2016.05.20 微分・ベクトル解析 (6) 講師：幹 浩文（A314) TA：西方良太 Ｍ1 （A305） A１03（10：50~12：20） 【金】 https://www.wakayama-u.ac.jp/~hjs/bibun_bekutorukaiseki -2016/ 演習： A203（13:10~14：40） 【金】 1 スケジュール １．イントロダクション（数学の基礎準備・解説） 4/8 第4章 P72~100 ２．ベクトルとスカラー（基本演算と内積・外積） 4/15 ３．ベクトルの微分と積分 4/22 (来週4/29 ： 祝日) 第5章 P101~117 ４．スカラー場とベクトル場の微分（grad勾配） 5/6 ５．スカラー場とベクトル場の微分（div発散） 5/13 第7章 P145~176 ６．スカラー場とベクトル場の微分（rot回転） 5/20 ７．曲面と曲線 5/27 第6章 P119~144 ８．スカラー場とベクトル場の積分（線積分） 6/3 第8章 P177~201 ９．スカラー場とベクトル場の積分（面積分） 6/10 10．積分公式（グリーンの定理） 6/17 (来週6/24 授業休止日：学生大 会） 第9章 P203~239 11．積分公式（ガウスの定理） 7/1 12．積分公式（ストークスの定理） 7/8 13. 微分方程式（１階微分方程式） 7/15 第1~2章 P2~23, P25~53 14. 微分方程式（２階微分方程式） 7/22 15. まとめと演習 7/29 8/2（火）~8/8（月）：テスト期間、 (8/5)期末テスト日（予定） 2 2016.05.13（5回目）のアンケート結果 １．HPに演習問題の数・種類を増やしてほしい a. ネット上のスライドを授業中でも見れるようにしてほしい b. 中間テストに向けての対策問題をまとめてくれて欲しい ２．レポート課題や宿題はいつ出るのか。 ３．授業中でも演習問題を解く時間を増やしてほしい ４．勾配と発散の関係がよくわからない。 ５．教科書のどこを見たらいいか分かりづらい ６． スカラーの３重積：「(𝑩 × 𝑪)はベクトルの面積を表し、その向きは上 向きである」とあるが、面積に向きはあるのでしょうか。 ７．参考書で「同位面」と「同値面」が出てくるが、同じ意味なのか ８．𝛻・𝑨 = 𝑑𝑖𝑣 𝑨 がわからない ９．P162の意味がよくわからない Scalar field & Vector field 𝜕 𝜕 𝜕 = , , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Scalar field & Vector field スカラー場と勾配 gradient (grad)の復習 (𝑝147) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = ∆𝑓 = 𝜕𝑓 𝒊 𝜕𝑥 + 𝜕𝑓 𝒋 𝜕𝑦 𝜕𝑓 + 𝒌 𝜕𝑧 スカラー→ ベクトル 勾配について （勾配） 勾配：𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑜𝑟 𝛻 １変数の関数𝑓 𝑥 の 𝑑𝑓 微分係数 𝑑𝑥 勾配（接線の傾き） ３変数の関数𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 は、 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ３方向の勾配 , , をもつ。 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 𝛻𝑓 = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌= , , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 勾配について 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 𝒊+ 𝒋 = 3𝒊 + 4𝒋 𝜕𝑥 𝜕𝑦 スカラー場の勾配(gradient of scalar field) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = 𝛻𝑓 = 𝜕𝑓 𝒊 𝜕𝑥 + 𝜕𝑓 𝒋 𝜕𝑦 + 𝜕𝑓 𝒌 𝜕𝑧 𝑓 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 2 𝜕𝑓 + 𝜕𝑦 2 𝜕𝑓 + 𝜕𝑧 2 𝒈𝒓𝒂𝒅 (スカラー) = ベクトル 𝜕 𝜕 𝜕 = , , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕 𝜕 𝜕 = , , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (𝑃148) 例題１． 