場合の数 問題 次の空欄に当てはまる数を答えよ。 4 2 3920を素因数分解すると × × である。した がって、3920の正の約数は1と3920を含めて 個あり、それらの 和は である。また、3920以下の自然数のうち、2でも5でも割り 切れないものは 個ある。 3920の約数の個数を考える。 3920= 24 ∙ 72 ∙ 5 22 ∙ 7 ∙ 5 = 140 たとえばこの中から22 と7と5を取ってみたとすると・・・ 3920の約数！ たとえばこの中から2をとらずに、7と5を取ってみたとすると・・・ 7 ∙ 5 = 35 3920の約数！ たとえばこの中から23 と72 と5を取ってみたとすると・・・ 23 ∙ 72 ∙ 5 =560 3920の約数！ 結局この中から 2 4 ∙ 72 ∙ 5 ５を０から１個中から何個取るか ２を０から４個の中から何個取るか ７を０から４個の中から何個取るか 24 ∙ 72 ∙ 5 ２通り ５通り ３通り 5× 3 × 2 = 30 ∴30通り 一般に自然数Nが𝑝𝑎 ∙ 𝑞𝑏 ∙ 𝑟 𝑐 と素因数分解されるとき、Nの約数の総和は (1 + 𝑝 + ⋯ + 𝑝𝑎 ) (1 + 𝑞 + ⋯ + 𝑞𝑏 )(1 + 𝑟 + ⋯ + 𝑟 𝑐 )となる。 よってこの定理を今回の場合に適用すると (1 + 21 + 22 + 23 +24 ) 1 + 71 + 72 1 + 5 = 10602 ∴ 10602 3920以下の自然数のうち、2でも5でも割り切れないものの個数を 調べる。 3920以下の自然数 この斜線部分が 2でも5でも割り切 れない数の集合 2で割り切れる 5で割り切れる まず、２または５で割り切れる数を求めて、全体から引けばよいだろう。 重複部分 3920以下の自然数 2で割り切れる 5で割り切れる ２で割り切れるものの個数は3920÷2=1960 5で割り切れるものの個数は3920÷5=784 2かつ5で割り切れるもの（つまり10で割り切れるもの）の個数は3920÷10=392 392個 2352個 1960個 784個 よって 重複部分 3920 − 2352 = 1568 集合全体 ２または５で割り切れる ∴ 1568
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