第3回

5.2 多値信号の伝送 Multiamplitude signal transmission
1つの信号波形で複数のビットを表す Transmit multiple bit per signal waveform
5.2.1 4振幅レベルの信号波 Signal waveform with 4 amplitude level
sm  Am g (t )
0≤t≤T (5.2.1)
Amはm番目の波の振幅，g(t)は方形パルス
Am is the amplitude of the mth waveform and g(t) is a rectangular pulse
 1 / T 0  t  T
g (t )  
(5.2.2)
0otherwise
g(t)のエネルギーは1に規格化 Energy in the pulse is normalized to unity
信号レベルが等間隔で4つ設定される。{Am}={-3d –d d 3d}の場合
Signal amplitude takes on one of four possible equally space values
Am  2m  3d d=0,1,2,3
(5.2.3)
2dは隣接する2つのレベルのユークリッド距離
2d is the Euclidien distance between two adjacent amplitude level
パルス振幅変調(PAM) Pulse amplitude modulated signal
波形あたり2ビットを送信できる。
Four PAM signal waveform can transmit 2 bits of information per waveform
4つの波形に対し情報ビットを次のように割り当てる。
Assign the following pairs of information bits to the 4 signal waveforms
00→s0(t)，01→s1(t)，11→s2(t)，10→s3(t)
シンボル：情報ビット{00 01 11 10}の各ペア（シンボル間隔T）
Each pair of information bits {00 01 11 10} is called a symbol.
ビットレートがR=1/Tbのときシンボル間隔はT=2Tb
If bit rate is R=1/Tb the symbol interval is T=2Tb
信号波形は信号の基底関数g(t)の伸縮で，これらの信号は実軸上の点で表現可能。
All signal waveforms are scale version of the signal basis function g(t), these are represented
geometrically as points on the real line.
PAM信号波がAWGN伝送路を使って送信されるとき，受信信号は
PAM signal waveform are transmitted through an AWGN channel. Received signal is
(5.2.4)
r (t )  si (t )  n(t ) i=0,1,2,3 0≤t≤T
n(t)は，電力スペクトル密度N0/2 (W/Hz）を持つ白色ガウス雑音。
N(t) is a sample function of a white Gaussian noise process with power spectrum N0/2 (W/Hz）
受信機の役割：0≤t≤Tで受信信号r(t)を観測し，4つのどの信号が送信されたのかを決定する。
The task of the receiver: determine witch of the 4 signal waveforms are transmitted after
observing the received signal r(t) in the interval 0≤t≤T
最適受信機：シンボル誤りを最小化にするよう設計
Optimum receiver: design to minimize the probability of a symbol error
6.2.2 AWGN伝送路の最適受信機 Optimum receiver for the AWGN channel
受信機：相関器またはマッチドフィルタと振幅判定器で構成。
Receiver is consisted of correlator or matched filter and amplitude detector
ここでは相関器を考える。Here, consider correlator.
相関器は信号パルスg(t)と受信信号r(t)の相関を取ってt=Tで出力。
Signal correlator cross-correlates the received signal r(t) with the signal pulse g(t)
相関器の出力は Signal correlator outputs
T
T
T
2
r   r (t ) g (t )dt   Ai g (t )dt   g (t )n(t )dt  Ai  n
0T
0
0
n   g (t )n(t )dt
0
T
nは中央値 E (n)   g (t ) E[n(t )]dt  0，分散
0
N is a Gaussian random variable with 0 mean and variance
T T
 2  E n2     g (t ) g ( )E[n(t )n( )]dtd
0 0
N0 T T
N0 T 2
N0

g
(
t
)
g
(

)

(
t


)
dtd


g
(
t
)
dt

2 0 0
2 0
2
を持つガウス乱数。相関器の出力の確率密度関数は
The probability density function for the output r of the signal correlator is
1
(5.2.9)
p(r | si (t )送信) 
e r  A  / 2
2 
Aiは4つの振幅値のひとつ Ai is one of the four possible amplitude values.
2
i
2
判定器：相関器の出力を観測し，その信号区間で4つのどのPAM信号が送られたの
かを決定。
Detector: Observe the correlator output r and decides which of the 4 PAM signals was
transmitted in the signal interval.
最適な振幅判定器：相関器の出力rと4つの振幅レベルを比較し，ユークリッド距離が
rに最も近い振幅レベルを選択。すなわち，
i=0,1,2,3
(5.2.10)
Di  r  Ai
を計算し，最も小さい距離に対応する振幅を選択。
Optimum amplitude detector compares the correlator output r with the 4 possible
transmitted level. It selects an amplitude level that is closest in Euclidean distance to r.
判定誤り：雑音nが振幅レベル間の半分の距離を越えたとき，すなわち|n|>dのとき
発生。
Decision error: the noise variable n exceed in magnitude one half of the distance
between amplitude level that is |n|>d
振幅レベル3dまたは-3dが送信された時，誤差は1方向だけで発生。
When amplitude level 3d or -3d is transmitted, an error can occur in one direction only.
4つの振幅レベルが同じ確率で発生すれば，平均シンボル誤り率は
Since the four amplitude levels are equally probable, the average probability of a
1
 r  A  / 2
symbol error is 3
3  1
 x / 2
p
(
r
|
s
(
t
)
送信
)

e
i
P4  P r  Am  d   
e
dx
2 
d
4
2
2 
2
3  1 x / 2
3  d 2  3  2d 2 

 N0 / 2
 
e
dx  Q
 Q
2
2 d /  2
2    2  N0 
2
2
2
2
i
2
平均誤り率を信号エネルギーで表す。シンボルあたりの平均信号エネルギーは
The average probability of error can be expressed by the signal energy.
The average transmitted
signal energy per symbol is
2
4
T
1
d
Eav    sk2 (t )dt 
(32  12  12  32 )  5d 2
4 k 1 0
4
2
d =Eav/5から
3  2d 2 
3  2 E av 
(5.2.13)
P Q
P4  Q



