Special Lagrange 部分多様体

コンパクトCalabi-Yau多様体に対
する開弦のミラー対称性の解析
清水将英
(北海道大学＆名古屋大学 D2)
H. Fuji, M. Jinzenji, S. Nakayama, M.S., H. Suzuki TO APPEAR
2009年7月7日＠YITP
導入
Ⅱ型 string theory /
+ (超対称) D-brane
⇒4次元 N=1 超対称ゲージ理論
Open mirror Symmetryを用いて、
• 4次元N=1理論の超ポテンシャルへの非摂動的寄与（世界面 instantonの効
果）を計算
(Physics)
• 複素3次元内部空間のdisk不変量を計算
Compact CY ・・・
(Geometry)
’06～, Walcher
Morrison-Walcher
Pandharipande-Solomon-Walcher
Krefl-Walcher, Knapp-Sheiddegger
Jockers-Soroush, Grimm-Ha-Klemm-Klevers
Alim-Hecht-Mayer-Mertens, ……
本研究：
“direct integration”という素朴で明快な手法を提唱
OPEN Mirror Symmetry
A-model on
＋ A-brane
(special Lagrange部分多様体)
⇒ (実) 3次元
今回： disk近似
B-model on
“mirror”
＋ B-brane
(正則部分多様体)
⇒ (実) 偶数次元
OPEN Mirror Symmetry
A-model on
＋ A-brane
(special Lagrange部分多様体)
⇒ (実) 3次元
今回： disk近似
Open
Mirror 対称性
B-model on
“mirror”
＋ B-brane
(正則部分多様体)
⇒ (実) 偶数次元
OPEN Mirror Symmetry
A-model on
＋ A-brane
(special Lagrange部分多様体)
⇒ (実) 3次元
• 非摂動的効果（世界面
instanton）がある
今回： disk近似
Open
Mirror 対称性
B-model on
“mirror”
＋ B-brane
(正則部分多様体)
⇒ (実) 偶数次元
世界面instantonはない
OPEN Mirror Symmetry
A-model on
＋ A-brane
(special Lagrange部分多様体)
⇒ (実) 3次元
• 非摂動的効果（世界面
instanton）がある
“physical” なⅡA型理論 /
＋超対称 brane
今回： disk近似
Open
Mirror 対称性
B-model on
“mirror”
＋ B-brane
(正則部分多様体)
⇒ (実) 偶数次元
世界面instantonはない
“physical” なⅡB型理論 /“mirror”
＋超対称 brane
OPEN Mirror Symmetry
A-model on
＋ A-brane
(special Lagrange部分多様体)
⇒ (実) 3次元
今回： disk近似
Open
Mirror 対称性
• 非摂動的効果（世界面
instanton）がある
“physical” なⅡA型理論 /
＋超対称 brane
×
4次元N=2 ⇒N=1
B-model on
“mirror”
＋ B-brane
(正則部分多様体)
⇒ (実) 偶数次元
世界面instantonはない
“physical” なⅡB型理論 /“mirror”
＋超対称 brane
ⅡA・・・・・・D6-brane
ⅡB・・・・・・D3, D5, D7, D9-brane
Becker-Becker-Strominger
Ooguri-Oz-Yin
4次元N=1理論への寄与
⇒ 超ポテンシャル
正則曲線（D5）
Ooguri-Vafa
Aganagic-Vafa
4次元N=1理論への寄与
⇒ 超ポテンシャル
正則曲線（D5）
disk 不変量
（正則円盤の数）
Ooguri-Vafa
Aganagic-Vafa
4次元N=1理論への寄与
⇒ 超ポテンシャル
正則曲線（D5）
disk 不変量
（正則円盤の数）
世界面
instanton
Ooguri-Vafa
Aganagic-Vafa
disk の面積:
⇒ A-braneの
変形自由度
A-brane L
4次元N=1理論への寄与
⇒ 超ポテンシャル
正則曲線（D5）
