AASHITE SOUSHITE KOUYATTE

＝２次関数編その１＝
平方完成をする問題＜メニュー画面＞
＜基本操作＞
＜ミスしやすい例＞
グラフを描く問題
＜２次関数のグラフの描き方＞
平行移動の問題
＜移動した後の式を求める＞
＜どのように移動したのかを求める＞
関数の式を求める問題
＜頂点や軸が与えられた場合＞
＜３点が与えられた場合＞
＜平方完成をする問題基本＞
問１
𝑦 = 2𝑥 2 + 12𝑥 + 19 を平方完成
しなさい。
平方完成とは
式を変形すること
を言います。
𝑦 = 2𝑥 2 + 12𝑥 + 19 の形を
変形
𝑦 = 2(𝑥 + 3)2 +1
の形に
＜平方完成をする問題基本＞
問１
𝑦 = 2𝑥 2 + 12𝑥 + 19 を平方完成
手順１
しなさい。
𝑥 2 の係数で、
𝑥 2 と𝑥 の項を
𝑦 = 2𝑥 2 + 12𝑥 + 19
= 2(𝑥 2 + 6𝑥) + 19
２でくくった
そのまま
くくります。
＜平方完成をする問題基本＞
問１
𝑦 = 2𝑥 2 + 12𝑥 + 19 を平方完成
手順２
しなさい。
𝑥の係数の
半分の２乗を足して
𝑦 = 2𝑥 2 + 12𝑥 + 19
それを引きます。
= 2(𝑥 2 + 6𝑥) + 19
= 2(𝑥 2 + 6𝑥 + 9 − 9) + 19
６の半分は３だから
その２乗の９を足す
足した分を
引いておく
＜平方完成をする問題基本＞
問１
𝑦 = 2𝑥 2 + 12𝑥 + 19 を平方完成
手順３
しなさい。
４つ目の項を
カッコの外に出し
𝑦 = 2𝑥 2 + 12𝑥 + 19
ます。
= 2(𝑥 2 + 6𝑥) + 19
= 2(𝑥 2 + 6𝑥 + 9 − 9) + 19
（）の外に出した
= 2 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 − 18 + 19
＜平方完成をする問題基本＞
問１
𝑦 = 2𝑥 2 + 12𝑥 + 19 を平方完成
手順４
しなさい。
カッコの部分を
因数分解して
𝑦 = 2𝑥 2 + 12𝑥 + 19
カッコの外の部分を
計算します。
= 2(𝑥 2 + 6𝑥) + 19
= 2(𝑥 2 + 6𝑥 + 9 − 9) + 19
= 2 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 − 18 + 19
= 2(𝑥 + 3)2 +1
答
使った公式
𝑥 2 ± 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 ± 𝑎)2
＜平方完成をする問題ミスしやすい例＞
2 2
問２ 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 + 1 を平方完成しなさい
3
2 2 3
𝑦=
𝑥 − 𝑥 +1
3
2
2
でくくった
3
そのまま
2
3
3
（※） − 1 ÷ = −1 × = −
3
2
2
手順１
𝑥 2 の係数で、
𝑥 2 と𝑥 の項を
くくります。
＜平方完成をする問題ミスしやすい例＞
2 2
問２ 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 + 1 を平方完成しなさい
3
3
3
の半分はだから
2
4
𝑥の係数の
半分の２乗を足して
2 2 3
𝑦=
𝑥 − 𝑥 +1
3
2
2 2 3
3
=
𝑥 − 𝑥+
3
2
4
手順２
それを引きます。
2
3 2
その２乗で
を足す
4
3
−
4
2
+1
足した分を
引いておく
＜平方完成をする問題ミスしやすい例＞
2 2
問２ 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 + 1 を平方完成しなさい
3
ます。
2
3
−
4
2
+1
（）の外に
出した
2 2 3
3
=
𝑥 − 𝑥+
3
2
4
４つ目の項を
カッコの外に出し
2 2 3
𝑦=
𝑥 − 𝑥 +1
3
2
2 2 3
3
=
𝑥 − 𝑥+
3
2
4
手順３
2
2
3
− ×
3
4
2
+1
＜平方完成をする問題ミスしやすい例＞
2 2
問２ 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 + 1 を平方完成しなさい
3
カッコの外の部分を
2 2 3
3
=
𝑥 − 𝑥+
3
2
4
2
2 2 3
3
=
𝑥 − 𝑥+
3
2
4
2
2
5
+
8
カッコの部分を
因数分解して
2 2 3
𝑦=
𝑥 − 𝑥 +1
3
2
2
3
=
𝑥−
3
4
手順４
3
−
4
計算します。
2
+1
2
3
− ×
3
4
答
2
+1
＜２次関数のグラフを描く＞
問３
𝑦 = 2𝑥 2 − 12𝑥 + 19 のグラフを
手順１
描きなさい。
平方完成して
頂点の座標を
𝑦 = 2(𝑥 − 3)2 +1 より頂点は (3 , 1)
頂点の求め方
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 +𝑞
符号を変える
そのまま
(𝑝 , 𝑞)
求めます。
＜２次関数のグラフを描く＞
問３
𝑦 = 2𝑥 2 − 12𝑥 + 19 のグラフを
手順２
描きなさい。
頂点をグラフに
描きます。
𝑦 = 2(𝑥 − 3)2 +1 より頂点は (3 , 1)
𝑦
1
o
3
𝑥
＜２次関数のグラフを描く＞
問３
𝑦 = 2𝑥 2 − 12𝑥 + 19 のグラフを
手順３
描きなさい。
𝑥 2 の係数で、
グラフの形を判断
𝑥 2 の係数＞０のとき
𝑥 2 の係数＜０のとき
して描きます。
下に凸
上に凸
𝑦
1
o
3
𝑥
＜平行移動移動した後の式を求める問題＞
2
問４ 𝑦 = 3(𝑥 + 2) +5 を 𝑥 方向に４、
𝑦方向に－１、平行移動したグラフの
式を求めなさい。
𝑦 = 3(𝑥 + 2)2 +5
置き換えます。
別解
𝑦 + 1 = 3( 𝑥 − 4 +2)2 +5
∴ 𝑦 = 3(𝑥 − 2)2 +4
𝑥 を 𝑥−4に
𝑦 を 𝑦+1に
答
平行移動した式を求める
𝑥方向に𝑝移動 ⇒ 𝑥 を 𝑥 − 𝑝 にする
𝑦方向に𝑞移動 ⇒ 𝑦 を 𝑦 − 𝑞 にする
＜別解移動した後の式を求める問題＞
2
問４ 𝑦 = 3(𝑥 + 2) +5 を 𝑥 方向に４、
𝑦方向に－１、平行移動したグラフの
式を求めなさい。
２次関数では
移動後の頂点の
座標を考えると
有効です。
𝑦 = 3(𝑥 + 2)2 +5
の頂点は (−2 , 5) であるから
