TEORIA dei CIRCUITI Ingegneria dell’Informazione − DOPPI BIPOLI− Stefano Pastore Dipartimento di Ingegneria e Architettura Corso di Teoria dei Circuiti (105IN) a.a. 2013-14 N-polo • • • Un componente a n terminali (n-polo) ha, a causa di IK e IIK, fissato un terminale di riferimento, n−1 tensioni e n−1 correnti indipendenti. Il grafo è rappresentato da n rami congiunti nel terminale di riferimento Si descrive con n−1 equazioni indipendenti 2 Doppio-bipolo • Un doppio-bipolo è un 4-polo che pone un vincolo sulle correnti ai terminali presi a coppie (i1 = i’1, i2 = i’2) • Il grafo è rappresentato da due rami congiunti nel terminale di riferimento • Si descrive non con 3 equazioni, ma soltanto con 2, a causa del vincolo posto sulle correnti 3 Classificazione dei doppi-bipoli • PROPRI trasformatori • IMPROPRI quadrupoli in una opportuna connessione • TRIPOLARI transistori 4 Rappresentazione implicita • Consideriamo un doppio-bipolo LRI. Può essere sempre descritto, se ben posto, da una coppia di equazioni implicite a11v1 (t ) + a12 v2 (t ) + b11i1 (t ) + b12i2 (t ) = hs1 (t ) a21v1 (t ) + a22 v2 (t ) + b21i1 (t ) + b22i2 (t ) = hs 2 (t ) • In forma matriciale Av(t ) + Bi (t ) = h s (t ) v (t ) [A | B] = h s (t ) i (t ) • Si richiede che il rango della matrice [A|B] sia 2. 5 Rappresentazioni esplicite • Possiamo esplicitare due variabili alla volta per ottenere le rappresentazioni esplicite 4 • Sono 6, ovvero 2 • Mentre la rappresentazione implicita esiste sempre, non sempre esistono tutte e 6 le rappresentazioni esplicite. Un doppio-bipolo ha una rappresentazione esplicita solo se le corrispondenti variabili indipendenti sono tali nel doppio-bipolo 6 Rappresentazione delle resistenze • Rappresentazione controllata in corrente o delle resistenze • Le variabili indipendenti sono le correnti v1 (t ) = R11i1 (t ) + R12i2 (t ) + vs1 (t ) v2 (t ) = R21i1 (t ) + R22i2 (t ) + vs 2 (t ) • Si ricava in forma matriciale dalla rappresentazione implicita v (t ) = − A −1B i (t ) + A −1h s (t ) ponendo : R = − A −1B (det A ≠ 0), v s (t ) = A −1h s (t ) v (t ) = R i (t ) + v s (t ) 7 Coefficienti di R • Azzerando le sorgenti indipendenti interne vs1(t) e vs2(t) si ottengono i coefficienti omogenei v1 R11 = [Ω] i1 i = 0 2 v1 R12 = [Ω ] i2 i = 0 1 v2 R21 = [Ω] i1 i = 0 2 v2 R22 = [Ω ] i2 i = 0 1 • Tutti i coefficienti hanno le dimensioni di una resistenza 8 Reciprocità • A correnti uguali, i1 = i2, corrispondono tensioni uguali all’altra porta v1 = v2. Se il doppio-bipolo contiene soltanto componenti LRI a 2 terminali, sarà reciproco • Per questa rappresentazione: R12 = R21 9 Uni- e zero-direzionalità • Un doppio-bipolo è uni-direzionale quando una porta è influenzata dall’altra ma non viceversa; zerodirezionale quando le porte sono indipendenti tra loro. • R12 = 0 oppure R21 = 0 uni-dir. • R12 = R21 = 0 zero-dir. 10 Sorgenti indipendenti • Le sorgenti vs1(t) e vs2(t) corrispondono alle tensioni a vuoto alle porte (vedi Thevenin) v1 (t ) = vs1 (t ) i1 (t ) = i2 (t ) = 0 v2 (t ) = vs 2 (t ) i1 (t ) = i2 (t ) = 0 • Le sorgenti indipendenti di tensione interne possono essere inserite in serie alle porte del componente omogeneo 11 Rappresentazione delle conduttanze • Rappresentazione controllata in tensione o delle conduttanze • Le variabili indipendenti sono le tensioni i1 (t ) = G11v1 (t ) + G12 v2 (t ) + is1 (t ) i2 (t ) = G21v1 (t ) + G22 v2 (t ) + is 2 (t ) • Si ricava in forma matriciale dalla rappresentazione implicita i (t ) = −B −1A v(t ) + B −1h s (t ) ponendo : G = −B −1A (det B ≠ 0), i s (t ) = B −1h s (t ) i (t ) = G v(t ) + i s (t ) 12 Resistenze e conduttanze • Valgono le relazioni: G = R-1 R = G-1 • Quindi se un doppio-bipolo ha una matrice delle resistenze a determinante nullo, non avrà la rappresentazione delle conduttanze e viceversa • Una rappresentazione esplicita non esiste quando le variabili che dovrebbero essere indipendenti hanno invece una dipendenza lineare tra loro 13 Coefficienti di G • Azzerando le sorgenti indipendenti interne is1(t) e is2(t) si ottengono i coefficienti omogenei i1 −1 G11 = [Ω ] v1 v = 0 2 i1 G12 = [Ω −1 ] v2 v = 0 1 i2 G21 = [Ω −1 ] v1 v = 0 2 i2 G22 = [Ω −1 ] v2 v = 0 1 • Tutti i coefficienti hanno le dimensioni di una conduttanza 14 Proprietà di G • Reciprocità: G12 = G21 • Uni-direzionalità: G12 = 0 oppure G21 = 0 • Zero-direzionalità: G12 = G21 = 0 15 Sorgenti indipendenti • Le sorgenti is1(t) e is2(t) corrispondono alle correnti in corto circuito alle porte (vedi Norton) i1 (t ) = is1 (t ) v1 (t ) = v2 (t ) = 0 i2 (t ) = is 2 (t ) v1 (t ) = v2 (t ) = 0 • Le sorgenti indipendenti di corrente interne possono essere inserite in parallelo alle porte del componente omogeneo 16 Rappresentazioni ibride • Rappresentazione ibrida (prima): le variabili indipendenti sono una tensione e una corrente v1 (t ) = h11i1 (t ) + h12 v2 (t ) + vs1 (t ) i2 (t ) = h21i1 (t ) + h22 v2 (t ) + is 2 (t ) • Rappresentazione ibrida (seconda i1 (t ) = h"11 v1 (t ) + h"12 i2 (t ) + is1 (t ) v2 (t ) = h"21 v1 (t ) + h"22 i2 (t ) + vs 2 (t ) • Valgono le relazioni: H = H”-1 H” = H-1 17 Coefficienti di H • Azzerando le sorgenti indipendenti interne vs1(t) e is2(t) si ottengono i coefficienti omogenei v1 h11 = [Ω ] i1 v = 0 2 v1 h12 = [ AV ] v2 i = 0 1 i2 h21 = [ AI ] i1 v = 0 2 i2 h22 = [Ω −1 ] v2 i = 0 1 • I coefficienti hanno dimensioni ibride 18 Coefficienti di H” • Azzerando le sorgenti indipendenti interne is1(t) e vs2(t) si ottengono i coefficienti omogenei i1 −1 h"11 = [Ω ] v1 i = 0 2 i1 h"12 = [ AI ] i2 v = 0 1 v2 h"21 = [ AV ] v1 i = 0 2 v2 h"22 = [Ω ] i2 v = 0 1 • I coefficienti hanno dimensioni ibride 19 Proprietà delle ibride • Reciprocità: h12 = − h21, h”12 = − h”21 • Uni-direzionalità: h12 = 0 oppure h21 = 0 h"12 = 0 oppure h”21 = 0 • Zero-direzionalità: h12 = h21 = 0 h"12 = h”21 = 0 • Sorgenti indipendenti interne: quelle di tensione in serie e quelle di corrente in parallelo 20 Matrici e trasformate • Nel dominio dei fasori la matrice R diventa Z e la matrice G diventa Y • Nel dominio di Laplace la matrice R diventa Z(s) e la matrice G diventa Y(s) • Le matrici ibride