Z - 電気・情報系

電気回路学
Electric Circuits
情報コース4セメ開講
F行列
山田博仁
F行列
電気回路の縦続接続を扱うのに便利、電気回路以外でも広く利用されている
I1
V1
I1
I2
A B
C D
二端子対回路の入出力電圧、電流の関係を
V2
V1  AV2  BI 2
I1  CV2  DI 2
I2
電流 I2 の向きに注意 !
V1   A B  V2 
 I   C D  I 
 2 
 1 
F行列、 K行列、伝送行列、縦続行列などと呼ぶ
相反回路なら AD  BC  1
A, B, C, Dを、Fパラメータ、四端子定数などと呼ぶ
V 
A 1
V2  I 2 0
出力端開放時の電圧帰還率(電圧増幅率の逆数)
V 
B   1
 I 2  V2  0
出力端短絡時の伝達インピーダンス
I 
C 1
V2  I 2 0
出力端開放時の伝達アドミタンス
I 
D 1
 I 2 V2 0
出力端短絡時の電流帰還率(電流増幅率の逆数)
F行列の求め方
例題9.8
I1
V1
I2
Z
V2
 V1 
A 
V2  I 2 0
V 
B   1
 I 2 V 0
Aは、I2 = 0 (出力端開放)時の V1 / V2
I 
C 1
V2  I 2 0
I 
D 1
 I 2 V 0
Cは、I2 = 0 (出力端開放)時の I1 / V2
2
A B  1
C D   1

  Z
I1
Z
0

1

2
A=1
Bは、V2 = 0 (出力端短絡)時の V1 / I2
B=0
C = 1/Z
Dは、V2 = 0 (出力端短絡)時の I1 / I2
D=1
I2
V1
 A B  1 Z 
C D  0 1 

 

V2
V 
A 1
1
V2  I 2 0
V 
B   1
Z
 I 2 V2 0
I 
C 1
0
V2  I 2 0
I 
D 1
1
 I 2  V2  0
F行列の縦続接続
I1’
V1’
I2 ’
A’ B’
C’ D’
I1’
I1”
V2’
V1”
I2 ’
V1 '  A' B'  V2 '
 I '  C ' D'  I '
 2 
 1 
I1”
V2 '  V1"
I 2 '  I1 "
I2”
A” B”
C” D”
V2”
I2”
V1"  A" B" V2 "
 I "  C" D"  I "
 2 
 1  
V1 '  A' B'   A" B" V2 "
 I '  C ' D' C" D"  I "

 2 
 1 
I1’
V1’
I1’
I2”
V1 '  A B  V2 "
V2”  I '  C D  I "
 2 
 1 
A B
C D
I2”
縦続接続された回路における
F行列は、個々の回路のF行
列の積で表される
縦続接続によるF行列の求め方
例題9.9 下の回路のF行列を求めよ
Z1
Z2
3つの二端子対回路の縦続接続と考える
Z1
Z3
Z3
 1 0
1 Z 2 
1


0 1 
1
Z



 3

Z1Z 2 
 Z1
1

Z

Z

0 1 Z
1
2
 Z


Z
2
3
3


1 0 1    1
Z

 
1 2

 Z 3

Z3
1 Z1 
0 1 


A B
C D 


1
 A B  1 Z1   1
C D   0 1  

 
  Z 3
例題9.10 下の回路のF行列を求めよ
3つの二端子対回路の縦続接続と考える
Z12
Z13
Z2
Z12
Z23
Z13
Z23
入出力を逆にした場合
1 I1
V1
I2 2
A B
C D
V2
1’ I1
I2 2’
2 I2’
I1’ 1
V2
D B
C A
2’ I2’
V1   A B  V2 
 I   C D  I 
 2 
 1 
1
V2   A B  V1  1  D
 I   C D   I     C
  1

 2 
相反回路なら   1
V2   V2   D B   V1  V1 
 I '   I   C A  I    I '
 1  1 
 2   2 
V1
I1’ 1’
入力と出力を逆にすると、F行列の A と D が入れ替わる
理想変圧器のF行列
I1
1:n
V1
I1
1
V1  V2 , I1  nI 2
n
I2
V2
I2
 B  V1 
A   I1 
V1   1
I   n
 1   0

0 V2 
I 

n  2 
入力と出力を逆にすると、
I1
n:1
I2
V1
I1
V2
I2
n
K 
0
0
1
n 
Z行列、Y行列との関係
Z行列との関係
I1
A B
C D
V1
V1   z11
V    z
 2   21
I2
I1
V2
V1 
z11
z z z z
V2  11 22 12 21 I 2
z 21
z 21
I1 
1
z
V2  22 I 2
z 21
z 21
F行列の定義では、
V1  AV2  BI 2
Y行列との関係
V2  z21I1  z22 I 2
上式を、V1=, I1=の式に書き直すと、
電流 I2 の向きに注意 !
A
V1  z11I1  z12 I 2
I2 の向きがZ行列の定義では反対
I2
I1  CV2  DI 2
z12   I1 
z22   I 2 
z11
z z z z
1
z
, B  11 22 12 21 , C 
, D  22
z 21
z 21
z 21
z 21
 I1   y11
 I    y
 2   21
A
y12  V1 
y22  V2 
I1  y11V1  y12V2
I 2   y21V1  y22V2
y22
1
y y y y
y
, B
, C   11 22 12 21 , D   11
y21
y21
y21
y21
諸行列間の関係
 y11
Y 
 y21
y12  1  z22  z12  1  D  K 
 
