第6回（5月19日）

論理回路
第6回
http://www.fit.ac.jp/~matsuki/LCA.html
今日の内容
• 前回の復習
• 前回の課題の解説
• 論理関数の簡単化
双対性
• 練習問題：次の論理関数の否定を計算せよ
f( x, y, z ) = ( x + y )( x + z )
f( x, y, z ) = ( x + y )( x + z )
=(x+y)+(x+z)
= x・y + x・z
= x・y + x・z
ド・モルガン
の定理
ド・モルガン
の定理
関数 f を否定すること＝各変数 x, y, x, z を否定し，
論理積と論理和を入れ替える
双対性
• T11 定数０，１を含む論理関数の恒等式は，
０と１，＋と・を同時に入れ替えても成立する
０ ⇔
１ ⇔
＋ ⇔
・ ⇔
１
０
・
＋
標準形
以下の真理値表による論理関数 f を求める
ABC
f ( A, B, C )
000
1
001
0
010
1
011
1
100
0
101
1
110
0
111
0
f ( A, B, C ) = ??
標準形（主加法標準形）
最小項（minimal term）：
すべての変数が真または偽の形で含まれて
いる論理積項（論理的な最小区分を表す）
B
③
①
⑦
⑤
A
⑧
⑥
④
②
C
① ABC
⑤ ABC
② ABC
⑥ ABC
③ ABC
⑦ ABC
④ ABC
⑧ ABC
標準形（主加法標準形）
1. fが１の行に着目
2. 入力変数が0ならば否定，1ならばそのままにし
て最小項を取る
3. すべての最小項の論理和を求める⇒ｆとなる
ABC
f ( A, B, C )
最小項
000
1
ABC
001
0
010
1
ABC
011
1
ABC
100
0
101
1
110
0
111
0
ABC
A = 0, B = 1, C = 1の時
ABC = 0・1・1 = 1
標準形（主加法標準形）
ABC
f ( A, B, C )
最小項
000
1
ABC
001
0
010
1
ABC
011
1
ABC
100
0
101
1
110
0
111
0
ABC
f( A, B, C ) =
ABC + ABC + ABC + ABC
標準形（主乗法標準形）
最大項（maximal term）：
すべての変数が真または偽の形で含まれて
いる論理和項（論理的な最大区分を表す）
B
A
C
① A+B+C
⑤ A+B+C
② A+B+C
⑥ A+B+C
③ A+B+C
⑦ A+B+C
④ A+B+C
⑧ A+B+C
標準形（主乗法標準形）
1. fが0の行に着目
2. 入力変数が0ならばそのまま，1ならば否定にし
て最大項を取る
3. すべての最大項の論理積を求める⇒ｆとなる
最大項
ABC
f ( A, B, C )
000
1
001
0
010
1
011
1
100
0
101
1
110
0
A+B+C
111
0
A+B+C
A+B+C
A+B+C
A=0, B=0, C=1の時
A+B+C = 0+0+1 = 0
標準形（主乗法標準形）
最大項
ABC
f ( A, B, C )
000
1
001
0
010
1
011
1
100
0
101
1
110
0
A+B+C
111
0
A+B+C
A+B+C
A+B+C
f( A, B, C ) =
( A+B+C )( A+B+C )( A+B+C )( A+B+C )
前回の課題の説明
論理関数の簡単化
A
B
C
D
f
A
B
C
D
f
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
問題：主加法標準形を求めよ
論理関数の簡単化
A
B
C
D
f
A
B
C
D
f
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
f = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
f = AD
簡単化のメリット
• 同じ論理関数をより簡単な回路で実現
• 回路組み立ての費用を減らす
• 故障の可能性を減らす
主加法標準形と主乗法標準形
• 関数ｆの否定を主加法標準形で表わす
• これを簡単化
• ド・モルガンの定理を使って，ｆに変換
簡単化の手法
• 公式を利用する方法
• カルノー図による方法
• クワイン・マクラスキーの方法
公式による簡単化
• ブール代数の諸公式を利用して，論理関数を
変形し，簡単化する
例３．１
f = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
①
②
③
④
+ ABCD + ABCD
⑧
⑦
①と⑥
②と⑦
③と⑤
④と⑧
X+X=1
f = ABC + ACD + ABC + ABC
⑨
⑩
⑪
⑫
⑤
⑥
例３．１
f = ABC + ACD + ABC + ABC
⑨
⑩
⑨と⑪
⑪
X+X=1
f = AC + ACD + ABC
⑬
⑩
⑫
⑫
例３．１
f = ABC + ACD + ABC + ABC
⑨
⑩
⑨に対して
⑪
⑫
X+X=X
f = ABC + ABC+ ACD + ABC + ABC
⑨
⑨´
⑨と⑪
⑨´と⑫
⑩
⑪
X+X=1
⑫
例３．１
f = ABC + ABC+ ACD + ABC + ABC
⑨
⑨´
⑨と⑪
⑨´と⑫
⑩
⑪
⑫
X+X=1
f = AC + ACD + AB
最も簡単化された式
公式による簡単化の特徴
• 公式の活用に習熟している必要がある
• 機械的な作業は困難である
• 途中の変形により結果が異なる
注意事項
• 講義に関する質問・課題提出など：
[email protected]
• メールについて
件名は，学籍番号＋半角スペース＋氏名
（例）S09F2099 松木裕二
本文にも短いカバーレター（説明）をつける
課題はWordなどで作り，添付ファイルとして送る

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