【解答例】 𝒓 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 𝑓 𝒓 = 𝒂・𝒓 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑦 + 𝑎3 𝑧 スカラー 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ∎ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 𝛻𝑓 = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌= , , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 【解】 1. ∴ 𝜕𝑓 = 𝑘1 𝑥 , 𝜕𝑥 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = 𝜕𝑓 𝒊 𝜕𝑥 𝜕𝑓 = 𝑘2 𝑦, 𝜕𝑦 + 𝜕𝑓 𝒋 𝜕𝑦 + 𝜕𝑓 𝒌 𝜕𝑧 𝜕𝑓 = 𝑘3 𝑧 , 𝜕𝑧 = 𝑘1 𝑥𝒊 + 𝑘2 𝑦𝒋 + 𝑘3 𝑧𝒌 接線ベクトルと単位接線ベクトル (𝑃136) 接平面と単位法線ベクトル (𝑃129) 𝜕𝒓 𝜕𝒓 × 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝑆 𝜕𝒓 𝜕𝒓 × 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝑃 𝑃 𝑆 𝑆 𝑃 (𝑃130) 定義4.16 （法線ベクトルと単位法線ベクトル）:平面に垂直なベ (𝑃97) クトルを法線ベクトルといい、長さが1の法線ベクトルを単位法線 (𝑃126) 勾配の性質 (𝑃150) １．スカラー場の方向微分係数と法線微分係 数 ) ( 法線微分係数 (𝑃151) (𝑃151) (𝑃152) (𝑃152) (𝑃153) (𝑃154) 𝑑𝒓 𝑑𝑥(𝑢) 𝑑𝑦(𝑢) 𝑑𝑧(𝑢) = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑧 (𝑃155) (𝑃155) (1) （方向微分係数） (1)より Scalar field & Vector field ベクトル場の発散 divergence (div)の復習 (𝑝160) ベクトル→ スカラー ベクトル場の発散(divergence of vector field) (𝑝160) 𝜕𝑨 𝜕𝑨 𝜕𝑨 div𝑨 = 𝛻・𝑨 ≠ 𝑨・𝛻 ≠ 𝛻𝑨 ≠ , , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ベクトル場の発散(divergence of vector field) (𝑝160) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 : スカラー関数 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 𝛻𝑓 = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌= , , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (𝑝160)より 発散とは、水の湧き出しを表すもの (𝑃161) （P162) 𝒗 𝑥, 𝑦, 𝑧 : （ベクトル場） 𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧 : （スカラー場） 流体の流れが時間に関係なく点の位置のみに依存するものとすれば、 𝑚 = 𝜌𝒗 𝑨 = 𝜌𝒗, 𝑨 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒗(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ) [𝑔/面積・時間] 𝑨 = 𝜌𝒗, 𝑨 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒗(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ) 面積∆𝑥∆𝑧 面積∆𝑥∆𝑧 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑧 div𝑨 = 𝛻・𝑨 = + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑧 div𝑨 = 𝛻・𝑨 = + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 【証明】 𝜕𝜑𝐴𝑥 𝜕𝜑𝐴𝑦 𝜕𝜑𝐴𝑧 div 𝜑𝑨 = + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝜑 =𝜑 + 𝐴𝑥 +𝜑 + 𝐴𝑦 +𝜑 + 𝐴𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 =𝜑 + + + 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐴𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 = 𝜑div𝑨 + 𝑨・𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑・ 𝑨 + 𝜑div𝑨 Scalar field & Vector field 本日の内容 ベクトル場の回転 (𝑝169) rotation (rot) ベクトル→ ベクトル ベクトル→ ベクトル (𝑝169) (𝑃169) 例題𝐴 ベクトル場𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 2 𝑦𝒊 − 2𝑥𝑧𝒋 + 2𝑦𝑧𝒌 について、 ① 𝑑𝑖𝑣 𝑭, ② 𝑟𝑜𝑡 𝑭, ③ 𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝑭 ① ② を求めよ。 ③ ベクトル場𝑨(𝒙, 𝒚, 𝒛)の回転rot𝑨 のイメージ 微分演算子とベクトル場の外積は， いったい何の回転を意味しているのでしょうか？ 『回転』という名前からは，何かが回転している様子を連想しますが， 式 の定義式からだけでは，いったい何の回転なんだかよく分から ない．微分演算子とベクトル場の外積は，いったい何の回転を意味 しているのでしょうか？ 解釈ー１ 水流の速度を表すベクトル関数を 𝑦方向成分は，スカラー関数 𝐺 で表されるから 𝜕𝐺 𝜕𝑥 > 0, もしかして、下流の方が上流より，東から西方向 （小川の流れに直交する方向）への速度があるとしたら, 時計回りの渦を作りそう．これは， ”下流に行く（ 𝑦 が増加する） ”ほど， ”東西方向の流れが速くなる（ 𝐹 が増加する）”わけで， 𝜕𝐹 同様に数式で表すと >0 𝜕𝐺 𝜕𝐹 𝜕𝑦 総合結果の回転は 𝜕𝑥 − 𝜕𝑦 水流の速度を表すベクトル関数を 𝜕𝐺 𝜕𝐹 − >0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ベクトル関数を２次元（平面）から３次元（空間）に拡張して𝐴 = (𝐹, 𝐺, 𝐻) と置き， z軸と同様 に、𝑥軸、𝑦軸方向の回転についても，順に変数を入れ替えると， 𝜕𝐺 𝜕𝐹 𝑧軸方向では： − , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝐻 𝜕𝐺 𝑥軸方向では： − , 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝐹 𝜕𝐻 𝑧軸方向では： − , 𝜕𝑧 𝜕𝑥 これらはそれぞれ方向の違う量なので，単純に足し算はできず，それぞれ回転の 𝑥方向成 分， 𝑦方向成分， 𝑧方向成分として下記のように列記するしかない： 水流の速度を表すベクトル関数を このベクトルのことを 𝐴の回転（またはローテーション），記号では，𝑟𝑜𝑡𝐴と呼ぶ 𝜕𝐺 𝜕𝐹 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 回転のイメージ 回転とは『渦』を表わす ベクトル場を水の流れの場𝑉とする. 紅葉が散り，川に浮かぶと，その葉の動きによって水の動きを見ることが出来る。 http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/VectorRotation/ 真っ直ぐ流れていく場合，流れに渦は無い 流れに浮かべた物がクルクル回ってしまう場合，渦があるという 流れに乗って動いている葉っぱが回転する→ 葉っぱの上の方と下の方で流速に差がある 本当に渦巻きのように流れが渦巻いてる場合，浮かべた葉っぱは流れては行かないが，その場でクルクル回る 流れの向きや強さが一様でない場合，何か𝑟𝑜𝑡 𝑉 ≠ 0 こんな流れに葉っぱを浮かべれば，クルクル回ってしまう． ベクトル𝑨の回転rot𝑨 解釈ー２ (𝑃170) 点𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 を通り、𝑥 − 𝑦面に平行な微小平面 ２辺の長さ∆𝑥, ∆𝑦 を考える。 