2  N0 
2  5N 0 
各送信シンボルは2つの情報ビットを持つ。Each transmitted symbol consists of 2 bits.
ビットあたりの送信平均エネルギーはEav/2=Eavbである。
The transmitted average energy per bit is Eav/2=Eavb
10log10(Eavb/N0)で定義したSNRと平均誤り率P4の関係
P4 is plotted as a function of the SNR defined as 10log10(Eavb/N0)
アンチポーダル信号によるバイナリデジタル変調(BPSK)の誤り率
-1
10
モンテカルロシミュレーション
理論的な誤り率
-2
10
-3
BER
10
-4
10
-5
10
-6
10
4値信号 4 level PAM
0
1
2
3
4
5
SNR(dB)
6
7
8
9
10
2値信号 binary PAM (antipodal)
例5-2 PAMシミュレーション Multiamplitude signal simulation
相関器を使ったPAM通信システムのモンテカルロシミュレーションを実行せよ。シミュ
レーションシステムのモデルは図5.19に示される。
Perform a Monte Calro simulation of the four-level PAM communication system that
employs a signal correlator. The model for the system is shown in following figure
Uniform RNG
Mapping to
amplitude
level
Gaussian random
number simulator
detector
Error counter
compare
1.
判定器の入力r：振幅レベルAmに割り当てる4値のシンボル系列を発生。
Generate a sequence of quaternary symbols mapped into amplitude level Am
(0,1)で一様乱数を発生させ，(0,0.25) (0.25,0.5) (0.5,0.75) (0.75,1)の区間に分割し，
各区間について00，01，11，10を割り当て，振幅レベル(-3d、-d、d、3d)に対応させる。
Generate a uniform random number in the range (0,1). The range is subdivided into
four equal intervals (0,0.25) (0.25,0.5) (0.5,0.75) (0.75,1). The subintervals correspond
to the symbol 00, 01, 11, 10. The RNG is mapped into the corresponding signal
amplitude (-3d, -d, d, 3d).
2. 中央値0で分散σ2の加法性雑音成分をガウス乱数発生器で発生。
The additive noise component having mean 0 and variance σ2
距離パラメータdを1に規格化しσ2を変化させる。
Normalize the distance parameter d=1 and vary σ2
3. 判定器では，r=Am+nと4つの信号レベル間の距離を計算。その出力 Âm は，
最小の距離に対応する信号の振幅レベル。
The detector observes r=Am+n and compute the distance between r and 4 possible
transmitted signal amplitude. Its output Âm is the signal amplitude level
corresponding to the smallest distance.
４．Âmを実際の送信信号レベルと比較し，判定器で発生した誤りを計数
Âm is compared with the actual transmitted signal level. Error counter counts the
errors made by detectors.
N=10000シンボルについてのシミュレーション結果
Results of the simulation for the transmissions of N=10000 symbols at different
values of average bit SNR
2
Eavb Eav 1
5 d2 

 N0 / 2




(5.2.14)
N0
2 2 2 4   2 
で定義した平均ビットSNRとシンボル誤り率の関係も示す。
main.mのerfc関数の引数 Argument of erfc function in main.m
3  d 2 
Pe  Q
(5.2.11)より
2   2 
例6-1より
 E  1
 E


Q
 erfc

 N0  2
 2N0
(5.2.14)より
 Eavb 


4
2
2
N
5d
d
2 
 2   0 
5
E  
4 avb 
 N0 
function.mファイルのsig
Sig in function m file
Eavb
5d 2
2
5d  4
 
N0
E 
4 avb 
 N0 
2
2




6.2.3 多数の振幅レベルを持つ信号波形
Signal waveform with multiple amplitude level
4つ以上のレベルを持つ複数振幅信号。M=2kのレベルを持つ信号波形
Construct multiamplitude signals with more than four levels.
A set of M=2k multiamplitude signal waveform is
0≤t≤T
m=0,1,..,M-1
(5.2.15)
sm  Am g (t )
M振幅値が等間隔で区切られる場合
m=0,1,..,M-1 M amplitude
(5.2.16)values are equally spaced
g(t)は方形パルス（式(5.2.2)）で定義される。
Am  2m  M  1d
G(t) is a rectangular pulse defined by 5.2.2
各信号波形は情報のk=log2Mビットを伝送。
Each signal waveform conveys k=log2M bits of information.
ビットレートがR=1/Tbの時，シンボルレートは1/T=1/(kTb)。
When the bit rate is R=1/Tb, the corresponding symbol rate is 1/T=1/(kTb)。
最適受信機：m=0,1,..,M-1について式(5.2.10)で与えられるユークリッド距離を計算す
る振幅判定器と相関器(またはマッチドフィルタ)で構成。最も小さい距離に対応する
振幅レベルを探し，シンボルを判定。
Optimum receiver consists of a signal correlator and an amplitude detector that
computes the Euclidean distance. The decision is made in favor of the amplitude
level that corresponds to the smallest distance.
M値PAMシステムの最適受信機の誤り率
The probability of error for the optimum detector in an M level PAM
2( M  1)  6log 2 M E avb 
PM 
Q
2



M
M

1
N
0
(5.2.17)


Eavbは情報ビットの平均エネルギー
Eavb is the average energy for an information bit
M=2,4,8,16のM値PAMのシンボル誤り率
Symbol error probability for M level PAM for 2,4,8,16

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