Mirror 写像
disk 不変量
（正則円盤の数）
世界面
instanton
Ooguri-Vafa
Aganagic-Vafa
disk の面積:
⇒ A-braneの
変形自由度
A-brane L
4次元N=1理論への寄与
⇒ 超ポテンシャル
正則曲線（D5）
Mirror 写像
disk 不変量
（正則円盤の数）
世界面
instanton
Ooguri-Vafa
Aganagic-Vafa
disk の面積:
⇒ A-braneの
変形自由度
A-brane L
reduction
Brane 世界体積上のgauge理論
正則Chern-Simons理論
Witten
4次元N=1理論への寄与
⇒ 超ポテンシャル
正則曲線（D5）
Mirror 写像
disk 不変量
（正則円盤の数）
世界面
instanton
Ooguri-Vafa
Aganagic-Vafa
disk の面積:
⇒ A-braneの
変形自由度
A-brane L
⇒ “相対”周期
cf. （普通の）周期：
正則3形式の3-cycle上の積分
4次元N=1理論への寄与
⇒ 超ポテンシャル
正則曲線（D5）
Mirror 写像
disk 不変量
（正則円盤の数）
世界面
instanton
Ooguri-Vafa
Aganagic-Vafa
disk の面積:
⇒ A-braneの
変形自由度
⇒ “相対”周期
cf. （普通の）周期：
正則3形式の3-cycle上の積分
A-brane L
Open moduli
, :
4次元N=1ゲージ理論の
chiral多重項のスカラー場の真空期待値
4次元N=1理論への寄与
⇒ 超ポテンシャル
正則曲線（D5）
Mirror 写像
disk 不変量
（正則円盤の数）
世界面
instanton
Ooguri-Vafa
Aganagic-Vafa
disk の面積:
⇒ A-braneの
変形自由度
⇒ “相対”周期
cf. （普通の）周期：
正則3形式の3-cycle上の積分
A-brane L
Open moduli
, :
4次元N=1ゲージ理論の
chiral多重項のスカラー場の真空期待値
設定
• compact CY
• worldsheet : disk
• brane の枚数1 ⇒ 4次元 N=1 U(1) ゲージ理論
• B-brane : 正則曲線 (D5)
話を具体的に：
CY：Quintic – mirror Quintic
A側:
B側:
複素構造 moduli
A-brane v.s. B-brane （Quintic – mirror Quintic）
A-brane
Special Lagrange 部分多様体
⇒ 反正則対合の固定点～
変形パラメータ = open moduli
⇒ 離散的!!
B-brane
正則部分多様体 (今は正則曲線)
A-brane v.s. B-brane （Quintic – mirror Quintic）
A-brane
Special Lagrange 部分多様体
⇒ 反正則対合の固定点～
変形パラメータ = open moduli
⇒ 離散的!!
B-brane
正則部分多様体 (今は正則曲線)
A-brane v.s. B-brane （Quintic – mirror Quintic）
A-brane
Special Lagrange 部分多様体
B-brane
正則部分多様体 (今は正則曲線)
⇒ 反正則対合の固定点～
変形パラメータ = open moduli
⇒ 離散的!!
Mirror Brane Pair
cf. 行列因子化 etc
Brunner-Douglas-Lawrence-Romelsberger
Hori-Walcher
Brunner-Hori-Hosomichi-Walcher
Herbst-Hori-Page
……
A-brane v.s. B-brane （Quintic – mirror Quintic）
A-brane
Special Lagrange 部分多様体
B-brane
正則部分多様体 (今は正則曲線)
⇒ 反正則対合の固定点～
変形パラメータ = open moduli
⇒ 離散的!!
Mirror Brane Pair
⇒ dim =1
A-brane v.s. B-brane （Quintic – mirror Quintic）
A-brane
Special Lagrange 部分多様体
B-brane
正則部分多様体 (今は正則曲線)
⇒ 反正則対合の固定点～
変形パラメータ = open moduli
⇒ 離散的!!
