on brane

Braneworld上の静的球対称一般解
：諸表式と特殊解
K. Akama, T. Hattori, and H. Mukaida
Ref.
K. Akama, T. Hattori, and H. Mukaida, arXiv:1109.0840 [gr-qc]
submitted to Japanese Physical Society meeting in 2011 spring.
K. Akama, T. Hattori, and H. Mukaida, arXiv:1208.3303 [gr-qc]
0
X0
Braneworldの力学
x
g IJ

K
bulkx座標 X brane 座標 x
I

g~ 
Y
(
x
)
K
bulk 計量 g IJ ( X )
力学変数
I

x
Y
(
x
)
brane位置変数
2 , 3,
X
~
I
J
brane 計量 g(Y)Y ,Y , gIJ(Y)
1
X
は力学変数にはできない。
 braneの状態を完全に決めることができないから
g  det g IJ
定数
bulk scalar 曲率
作用積分
1
K
K
N
IJ
I


g
(
X
)
(

2


R
(
g
(
X
)))
d
X
S

g
d /d Y
IJ
bulk
~
0
~
brane
に関
K

4
~

S
 2 
 g (Y (x ))d x
matter
する量を表す
brane
定数
~  det g~
matter action
g
bulk en.mom.tensor
運動方程式 bulk Riccitensor
bulk Einstein方程式(R IJ  g IJ R / 2)  g IJ  TIJ  0
(3+1dim.)
~ ~  ~  I
南部後藤方程式 ( g  T )Y;  0 brane en.mom.tensor
bulk Einstein eq.
(R IJ  g IJ R / 2)  g IJ  TIJ  0
Nambu-Goto eq. (3+1)
~ ~  ~  I
( g  T )Y;  0
bulk Einstein方程式(R IJ  g IJ R / 2)  g IJ  TIJ  0
(3+1dim.)
~ ~  ~  I
南部後藤方程式 ( g  T )Y;  0
bulk Einstein eq. off brane
(R IJ  g IJ R / 2)  g IJ 0TIJ  0
g IJ dX I dX J  g  dx  dx   dz 2
Nambu-Goto eq. (3+1)
~ ~  ~  I
( g  T )Y;  0
前回同様、初めにoff braneの解を考える
前回は球対称解を考えたが
今回、off braneでは全く
一般の場合にの解を導く
~
g
on braneの計量を  とし、
Gaussian normal 座標zをとる


g IJ dX dX  g  dx dx  dz
I
J
2
g   g~ at z  0
Nambu-Goto eq.
bulk Einstein eq. off brane
~ ~  ~  I
( g  T )Y;  0
EIJ  (R IJ  g IJ R / 2)  g IJ  0
I
J


2
to
gOwing
dX
dX

g
dx
dx

dz
IJ

equivalent
EIJ  0  RIJ  0
Def. RIJ  R IJ  2g IJ / 3
equation
EIJ  RIJ  Rg IJ / 2
R  R 4  R44  0
Bianchi identity
D J EIJ  0
D J (RIJ  Rg IJ / 2)  0
If we assume R  0 , then
covariant derivative
covariant derivative
R 4, 4  R44,  / 2  g  4 R4   g  4 R 4  4 R4 

4
R44, 4  2g    R 4  2g  
R 4  2g  
R44

線形斉次微分方程式!
if R 4 |z 0  R44 |z 0  0, then R 4  R44  0 are guaranteed.
 The independent equations are R  0, R 4 |z 0  R44 |z 0  0
These are equivalent to R  0,
|
 4 z 0

|
44 z  0
0
Nambu-Goto eq.
bulk Einstein eq. off brane
~ ~  ~  I
( g  T )Y;  0
EIJ  (R IJ  g IJ R / 2)  g IJ  0
g IJ dX I dX J  g  dx  dx   dz 2
equivalent
EIJ  0  RIJ  0
Def. RIJ  R IJ  2g IJ / 3
equation
indep.eqs. R  0, E 4 |z 0  E44 |z 0  0
 The independent equations are
R  0,
|
 4 z 0

|
44 z  0
0
Nambu-Goto eq.
bulk Einstein eq. off brane
~ ~  ~  I
( g  T )Y;  0
EIJ  (R IJ  g IJ R / 2)  g IJ  0

[n ]
n
I
J


2
F
(
r
,
z
)

F
(
r
)
z
g IJ dX dX  g  dx dx  dz
n 0
n
[n ]
(FG )  k 0 F [n k ]G [k ]
Def. RIJ  R IJ  2g IJ / 3
[n 1]
[n ]
[0]
indep.eqs. R  0, E[ 04] |z0E44[ 0E] 
(
F
)

nF
|

0
0
,4
44 z 0

expansion F (r , z )  n 0 F [n ] (r )z n ( F  g  , 積, 逆数, 微分)
E 4 |z 0  E[ 04]
E44 |z 0  E44[ 0 ]
reduction rules
product
[n ]
(FG )
1 [n ]
 k 0 F [n k ]G [k ]
n
 k 0 F [n k ] (F 1 )[k ] / F [ 0 ]
n 1
inverse
(F )
differentiation
(F, 4 )[n 1]  nF [n ]
bulk Einstein eq. off brane
EIJ  (R IJ  g IJ R / 2)  g IJ  0
g IJ dX I dX J  g  dx  dx   dz 2
Def. RIJ  R IJ  2g IJ / 3
indep.eqs. R  0, E[ 04]  E44[ 0 ]  0
Nambu-Goto eq.
~ ~  ~  I
( g  T )Y;  0
F (r , z )  n 0 F [n ] (r )z n

