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Bassモデルにおける
最尤法を用いたパラメータ推定
大井憲人
Bassモデルのベース
dN (t ) 
q

  p  N (t )m  N (t )   (1)
dt
m


N (t ) : t時点における累積購買者数
m : 潜在市場
p : innovation効果
q : imitation効果
離散的なモデル
• 新しい消費者向け製品の初回購入のタイミン
グを考える上で、Bassは離散的でベースのモ
デルと類似な方程式を用いた。
q
P(t )  p  ( ) N (t  1)
m
P(t ) : 期間(t  1, t )において購買し始める確率
N (0)  0
増分採用者の期待値
• t-1期に採用者でないままでいる数は、m-N(t)
である。
• よって、期間(t-1,t)における採用者X(t)は
q
E ( X (t ))  ( p  N (t  1))( m  N (t  1))    (2)
m
OLSを用いたパラメータの推定
X (t )  pm  (q  p ) N (t  1)  q / mN 2 (t  1)
また 1  pm,  2  q  p,  3  q / mの推定として、
最小二乗法より 1 ,  2 ,  3を推定する事が出来れば
p  1 / m
q   m 3
  2   2  41 3
m
2 3
2
として p, q, mを推定することが出来る。
OLSを用いたパラメータの推定
T(時間)
S(購入者数) N（累積購入者数）
f(N(t-1))（推
定）
(f(N(t-1))S)^2
0
32
0
39.37854
54.44289
1
50
32
48.80318
1.432372
2
62
82
62.64112
0.411034
3
69
144
78.29608
86.41719
4
89
213
93.76069
22.66418
5
140
302
110.662
860.7211
6
150
442
130.304
387.9332
7
128
592
141.9269
193.9578
8
122
720
144.1376
490.0713
9
140
842
139.6383
0.130841
10
123
982
126.5303
12.46276
11
119
1105
108.0071
120.8436
合計
1224
1224
2231.488
OLSを用いたパラメータの推定
160
140
39.3785426
b=
0.301451229
c=
-0.000216601
R^2=
0.872194303
m=
7.09358E-05
q=
1.53648E-08
p=
555129.1134
120
100
SALES
a=
80
ACTUAL
PREDICTED
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
TIME
7
8
9
10
11
OLSを用いた推定の問題点
• 明らかに、α1,α2,α3の代替改良が無限に可
能である。（Heeler and Hustand）
• (2)式の左辺はN(t)の導関数であり、X(t)で表
して区別すべきでない。
X(t)は採用率がピークに達する前の時間にお
いて、dN(t)/dtを少なく見積もってしまう。また
ピーク後は大きく見積もってしまう。
最尤法
• 最尤法（Maximum likelihood estimation:MLE）
とは、統計学において与えられたデータから
それが従う確率分布の母集団を推測する為
に用いられる方法で、尤度の概念を利用する
ものである。
Bassモデルへの応用
• 最尤推定法を用いてパラメータを推定する。
観測された標本は「最も尤もらしい状況」が起
きた結果、と考えるのは推定の発想として自
然である。
標本に対する尤度関数を作り、標本の値を固
定し、尤度関数（対数尤度関数）を最大にす
るような最尤推定量（パラメータ（a,b,c））を算
出すれば良い。
尤度関数の導入
• F(t)の導入は省略
 ( p  q )t
1 e
F (t ) 
   (*)
q ( p  q ) t
1 e
p
F (t ) : 0時点から t時点までの累積販売確率分布
p : innovation効果
q : imitation効果
尤度関数の導入
• (※)が適しているのは、最終的に普及購買し
た採用者が市場全体を占めたときである。
採用時間において無条件な確率は、c(最終
普及率)を用いて表す。
 bt
c(1  e )
F (t ) 
   (3)
 bt
(1  ae )
where
a  q/ p
b  ( p  q)
尤度関数の導入
• 潜在採用者の総数を新たにMとすれば、実
際に推定したい最終的な採用者mの値は
m=cMより求めることが出来る。
よって時点 tにおける累積採用者数 N (t )は
E ( N (t ))  cMF (t )
Differenti ating
dE ( N (t )) 
q

 p
E ( N (t )) cM  E ( N (t ))    (4)
dt
cM


尤度関数の導入
• SchmittleinとMahajanが改良したモデル((4)式)は
採用時の分布で始まるものであるのに対し、
Bassのベースのモデル((1)式)は微分方程式を定
式化したものであり、その間には違いがある。
 累積分布関数の影響や予想される動作に基づ
いて、パラメータpとqはまだ革新と模倣の係数と
して解釈されるかもしれないが、最小二乗法で
得られた推定値p,qを直接比べることは出来ない。
尤度関数の導入
T : データが利用出来る期間
xi : 期間(ti 1 , ti )における採用者数
(i  1,2,..., Tであり、 t0  0, tT  )
ここで、 xT 個々人はtT 1時点まで採用しなかった
事は分かるが、彼らの採用時期についての情報
は持っていない。つま
xT  M  t 1 xi
T 1
となる。
り
尤度関数の導入
以上より、尤度関数は
T 1
L(a, b, c, xi )  1  F (tT 1 ) T  F (ti )  F (ti 1 ) i
x
x
i 1
となり、
対数変換をした対数尤度関数は

 1  e bti

1  e bti1  
1  e btT 1 
l (a, b, c, xi )   xi ln c  ln 

 xT ln 1  c
bti
bti 1  
btT 1 
1

ae
1

ae
1

ae
i 1





となる。
T 1
推定量
a, b, cの推定量を aˆ , bˆ, cˆとすると
p, q, mの推定量は
bˆ
pˆ 
(aˆ  1)
aˆbˆ
qˆ 
(aˆ  1)
mˆ  cˆM
で表す。
推定値について
• L(a,b,c,xt)を最大にするパラメータa,b,cの明示
的な式は存在しない。
最尤推定量はHooke-Jeeves加速パターン検
索（Himmelblau 1972）を使用することで得ら
れる。
その時の制約条件は(a≧0,b≧0,0≦c≦1)であ
る。
最尤法について
• 尤度関数は標本の関数なので、他の推定量
と同じく最尤推定においても、標本が異なれ
ば異なる推定量が得られる。すなわち最尤推
定量は確率変数である。
最尤推定量は分散を持つので、標本の大き
さや信頼区間といった標本調査の枠組みを
用いた検定をすることが出来る。
推定量の漸近正規性
• 推定量は漸近的に正規分布従う。
小さい規模のサンプルの特性を得ることはシ
ミュレーションを除き困難であるが、MLEの漸
近正規性を用いることで可能。
パラメータa,b,cの漸近的な共分散行列を得る
ことで、対応するp,q,mについても発生させ
る。
最尤法について
• 通常の耐久消費財のように標本数が膨大なも
のには標本誤差が小さくなりすぎてしまい、実際
以上に信頼度が高くなってしまう。
 その他の誤差についてはモデルに組み込まれ
ていない（口コミ効果など）で、標本数が膨大な
ものには不向きである。（この問題を解決したの
が非線形推定法）
• またcは割合なのでm=cMのM（潜在採用者の総
数）は何らかの方法で推定しなければならない。
参考文献
• David C. Schmittlein and Vijay Mahajan/”
Maximum Likelihood Estimation for an
Innovation Diffusion Model of New Product”,
Marketing Science, Vol. 1, No. 1 (Winter, 1982),
pp. 57-78

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