rimangono inalterate • Tutte le definizioni viste finora (mutatis mutandis) rimangono inalterate nella forma 21 Potenza nei doppi-bipoli • Le prime 4 rappresentazioni esplicite sono dette cardinali: esplicitano una variabile di una porta e una dell’altra porta. Sono adatte al calcolo della potenza • La potenza in un doppio-bipolo,che sia nel dominio del tempo o dei fasori, si calcola come in qualsiasi n-polo, sommando le potenze alle porte p (t ) = v1 (t ) i1 (t ) + v2 (t ) i2 (t ) Pc = V1 I1* + V2 I 2* 22 Forma quadratica • In forma matriciale, nel dominio del tempo, utilizzando la matrice R, si ottiene una forma quadratica p (t ) = v T i = i T R T i v = Ri • Nel dominio dei fasori nello stesso modo si ottiene una forma quadratica Pc = V1 I1* + V2 I 2* = V T I * = V T Y*V * I = YV 23 Trasformazioni stella-triangolo e viceversa • Nei doppi-bipoli sono viste come trasformazioni T-π e viceversa 24 Trasformazioni T-π e viceversa • Le matrici Z della T e Y del π sono rispettivamente z3 z1 + z3 Z= z z z + 2 3 3 − y12 y13 + y12 Y= − y y + y 12 23 12 • La trasformazione si ottiene con l’inversione delle matrici y12 1 y23 + y12 Z=Y = det(Y) y y + y 12 13 12 det(Y ) = ( y13 + y12 )( y23 + y12 ) − y122 −1 z 2 + z3 − z 2 1 Y=Z = − + z z z 2 1 3 det( Z ) det(Z) = ( z1 + z3 )( z 2 + z3 ) − z 22 −1 25 Procedura delle trasformazioni • Trasformazione T π (stellatriangolo) 1) Trovare la Z della T 2) Invertire la Z e trovare la Y 3) Realizzare la Y con un π • Trasformazione π T (triangolostella) 1) Trovare la Y della π 2) Invertire la Y e trovare la Z 3) Realizzare la Z con un T 26 Trasformazioni stella-triangolo • Tre resistenze a stella possono essere “trasformate” in tre resistenze a triangolo, in modo che le tensioni e le correnti ai morsetti esterni restino le stesse z12 z13 y12 y13 z1 = , y1 = y12 + y13 + z12 + z13 + z 23 y23 z12 z 23 y12 y23 , y2 = y12 + y23 + z2 = z12 + z13 + z 23 y13 z13 z 23 y13 y23 z3 = , y3 = y13 + y23 + z12 + z13 + z 23 y12 27 Trasformazioni triangolo-stella • Tre resistenze a triangolo possono essere “trasformate” in tre resistenze a stella, in modo che le tensioni e le correnti ai morsetti esterni restino le stesse y 2 y3 z 2 z3 y23 = , z 23 = z 2 + z3 + y1 + y2 + y3 z1 y1 y3 z1 z3 y13 = , z13 = z1 + z3 + y1 + y2 + y3 z2 y1 y2 z1 z 2 y12 = , z12 = z1 + z 2 + y1 + y2 + y3 z3 28 Matrici di trasmissione • Matrici di trasmissione prima e seconda in forma omogenea: esplicitano due variabili della stessa porta (notare il segno “−” posto sulla corrente i2). Vale la relazione: T = T”−1 v1 (t ) = t11v2 (t ) + t12 (− i2 (t ) ) i1 (t ) = t 21v2 (t ) + t 22 (− i2 (t ) ) v2 (t ) = t"11 v1 (t ) + t"12 i1 (t ) (− i2 (t ) ) = t"21 v1 (t ) + t"22 i1 (t ) • Esprimono direttamente la relazione tra le due porte. • Reciprocità: det T = 1, det T” = 1 • Uni-direzionalità: det T = 0 oppure det T” = 0 • Zero-direzionalità: non esistono entrambe 29 Connessione in cascata • È la connessione che rende importante la matrice di trasmissione A B B v1A v1 A v2 B v2 A = T A B = T B i1 − i2 i1 − i2 • Le relazioni