 



y22  Z  z21 z11  B  1 A 
 z11
Z 
 z21
z12  1  y22  y12  1  A
 
 


z22  Y  y21 y11  C  1
 A B   1  y22
K 

Y

C
D
y


21 
1  1  z11


y11  z21  1
K

D
Z

z22 
インピーダンスp型回路⇔T型回路間での変換
Z12
Z31
Z1
Z23
Z2
Z3
p形回路
T形回路
Z1Z 2  Z 2 Z 3  Z 3 Z1
Z12 
Z3
Z 31Z12
Z1 
Z12  Z 23  Z 31
Z1Z 2  Z 2 Z 3  Z 3 Z1
Z 23 
Z1
Z12 Z 23
Z2 
Z12  Z 23  Z 31
Z 1 Z 2  Z 2 Z 3  Z 3 Z1
Z 31 
Z2
Z 23Z 31
Z3 
Z12  Z 23  Z 31
アドミタンスp型回路⇔T型回路での変換
Y12
Y31
Y1
Y23
p形回路
Y2
Y3
T形回路
Y1Y2
Y12 
Y1  Y2  Y3
Y12Y23  Y23Y31  Y31Y12
Y1 
Y23
Y2Y3
Y23 
Y1  Y2  Y3
Y12Y23  Y23Y31  Y31Y12
Y2 
Y31
Y3Y1
Y31 
Y1  Y2  Y3
Y12Y23  Y23Y31  Y31Y12
Y3 
Y12
-Y変換
1
2
1
2
Z12
Z1
Z31
Z2
Z23
Z3
等価
3
3
形回路
1
Y形回路
2
Z12
Z31
1
Z23
3
Z2
2
Z3
3
p形回路
Z1
3
3
T形回路
演習問題
(9.4) Z行列を求める
Z4
Z1
Z4
Z2
Z1
Z3
Z3
Z4
Z1
→Y変換
Z2
Z3
Z2
Za
Zc
Zb
Z3
演習問題
Za
Zc
Zb
Z3
T形回路のZ行列
(教科書p.183 例
題9.6)より
→Y変換より
Z1 Z 4
Za 
Z1  Z 2  Z 4
Z1 Z 2
Zb 
Z1  Z 2  Z 4
Z2Z4
Zc 
Z1  Z 2  Z 4
Zb  Z3 
Z a  Z b  Z 3
Z 

Z

Z
Z

Z

Z
b
3
c
b
3

Z1 Z 2
 Z1 Z 4  Z 1 Z 2


Z

Z
3
3
Z  Z  Z
Z

Z

Z
2
4
1
2
4
 1

Z1 Z 2
Z 2 Z 4  Z1 Z 2

 Z3
 Z3 
 Z1  Z 2  Z 4

Z1  Z 2  Z 4
演習問題
(9.4) Y行列を求める
Y4-1
Y1-1
Y4-1
Y2-1
Y1-1
Y2-1
Y3-1
Y3-1
Y4-1
Y4-1
-1
-1
Y1
Y→変換
Ya-1
Y2
Y3-1
Yb-1
Yc-1
演習問題
Y→変換より
Y4-1
Ya-1
Yb-1
Y1Y2
Ya 
Y1  Y2  Y3
Y3Y1
Yb 
Y1  Y2  Y3
Yc-1
Y2Y3
Yc 
Y1  Y2  Y3
p形回路のY行列
(教科書p.178 例
題9.2)より
Y4  Ya  Yb
Y 
  (Y4  Ya )
 (Y4  Ya ) 
Y4  Yc  Ya 
 Y1Y2
 Y1Y2  Y3Y1


Y

Y
4
4
Y  Y  Y
Y

Y

Y
1
2
3

 1 2 3
  Y1Y2  Y Y2Y3  Y1Y2  Y 
4
4
 Y1  Y2  Y3

Y1  Y2  Y3
基本2端子対回路のパラメータ (Z表示)
[Z]
Z
存在しない
(p.182 10行目)
Z
Z

Z
Z
Z 
(p.182 式9.25)
Z1
Z2
Z1
0

0
Z 2 
[Y]
1
Z
 1

Z
 1
Z
1

Z
(p.178 例題9.1)
存在しない
(p.178 図9.6)
1
Z
 1
0


0

1
Z 2 
1:n
存在しない
存在しない
[K]
1 Z 
0 1 


(p.186 例題9.8 式9.41)
1
1
 Z
0

1

(p.186 例題9.8)
存在しない
(p.185 図9.19)
1
n
0


0
n
基本2端子対回路のパラメータ (Z表示)
[Z]
Z1
Z1  Z 2
 Z
2

Z2
Z2
 Z1
Z
 1
Z1
Z1
Z3
Z2
[Y]
Z2 
Z 2 

Z1  Z 2 
 Z1  Z 2
 Z
2

Z1
Z2 
Z 2  Z 3 
(p.183 例題9.6)
Z2
Z1
Z3
 Z1 ( Z 2  Z 3 )