Mirror Brane Pair
⇒ dim =1
重要な事実：Spacetimeの描像での解釈
ⅡA
×
⇒ BPS domainwall
D6-D4 BPS-bound
Ooguri-Vafa (cf. Gopakumar-Vafa)
domainwall tension ⇒
ⅡB
On-shell v.s. off-shell
従来の周期を求める手法：
周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を
決定しその解を求める
Morrison-Walcher
Krefl-Walcher
離散的 open moduli
Knap-Scheidegger
（通常の）Picard-Fuchs 方程式＋α
Walcher
⇒ 非斉次Picard-Fuchs 方程式
On-shell v.s. off-shell
従来の周期を求める手法：
周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を
決定しその解を求める
Morrison-Walcher
Krefl-Walcher
“on-shell” 離散的 open moduli
Knap-Scheidegger
（通常の）Picard-Fuchs 方程式＋α
Walcher
⇒ 非斉次Picard-Fuchs 方程式
“off-shell”
“仮想的な” 連続 open moduli
Jockers-Soroush
Grimm-Ha-Klemm-Klevers
On-shell v.s. off-shell
従来の周期を求める手法：
周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を
決定しその解を求める
Morrison-Walcher
Krefl-Walcher
“on-shell” 離散的 open moduli
Knap-Scheidegger
（通常の）Picard-Fuchs 方程式＋α
Walcher
⇒ 非斉次Picard-Fuchs 方程式
“off-shell”
“仮想的な” 連続 open moduli
Jockers-Soroush
Grimm-Ha-Klemm-Klevers
（CYの中の超曲面）
3-chain
⇒ 拡張 Picard-Fuchs 方程式
(closed moduli + open moduli)
解
On-shell v.s. off-shell
従来の周期を求める手法：
周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を
決定しその解を求める
Morrison-Walcher
Krefl-Walcher
“on-shell” 離散的 open moduli
Knap-Scheidegger
（通常の）Picard-Fuchs 方程式＋α
Walcher
⇒ 非斉次Picard-Fuchs 方程式
“off-shell”
“仮想的な” 連続 open moduli
Jockers-Soroush
Grimm-Ha-Klemm-Klevers
（CYの中の超曲面）
3-chain
⇒ 拡張 Picard-Fuchs 方程式
(closed moduli + open moduli)
解
新手法
従来の周期を求める手法：
周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を
決定しその解を求める
⇒ 非常に煩雑
新手法
従来の周期を求める手法：
周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を
決定しその解を求める
⇒ 非常に煩雑
我々の手法：
相対周期の積分を直接実行する!!
新手法
従来の周期を求める手法：
周期積分（今の場合は相対周期積分）が満たす微分方程式を
決定しその解を求める
⇒ 非常に煩雑
我々の手法：
相対周期の積分を直接実行する!!
コンパクト CY の正則3形式の表式：
Griffiths-Dwork
通常の周期
相対周期
Jockers-Soroush
座標変換
• braneに対する
• 局所座標を取る
作用の特異点を解消
Morrison-Walcher
特異点解消
の周り
の周り
• 良い座標をとる
最終的な局所座標
積分の実行
CY （Quintic）の定義方程式
brane の定義方程式
相対周期
Y積分を実行
で展開
各変数が分離!!
各積分を実行： , は容易
問題は
だが解析接続や種々の積分公式を駆使すれば求まる
off-shell “有効” 超ポテンシャル
⇒ Jockersらの結果を再現
“On-shell” 超ポテンシャル
臨界点
極限
結果
⇒ Walcherの結果を再現
domainwall tensionを直接得た
(自然：
を考えているから（
と
を両方とも考えている）
B-model側での計算が終了
A-modelの描像に移る
Mirror写像： moduliについて平坦座標をとる
⇒ mirror dual側のmoduli座標に!
Disk不変量（正則円盤の数）
世界面 instanton
Open Gromov-Witten 不変量（写像の“数”）
多重被覆公式
Ooguri-Vafa
disk不変量（正則円盤の数）
Ooguri-Vafa不変量（BPS状態数）
整数になるべき！
整数性
特徴二つ
• 全部偶数
⇒ 正則diskは二つペア
＋
• 偶数次は無い
⇒ 境界に2回巻くと0
（閉弦の自由度になる）
まとめと展望
•相対周期積分を直接実行することによってoff-shell 有効超potential （BPS
domainwall tension）を計算した
•Jockersら、Walcherらの結果を再現
•シンプルで明快
他のモデルやこれまで計算できなかった種類のCYに機能すると期待
closed moduliの数が一つではなく多い場合
open moduliが
の場合
（完全交差の場合にWalcherが見つけた）
open moduliが連続的な場合（？）
とにかく面白く豊富な内容を含む
現象論・宇宙論への応用？
まとめと展望
•相対周期積分を直接実行することによってoff-shell 有効超potential （BPS
domainwall tension）を計算した
•Jockersら、Walcherらの結果を再現
•シンプルで明快
他のモデルやこれまで計算できなかった種類のCYに機能すると期待
closed moduliの数が一つではなく多い場合
open moduliが
の場合
（完全交差の場合にWalcherが見つけた）
open moduliが連続的な場合（？）
とにかく面白く豊富な内容を含む
現象論・宇宙論への応用？
ありがとうございました！

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