per la connessione sono vA2 = vB1, − iA2 = iB1 • Ne deriva che B v1A v A B A B 2 = T T → T = T T A B i1 − i2 30 Sorgenti controllate ideali • sono 4 e servono a modellizzare la dipendenza uni-direzionale di una tensione (o corrente) in un ramo dalla tensione (corrente) di un altro ramo • Sorgente di tensione controllata in tensione (VCVS) i1 = 0 0 → H" = α v2 = α v1 0 1 α ,T = 0 0 0 0 31 Sorgenti controllate ideali (2) • Sorgente di tensione controllata in corrente (CCVS) v1 = 0 0 →R= v2 = rm i1 rm 0 0 ,T = 0 1 rm 0 0 • Sorgente di corrente controllata in tensione (VCCS) i1 = 0 0 →G = i2 = − g m v1 − g m 0 0 1 g m ,T = 0 0 0 32 Sorgenti controllate ideali (3) • Sorgente di corrente controllata in corrente (CCCS) v1 = 0 0 →H= − β i2 = − β i1 0 0 0 ,T = 0 0 1 β 33 Sorgenti controllate reali • Sono ottenute dalle ideali aggiungendo una resistenza in ingresso e una in uscita. A differenza delle ideali, le reali sono tutte equivalenti tra loro applicando i teoremi di Thevenin e Norton. • VCVS v1 i1 = → H" = Ri v2 = α v1 + R0i2 1 Ri α 0 Ro 34 Sorgenti controllate reali (2) • VCCS (applicando Norton in uscita) v1 1 i1 = R Ri i →G = v2 − gm i2 = − g m v1 + Ro dove : g m = 0 α 1 Ro α Ro • Le altre 2, CCVS e CCCS possono essere ottenute ponendo: v1 = Ri i1 35 Sintesi dei doppi-bipoli • Utilizzando le sorgenti controllate, siamo ora in grado di realizzare qualsiasi doppio-bipolo v1 (t ) = h11i1 (t ) + h12 v2 (t ) + vs1 (t ) i2 (t ) = h21i1 (t ) + h22v2 (t ) + is 2 (t ) 36 Trasformatore ideale • È un doppio-bipolo resistivo Ro • n: rapporto di trasformazione v1 = n v2 i = − 1 i 2 1 n 0 n H= T= − n 0 n 0 0 1 n 37 Trasformatore ideale (2) • Notare che det H ≠ 0 e det T = 1 • Non esistono la matrice R e G • Proprietà fondamentale: è un componente inerte 1 p (t ) = v1 i1 + v2 i2 = nv2 − i2 + v2 i2 = 0 n • Proprietà di adattamento di impedenza: consideriamo un trasformatore chiuso su una resistenza Ru Ring v1 nv2 2 v2 = = = −n = n 2 Ru i1 − 1 i i2 2 n 38 Trasformatore ideale (3) • Si dimostra che valgono pure le seguenti proprietà di spostamento delle resistenze tra le porte, per cui i seguenti doppi-bipoli risultano equivalenti 39 Mutua induttanza • È un doppio-bipolo dinamico conservativo del II ordine ϕ1 (t ) L1 ϕ (t ) = M 2 M i1 (t ) L2 i2 (t ) • L1 > 0: induttanza primaria [H] • L2 > 0: induttanza secondaria [H] • M: mutua induttanza [H] 40 Mutua induttanza (2) • Rappresentazione differenziale v1 (t ) L1 v (t ) = M 2 i1 (0 − ) = I1 , M i&1 (t ) L2 i&2 (t ) i2 (0 − ) = I 2 • Rappresentazione integrale i1 (t ) L1 i (t ) = M 2 t v (τ )dτ M ∫0 − 1 + I1 L2 t v (τ )dτ I 2 ∫0− 2 −1 • Con Laplace V1 ( s ) sL1 V ( s ) = sM 2 sM I1 ( s ) L1 I1 + MI 2 − sL2 I 2 ( s ) MI1 + L2 I 2 41 Mutua induttanza (3) • L’energia immagazzinata è L1i12 (t ) + L2i22 (t ) + 2Mi1 (t )i2 (t ) = E (t ) = 2 L1 M i1 (t ) 1 = [i1 (t ) i2 (t )] 2 M L2 i2 (t ) • È una forma quadratica che deve essere semi-definita positiva, ovvero maggiore o uguale a zero per qualsiasi valore delle correnti. Quindi si ha: L1 L2 ≥ M 2 • Inoltre la matrice deve essere simmetrica altrimenti il differenziale della potenza p(τ)dτ non sarebbe esatto. 