Z
 ZZ
1 3

Z

Z1Z 3


Z
( Z1  Z 2 ) Z 3 

Z

Z  Z1  Z 2  Z 3
1
Z
 1
 1
 Z1
[K]
1
Z1



1
1

Z1 Z 2 
1
1

Z Z
2
 1
 1
 Z 2
 1
Z2 

1
Z 2 
 Z 2  Z3
 Z

  Z2
 Z

 Z2 
Z 

Z1  Z 2 
Z 
Z  Z1Z 2  Z 2 Z3  Z3 Z1
1
1

Z Z
2
 1
 1
 Z 2
1
Z2



1
1

Z 2 Z 3 
 Z1
1  Z
2

 1
 Z 2

Z1 

1

Z2 
1
1
Z2 
1



Z
Z
1
 1
(p.187 例題9.9 式9.43)
 Z1
Z 
1 

Z
Z
2
2


Z3 
 1
1
 Z
Z 2 
 2
Z  Z1Z 2  Z 2 Z3  Z3 Z1
(p.187 例題9.10 式9.44)
 Z2

Z2 
1  Z
3



Z
Z2 

1
 Z1Z 3
Z1 
Z  Z1  Z 2  Z 3
基本2端子対回路のパラメータ (Y表示)
[Z]
Y
存在しない
(p.182 10行目)
Y
Y1
Y2
[Y]
Y
 Y

Y 
Y 
1

1
 Y
0 1 


(p.178 例題9.1)
(p.186 例題9.8)
 1 0
Y 1


1
Y
1

Y
1
Y
1

Y
存在しない
1
Y
 1
0


0

1
Y2 
Y1 0 
0 Y 
2

(p.178 図9.6)
(p.186 例題9.8 式9.40)
存在しない
(p.185 図9.19)
1:n
存在しない
[K]
存在しない
1
n
0


0
n
基本2端子対回路のパラメータ (Y表示)
[Z]
1 1
Y  Y
2
 1
 1
 Y2
Y1
Y2
1
Y
 1
1
 Y1
Y2
Y1
Y1
Y3
Y2
Y2
Y1
Y3
[Y]
1
Y2 

1
Y2 



1 1

Y1 Y2 
1 1
Y  Y
2
 1
 1
 Y2
 Y2  Y3
 Y

 Y2
 Y

1
Y1



1 1

Y2 Y3 
1
Y2
Y2 
Y 

Y1  Y2 
Y 
Y  Y1Y2  Y2Y3  Y3Y1
[K]
 Y1 
 Y1
 Y Y  Y 
 1 1 2
 Y2
1  Y
1

 Y2
Y1  Y2
 Y
2

1 

1

Y2 


Y
Y 1  1 
 1
Y2 
 Y2 
Y2 
 Y1Y3 
 Y1 (Y2  Y3 )
 Y

Y
 YY
(Y1  Y2 )Y3 
1 3


Y
 Y

Y  Y1  Y2  Y3
 Y2 
Y1  Y2
 Y
Y2  Y3 
2

(p.178 例題9.2)
1
Y1 

1
Y 
 Y2
1

 Y
Y1Y3 
1


Y2 
 Y
1
 2
Y3 
Y  Y1  Y2  Y3
1 
 Y3
1

 Y
Y2 
2


Y
Y

1 1 
 Y
Y2 
 2
Y  Y1Y2  Y2Y3  Y3Y1
基本2端子対回路のパラメータ
[Z]
Z1
 Z1  Z 2
 2
Z  Z
1
 2
 2
Z1
(p.183 例題9.7 式9.29)
Z 2  Z1 
2 
Z1  Z 2 

2 
Y1
 Y1  Y2
 2Y Y
 1 2
 Y1  Y2
 2Y1Y2
Y1  Y2 
2Y1Y2 

Y1  Y2 
2Y1Y2 
Y1
(p.183 例題9.7 式9.29)
M
L1
L2
 jL1
 jM

jM 
jL2 
[Y]
[K]
 Z1  Z 2
 2Z Z
 1 2
 Z1  Z 2
 2Z1Z 2
Z1  Z 2 
2 Z1 Z 2 

Z1  Z 2 
2Z1Z 2 
 Z1  Z 2
Z  Z
1
 2
 2
 Z 2  Z1
2 Z1 Z 2 
Z 2  Z1 

Z1  Z 2 
Z 2  Z1 
 Y1  Y2
 2
Y  Y
 2 1
 2
Y2  Y1 
2 
Y1  Y2 

2 
 Y1  Y2
Y  Y
 1 2
 2Y1Y2
 Y1  Y2
2 
Y1  Y2 

Y1  Y2 
Y1  Y2 
(p.179 例題9.3 式9.13)
M 
 L2
 Z
Z 



M
L
1 

 Z
Z 

Z  j( L1L2  M 2 )
 L1

 M
 1
 jM
Z

M
L2 
M 
Z  j( L1L2  M 2 )

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