(FG )  k 0 F [n k ]G [k ]
(F, 4 )[n 1]  nF [n ]
[n ]
n
( 4)
R   R 
 g  , 44 / 2  g  g  , 4 g  , 4 / 2  g  g  , 4 g  , 4 / 4


g  , 44  (g g , 4g  , 4  g g , 4g  , 4 / 2  2R 
[n]
n(n1) g
[n2]
( 4)
[n2]
)
 4g  / 3
]


( 4)
[n  2 ]
g [n

(
g
g
g

g
g
g
/
2

2
R

4

g
/
3
)
/ n (n  1)

 , 4  , 4
 , 4  , 4


これをここに使うとこれは g [n 1] と低次の係数で書ける。
[n ]
g
これは  (n  2) の帰納的定義を与える。
[0]
[1]
すべての係数 g [n] は最終的に g  , g  で書かれる。
これで、 bulkでの g  が z の冪級数の形で得られる。
bulk Einstein eq. off brane
EIJ  (R IJ  g IJ R / 2)  g IJ  0
g IJ dX I dX J  g  dx  dx   dz 2
Def. RIJ  R IJ  2g IJ / 3
indep.eqs. R  0, E[ 04]  E44[ 0 ]  0
Nambu-Goto eq.
~ ~  ~  I
( g  T )Y;  0
F (r , z )  n 0 F [n ] (r )z n

(FG )  k 0 F [n k ]G [k ]
(F, 4 )[n 1]  nF [n ]
[n ]
n
( 4)
g [n ]  (g  g ,4g  ,4  g  g ,4g  ,4 / 2  2R
 4g  / 3)[n 2] / n (n 1)
]
[0]
[1]
[n ]
g [n
g
,
g
 の帰納的定義 g  は最終的に 
 で書かれる。
]


( 4)
[n  2 ]
g [n

(
g
g
g

g
g
g
/
2

2
R

4

g
/
3
)
/ n (n  1)

 , 4  , 4
 , 4  , 4


これをここに使うとこれは g [n 1] と低次の係数で書ける。
[n ]
g
これは  (n  2) の帰納的定義を与える。
[0]
[1]
すべての係数 g [n] は最終的に g  , g  で書かれる。
これで、 bulkでの g  が z の冪級数の形で得られる。
bulk Einstein eq. off brane
EIJ  (R IJ  g IJ R / 2)  g IJ  0
g IJ dX I dX J  g  dx  dx   dz 2
Def. RIJ  R IJ  2g IJ / 3
indep.eqs. R  0, E[ 04]  E44[ 0 ]  0
Nambu-Goto eq.
~ ~  ~  I
( g  T )Y;  0
F (r , z )  n 0 F [n ] (r )z n

(FG )  k 0 F [n k ]G [k ]
(F, 4 )[n 1]  nF [n ]
[n ]
n
( 4)
g [n ]  (g  g ,4g  ,4  g  g ,4g  ,4 / 2  2R
 4g  / 3)[n 2] / n (n 1)
]
[0]
[1]
[n ]
g [n
g
,
g
 の帰納的定義 g  は最終的に 
 で書かれる。
g [0] , g [1] は E[ 04]  E44[ 0 ]  0 に従う。
E
[ 0]
4
0
g  (g  ,  4  g  , 4 ) / 2
 g b g d (g  , 4 g d ,   2g  ,  g d , 4  g  , g d , 4 ) / 4  0
E
[0]
44
0
~
R / 2  g  g  g  , 4 g  , 4 / 8  g  g  g  , 4 g  , 4 / 8    0
一般には解けない。球対称なら解ける。
bulk Einstein eq. off brane
EIJ  (R IJ  g IJ R / 2)  g IJ  0
g IJ dX I dX J  g  dx  dx   dz 2
Def. RIJ  R IJ  2g IJ / 3
indep.eqs. R  0, E[ 04]  E44[ 0 ]  0
Nambu-Goto eq.
~ ~  ~  I
( g  T )Y;  0
F (r , z )  n 0 F [n ] (r )z n

