Blatt 11

Dr. Frank Wübbeling, MSc Julian Rasch
SS 16
Übungen zur Vorlesung Praktische Einführung in die Numerik
Übungsblatt 11, Abgabe: Donnerstag, 7. Juli 2016, 12.00 Uhr
Übungstermine:
Gruppe 1:
Gruppe 2:
Gruppe 3:
Mo.
Di.
Di.
16 - 18 Uhr
10 - 12 Uhr
10 - 12 Uhr
N1
SR1C
N1
Aufgabe 1: (4 Punkte)
Es sei
Leoni Hoffboll
Leoni Hoffboll
Adrian Chaluppka
BK 120
BK 120
BK 130


1 2 3
A =  2 3 0 .
3 0 2
und b ∈ R3 fest gewählt. Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge
1
(5xk + Axk ) + b
12
für jede Wahl von x0 gegen den gleichen Grenzwert x konvergiert. Berechnen Sie x.
Hinweis: Nutzen Sie den Satz von Gerschgorin, um die Eigenwerte von A abzuschätzen.
Für den zweiten Teil dürfen Sie auch Matlab nutzen.
xk+1 =
Aufgabe 2: (4 Punkte)
Sei f ∈ C 3 . Zeigen Sie, dass der zentrale Differenzenquotient für die zweite Ableitung
D2 f =
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)
h2
die Konsistenzordnung 2 besitzt.
Aufgabe 3 (Programmieraufgabe): ( Punkte)
Die Lösung der Anfangswertaufgabe y 0 (x) = f (x, y(x)) mit y(0) = y0 ∈ R soll im Intervall
I = [0, 1] in den Punkten xk := kh, k = 1, . . . , n mit Schrittweite h := 1/n berechnet
werden.
Implementieren Sie dazu das explizite Euler-Verfahren und testen Sie Ihr Programm an
den folgenden Anfangswertaufgaben:
• y 0 (x) = 1 + y(x)2 , y(0) = 0, I = [0, 1], exakte Lösung: y(x) = tan(x),
• y 0 (x) = y(x) + x, y(0) = 1, I = [0, 1], exakte Lösung: y(x) = 2ex − (1 + x)
Wählen Sie n = 5, 10, 20, 50 und plotten Sie sowohl Ihre Ergebnisse, als auch das exakte
Ergebnis. Was fällt Ihnen auf?

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