この平面が反時計まわりに回転するとき下図のような力が働けばよい。 𝑃4 (𝑝170) 𝑃1 𝑃3 𝑃2 点𝑃1 におけるベクトル関数𝑨の変化を考える。 テーラー展開: 𝑥 とする関数 𝑓(𝑥) の値がわかっている場合，𝑥 から⊿𝑥 離れたと ころでの関数 𝑓(𝑥 + ⊿𝑥）の値は， 𝜕𝑓(𝑥) 1 𝜕 2 𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 + ∆𝑥 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 2 2 1 𝜕 3 𝑓(𝑥) + ∆𝑥 6 𝜕𝑥 3 3 1 𝜕 4 𝑓(𝑥) + ∆𝑥 24 𝜕𝑥 4 4 +⋯ 𝑃4 𝑃1 (𝑝170) 𝑃3 𝑃2 このベクトルのうち、微小平面を反時計回りに回転さる成分は、 とベクトル(∆𝑥, 0 , 0)との内積である。 力 が加わってベクトル(∆𝑥, 0 , 0)方向へ∆𝑥変化したときの力が 反時計回りの力である。以上より、点𝑃1 において回転に影響する力は、 (𝑝170) 𝑃4 𝑃1 𝑃3 𝑃2 点𝑃1 において回転に影響する力は、 同様に、𝑃2 , 𝑃3 , 𝑃4 においてのベクトル関数𝑨の変化はそれぞれ、 1 𝜕𝑨 𝑃2 : 𝑨 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦, 𝑧 − 𝑨 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≈ (𝑥, 𝑦, 𝑧) 2 𝜕𝑥 1 𝜕𝑨 𝑃3 : 𝑨 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦, 𝑧 − 𝑨 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≈ (𝑥, 𝑦, 𝑧) 2 𝜕𝑦 1 𝜕𝑨 1 ∆𝑥 2 1 ∆𝑦 2 1 𝑃4 : 𝑨 𝑥 − 2 ∆𝑥, 𝑦, 𝑧 − 𝑨 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≈ 𝜕𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) − 2 ∆𝑥 𝑃4 𝑃1 (𝑝170) 𝑃3 𝑃2 渦の強さ 解釈ー３ 図のように，𝑧 = 𝑧0 平面内に，点𝑃 を中心に縦横の長さ∆𝑥, ∆𝑦 の長方形領域を考え，頂点を 𝐴𝐵𝐶𝐷 とし，頂点間の中点を𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 , 𝑃4 とする． 𝑜(∆𝑥 2 ), 𝑜 ∆𝑦 2 を∆𝑥, ∆𝑦の二次以上の項とし、 点𝑃 における流れを𝑽 = (𝑉𝑥 , 𝑉𝑦 , 𝑉𝑧 ) ， （ 𝑽は滑らかで，必要なだけ微分可能な関数） とすると, 𝑃1 , 𝑃2, 𝑃3 , 𝑃4 における流れは: 閉曲線𝐴𝐵𝐶𝐷 に沿った流れ成分の総和 （一周）を考えると 閉曲線𝐴𝐵𝐶𝐷 に沿った流れ成分の総和（一周）を考える 流体力学では 𝝎=𝛻×𝑽を 渦ベクトルと呼ぶ 𝒛成分 【（１）の証明】 【（２）の証明】 (rot𝒗を求めよ) 【解】 𝝎 = 𝜔𝑧 𝒌、 𝒓 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 とすると、 𝒊 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 𝜔𝑦 𝒗=𝝎×𝒓= 𝑟 𝑦 𝜔𝑧 𝜔𝑥 𝒊 − 𝑟𝑧 𝑟𝑥 𝜔𝑥 𝜔𝑧 𝑟𝑧 𝒋 + 𝑟𝑥 𝜔𝑦 0 𝒌 = 𝑟𝑦 𝑦 𝒋 𝐴𝑦 𝐵𝑦 𝒌 𝐴𝑧 𝐵𝑧 𝜔𝑧 0 𝒊− 𝑧 𝑥 0 𝜔𝑧 𝒋+ 𝑥 𝑧 = −𝑦𝜔𝑧 𝒊 + 𝑥 𝜔𝑧 𝒋 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑧 rot𝒗 = 𝛻 × 𝒗 = − 𝒊+ − 𝒋+ − 𝒌 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = 𝜔𝑧 + 𝜔𝑧 𝒌 = 2𝜔𝑧 𝒌 = 2𝝎 0 𝒌 𝑦 【解答】 【解答】 本日はここまで 本日の課題：HPに掲載してある （範囲： 教科書第７章grad, div, rot) 提出期限：来週金曜日（5月27日） 午後５時まで（時間厳守） 提出場所：レポートBOX（ＢＯＸ番号： Ｃ－１） 64
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