(FG )  k 0 F [n k ]G [k ]
(F, 4 )[n 1]  nF [n ]
[n ]
n
( 4)
g [n ]  (g  g ,4g  ,4  g  g ,4g  ,4 / 2  2R
 4g  / 3)[n 2] / n (n 1)
]
[0]
[1]
[n ]
g [n
g
,
g
 の帰納的定義 g  は最終的に 
 で書かれる。
g [0] , g [1] は E[ 04]  E44[ 0 ]  0 に従う。
on brane | z | d にmatter F   F |z  d F  (F   F  ) / 2
collective mode dominance on the brane
d 0
 I
南部後藤 eq. g~ Y  0
; 
[1]
g [0] , g 
は E[40 ]  E44[ 0 ]  0 と南部後藤 eq. に従う。
Theorem Under the Schwarzschild ansatz,
all the solutions of the braneworld dynamics
(Einstein & Nambu-Goto eqs. in 4+1dim.)
are given by
g IJ dX I dX J  f dt 2  h dr 2  k  (d 2  sin 2 d 2 )  dz 2 (z  0)
3
Y
 , Y 4  0
Y  t, Y  r , Y   ,
and
0
1
where f  n 0 f


2
 [n ]
z , h  n 0 h [n ]z n , k    k [n ]z n
n 0

n


with the coefficients determined by ① and ② below.
① Let f [ 0 ] andv be arbitrary functions of r. Then, we define
1
[0]

  Pdr


E
r
44  0 &南部後藤
C   Qe
dr  ,
h
r


但しP  (r / 2   2 / 4   / r  1 / r 2 ) /( / 4  1 / r )
~
Q  [1 / r 2  (3u 2  2u v  3v 2 ) / 4   2  2 / 6  ] /( / 4  1 / r )

[0]
 e r
 Pdr

u  [2v r  (  6 / r )v ] /(  2 / r ),
E[ 04]  0 &南部後藤
② We define f
f
[1]
[ 0 ]
 h [ 0 ] , k [ 0 ]  k [ 0 ]  r 2
 f [0] , h
[ 0 ]
 (2u   ) f
[0]
[0]
[1]


(
2
v


)
h
, k [1]  (2w   )k [ 0 ] ,
h
,
~
where    / 3, w  (u  v ) / 2.
For n  2 , f
f
±[n ]
 [n ]
,h
and
 [n ]
,k
 [n ]
南部後藤
are recursively defined by
R  0
[n  2 ]
f z h z f z k z f rr
1  f z
fr
f r h r f r k r 4 f 

 ±  ±  ± ± ±
 ± ±
2
±
±

n (n  1)  2 f
2h
k
h
2f h
k h
3 
2h
±2
±±
± ±
±
±2
± ±
±
± ±
[n  2 ]
±2
±± ± ± ±
±
±2
±2
±
±±
±

1  h z f z h z h z k z f rr 2krr f r
kr
f±
h
h
k
4

h
±[n ]
r r
r r

h 









2
2
±
±
±
±
±
±
±
±
±
n (n  1)  2h
2f
k
f
k
3 
2 f ± k± 2 f h k h
±[n ]
k
± [n  2 ]
 f z k z h z k z krr
1
f r kr
h r kr
4 k



 ±  ±  ± ±
2
2
±

±
n (n  1)  2 f
2h
h
2f h
3
2h
where
±±
[n]
± ±
±
± ±
± ±
[n ]
obeys the reduction rule (FG )



 k 0 F [n k ]G [k ]
n
f [n ] , h [n ] , k [n ] are finally written with f [ 0] , h [ 0] , k [ 0] , f [1] , h [1] , k [1]
and, accordingly, they are written with  and v .
Theorem Under the Schwarzschild ansatz,
all the solutions of the braneworld dynamics
(Einstein & Nambu-Goto eqs. in 4+1dim.)
are given by
g IJ dX I dX J  f dt 2  h dr 2  k  (d 2  sin 2 d 2 )  dz 2 (z  0)
3
Y
 , Y 4  0
Y  t, Y  r , Y   ,
and
0
1
where f  n 0 f


2
 [n ]
z , h  n 0 h [n ]z n , k    k [n ]z n
n 0

n


with the coefficients determined by ① and ② below.
① Let f [ 0 ] andv be arbitrary functions of r. Then, we define
1
[0]

  Pdr


E
r
44  0 &南部後藤
C   Qe
dr  ,
h
r


但しP  (r / 2   2 / 4   / r  1 / r 2 ) /( / 4  1 / r )
~
Q  [1 / r 2  (3u 2  2u v  3v 2 ) / 4   2  2 / 6  ] /( / 4  1 / r )

[0]
 e r
 Pdr

u  [2v r  (  6 / r )v ] /(  2 / r ),
E[ 04]  0 &南部後藤
Summary
bulk Einstein方程式
南部後藤方程式
braneworldの基本方程式
の一般解(on brane のdataによる
すべての解)を導出した。
解を法線座標の冪級数の形で表し、
冪級数の係数に対する帰納的定義を得た。 R  0
( 4)
g [n ]  (g  g ,4g  ,4  g  g ,4g  ,4 / 2  2R
 4g  / 3)[n 2] / n (n 1)
これは、球対称に限らず一般的に成り立つ。
On braneでは, 独立な方程式は
bulk-Einstein方程式の法線成分の両側の平均 E14[ 0 ]  E44[ 0 ]  0
と南部後藤方程式である。
球対称の場合は、任意関数をうまく選べば
on brane の方程式は厳密に解ける。
Thank you
(^O^)

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