null

信号とシステム (平成 27 年度前期) 試験問題
解答用紙は各問題につき 1 枚使用すること．
問題 1. 以下の設問に答えよ．
(i) 実数の連続時間信号 x(t) のフーリエ変換を X(jω) とする．このとき，
次式が成り立つことを示せ．
∫ ∞
∫ ∞
1
2
|X(jω)|2 dω
x (t)dt =
2π −∞
−∞
(ii) X(z) が次で与えられる両側系列 x(n) を求めよ．ただし，収束領域
(ROC) は 0.7 < |z| < 2 とする．
X(z) =
−0.1z −1 + 3.05z −2
(1 − 0.5z −1 )(1 + 0.7z −1 )(1 + 2z −1 )
(iii) 離散時間信号 x(n), n = 0, · · · , N − 1 の離散フーリエ変換 (DFT)
Xk =
N
−1
∑
x(n)e−j
2πnk
N
, k = 0, · · · , N − 1
n=0
を高速に計算するためのアルゴリズムである高速フーリエ変換 (FFT) の
原理について，数式を用いて説明せよ．
問題 2.
時刻 k での入力信号ベクトルとフィルタ係数ベクトルがそれぞれ x(k) =
[x(k) · · · x(k − N + 1)]T , h(k) = [h0 (k) · · · hN −1 (k)]T で与えられる N タッ
プの適応 FIR フィルタを考える（信号及びフィルタ係数は全て実数）．時
刻 k での希望信号を d(k) としたとき，最小二乗法では各時刻 k で
J(k) =
k
∑
{
}2
d(i) − x(i)T h(k)
i=1
を最小にする h(k) を求める．以下の設問に答えよ．
(i) J(k) を最小にする解 hLS (k) が満足する方程式を導出し，hLS (k) を求
めよ．ただし，X(k) = [x(1) · · · x(k)], d(k) = [d(1) · · · d(k)]T を用いて
よい．
(問題は２枚目につづく)
(ii) 設問 (i) の hLS (k) を用いたときの誤差を eLS,l (k) = d(l)−x(l)T hLS (k),
l = 1, . . . , k とすると, eLS (k) = [eLS,1 (k) · · · eLS,k (k)]T と xi (k) = [x(1 −
i) · · · x(k − i)]T , i = 0, . . . , N − 1 が直交することを示せ．
(iii) ブロック行列の逆行列を考えることで，次の逆行列補題を証明せよ．
(A + BD −1 C)−1 = A−1 − A−1 B(D + CA−1 B)−1 CA−1
(iv) 逐次最小二乗法 (RLS アルゴリズム) は J(k) を最小にする解を逐次的
に求めるアルゴリズムである．このアルゴリズムが，
P (k)x(k + 1)x(k + 1)T P (k)
1 + x(k + 1)T P (k)x(k + 1)
P (k)x(k + 1)
e(k + 1)
hLS (k + 1) = hLS (k) +
1 + x(k + 1)T P (k)x(k + 1)
P (k + 1) = P (k) −
で与えられることを示せ．ただし，P (k) = [X(k)X(k)T ]−1 ，e(k + 1) =
d(k + 1) − x(k + 1)T hLS (k) である．
(問題はここまで)

Download Report