてはいけません）
m = 3; n = 3;
ans =
A = rand(m,n);
=⇒
det(A)
-0.0994
• rank：行列の階数を求める命令
m = 50; n = 100;
ans =
A = rand(m,n);
=⇒
rank(A)
50
• inv：行列の逆行列を求める命令
A = [ 1 -1 0; -1 2 -1; 0 -1 2 ];
ans =
=⇒
X = inv(A);
3
2
1
X
2
2
1
A*X
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ans =
• \（バックスラッシュ）：連立一次方程式を解く命令
m = 3; n = 3;
x =
A = rand(m,n);
=⇒
-10.1395
b = rand(m,1);
x = A\b
norm(b-A*x)
3.7206
-0.3592
ans =
7.3277e-16
連立一次方程式 Ax = b を解いて x を求め，∥b − Ax∥2 を計算しています．誤差の影響でこの値は完
全に 0 にはなりませんが，十分に良い x が求められていることを示しています．7.3277e-16 が出力結
果として表示されていますが，これは 7.3277 × 10−16 を表しています．
【補足】Mac OS X 環境におけるバックスラッシュの入力について
Mac OS X 環境でバックスラッシュを入力するには，「option キー」を押しながら「Y
=キー」を押します．
5
グラフの描画
4
MATLAB, Scilab でグラフの描画するには plot 関数を利用します．ここでは例として，4 つの点 A(0, 0)，
B(2, −1)，C(4, 0)，D(2, 1) を結んでできる菱形 ABCD を描画します．点 A, B, C, D の x 座標，y 座標を第
1 成分，第 2 成分にもつベクトル a, b, c, d をそれぞれ





 

0
2
4
2
a =  0  , b =  −1  , c =  0  , d =  1 
1
1
1
1
とします．菱形 ABCD を描画するには，以下のコードを実行します．MATLAB において，1 つのグラフに
複数の図形を描画するには hold on コマンドを実行します．Scilab では，最初から 1 つのグラフに複数の図
形を描画できる設定になっているので，このコマンドの実行は必要ありません．
¶
MATLAB・Scilab コード
³
0; 1 ];
% 点 A に対応するベクトル．
b = [ 2; -1; 1 ];
% 点 B に対応するベクトル．
c = [ 4;
0; 1 ];
% 点 C に対応するベクトル．
d = [ 2;
1; 1 ];
% 点 D に対応するベクトル．
a = [ 0;
X = [ a b c d a ];
% 点 A, B, C, D をまとめた行列．
plot( X(1,:), X(2,:) );
hold on;
% 菱形 ABCD の描画
% Scilab では不要．MATLAB で 1 つのグラフに複数の図形を描画するためのコマンド．
a1 = [ -2; -3; 1 ];
b1 = [
0; -4; 1 ];
c1 = [
2; -3; 1 ];
d1 = [
0; -2; 1 ];
X1 = [ a1 b1 c1 d1 a1 ];
plot( X1(1,:), X1(2,:) );
% 別の図形の描画
µ
´
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
−3.5
−4
−2
図 12 MATLAB で描画したグラフ．
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
図 13 Scilab で描画したグラフ．
6
3
3.5
4

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