𝑥方向に４、𝑦方向に－１、平行移動すると
移動後の頂点は (2 , 4) となる
∴ 𝑦 = 3(𝑥 − 2)2 +4
答
＜平行移動どのように移動したかを求める問題＞
2
問５ 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + 5 は
𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 6 を、
どのように平行移動したものか
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5
= (𝑥 − 2)2 +1
より頂点は (2 , 1)
𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 6
= (𝑥 + 1)2 +5
より頂点は (−1 , 5)
手順１
平方完成して
頂点を求めます。
＜平行移動どのように移動したかを求める問題＞
2
問５ 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + 5 は
𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 6 を、
どのように平行移動したものか
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 の頂点が (2 , 1)
𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 6 の頂点が (−1 , 5)
(−1 , 5) ⇒ (2 , 1)
答
𝑥方向に３,𝑦方向に－４平行移動した
2 − (−1)
1−5
手順２
頂点が、どのように
動いたかを見ます。
参考資料
＜参考資料移動の方向＞
2
問５ 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + 5 は
𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 6 を、
どっちから
どっちに移動
どのように平行移動したものか
𝑦=
𝑦
𝑥2
したのか
+ 2𝑥 + 6
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5
5
1
-1 o
2
𝑥
注意しよう！
＜関数の式を求める問題条件：頂点＞
問６次の条件を満たす２次関数の式を
求めなさい。
(−3 , 2) を頂点とし、 (−4 , 5) を通る
手順１
問題の条件から
どの式を使用する
か、判断します。
(1) 「頂点」（または「軸」）
2
⇒ 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝) +𝑞
(2) ３点(*,*)(*,*)(*,*) を通る
2
⇒ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
⇒ 問題文に「頂点」とあるので、
(1)を使用します。
＜関数の式を求める問題条件：頂点＞
問６次の条件を満たす２次関数の式を
求めなさい。
(−3 , 2) を頂点とし、 (−4 , 5) を通る
頂点が (−3 , 2) より
(−4 , 5) を通るから
答
頂点を代入し、
通る点を代入します。
類題（軸）
𝑦 = 𝑎(𝑥 + 3)2 +2 とおけて
5 = 𝑎(−4 + 3)2 +2
手順２
∴ 𝑎=3
𝑦 = 3(𝑥 + 3)2 +2
＜類題関数の式を求める問題条件：軸＞
類題次の条件を満たす２次関数の式を
求めなさい。
軸が 𝑥 = 1で、 0 , 5 , (3,11) を通る
軸が与えられた
場合は、
連立方程式を解く
ことになります。
軸が 𝑥 = 1 より
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)2 +𝑞 とおけて
(0 , 5) を通るから
5=𝑎+𝑞
(3 , 11) を通るから 11 = 4𝑎 + 𝑞
∴ 𝑎=2 𝑞=3
答
𝑦 = 2(𝑥 − 1)2 +3
＜関数の式を求める問題条件：３点＞
問７次の条件を満たす２次関数の式を
求めなさい。
(−1 , 8) (2 , 2) (3 , 4) を通る
手順１
問題の条件から
どの式を使用する
か、判断します。
(1) 「頂点」（または「軸」）
2
⇒ 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝) +𝑞
(2) ３点(*,*)(*,*)(*,*) を通る
2
⇒ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
⇒ 問題文に「頂点」とあるので、
(2)を使用します。
＜関数の式を求める問題条件：３点＞
問７次の条件を満たす２次関数の式を
求めなさい。
手順２
３点を代入します。
(−1 , 8) (2 , 2) (3 , 4) を通る
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 とおいて
３点を代入すると
8=𝑎−𝑏+𝑐
2 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐
4 = 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐
これを解いて 𝑎 = 1 𝑏 = −3 𝑐 = 4
答
𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 4
途中計算
＜参考資料３元１次方程式の解き方＞
３元１次方程式の解き方
8=𝑎−𝑏+𝑐
2 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐
4 = 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐
②－①より
まずは、
…①
２本ずつ引くと
…②
𝑐 が消去できます。
…③
−6 = 3𝑎 + 3𝑏
…④
∴ −2 = 𝑎 + 𝑏
③－②より
⑤－④より
2 = 5𝑎 + 𝑏
…⑤
4𝑎 = 4 ∴ 𝑎 = 1
これを④に代入して 𝑏 = −3
𝑎, 𝑏を①に代入して 𝑐 = 4

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