42 Mutua induttanza (4) • Si definisce come coefficiente di accoppiamento M k = , −1 ≤ k ≤ 1 L1 L2 • Un modello equivalente è M n= , L2 M2 Lp = = k 2 L1 , L2 L1 L2 − M 2 Ls = = (1 − k 2 ) L1 L2 • Ogni matrice Z può essere realizzata con un tripolo a T 43 Mutua induttanza (5) • Nel caso in cui k = 1, si ha che: n= L1 , L2 L p = L1 , Ls = 0 • Le equazioni diventano V1 jωL1 jω L1 L2 I1 = jωL2 I 2 jω L1 L2 V2 1 444 424444 3 M • In questo caso det M = 0, ovvero la matrice non è invertibile, ovvero il componente è non-controllato in tensione 44 Mutua induttanza (6) 45 Amplificatore operazionale • È un dispositivo (OA) fondamentale (nonlineare) nell’elettronica analogica • È un amplificatore differenziale con trans-caratteristica 46 Amplificatore operazionale (2) • La curva presenta un lato lineare ad alta amplificazione al centro e due zone di saturazione. Noi utilizzeremo il OA solo nella zona centrale lineare • L’alta amplificazione fa sì che la tensione v1 sia prossima a zero (massa virtuale). Esempio: 10 v2 = 5 = 10 − 4 V v2 = 10 V → v1 = AdV 10 • Le equazioni lineari sono: v1 = 0 0 0 → T= i = 0 0 0 1 47 Amplificatore operazionale (3) • La configurazione principale del OA è detta “invertente” v2 R2 =− = AV v1 R1 • Perché il OA lavori in zona lineare, ovvero tra i terminal di ingresso ci sia un corto circuito, la tensione di uscita non deve arrivare nelle zone di saturazione 48 Amplificatore operazionale (4) • Si ha v2 < Vsat → −Vsat R2 <− v1 < Vsat → R1 R1 R1 → − Vsat < v1 < Vsat R2 R2 Vsat Vsat →− < v1 < AV AV • Il segnale di ingresso deve essere limitato dall’amplificazione Av • Ci sono anche dei vincoli in frequenza, dovuti all’abbassamento di Av all’aumentare della frequenza. 49 Amplificatore operazionale (5) • Vediamo la configurazione del OA detta “non-invertente” • Per la “massa virtuale”, il potenziale v’ è uguale a v1. Si ottiene una amplificazione di tensione pari a: v2 R1 + R2 = = AV v1 R1 50 Connessione serie • Due doppi-bipoli sono connessi in serie quando le correnti sono in comune e le tensioni si sommano i1 = i1A = i1B A B i = i = i 2 2 2 v1 = v1A + v1B A B v = v + v 2 2 2 51 Connessione serie (2) • Se esistono le matrici RA e RB,allora la connessione può essere risolta facendo la loro somma: R = RA + RB A B B v1A i v i A 1 B 1 1 A = R A B = R B → v2 i2 v2 i2 i v1 v1A v1B A B 1 v = A + B = R + R i 2 v 2 v 2 2 ( ) 52 Connessione parallelo • Due doppi-bipoli sono connessi in parallelo quando le tensioni sono in comune e le correnti si sommano v1 = v1A = v1B A B v = v = v 2 2 2 i1 = i1A + i1B A B i = i + i 2 2 2 • Se esistono le matrici GA e GB,allora la connessione può essere risolta facendo la loro somma: G = GA + GB 53 Connessione ibrida • Due doppi-bipoli sono in connessione ibrida quando ho una connessione serie alla prima porta e una parallela alla seconda porta v1 = v1A + v1B A B v2 = v2 = v2 i1 = i1A = i1B A B i2 = i2 + i2 • Se esistono le matrici HA e HB,allora la connessione può essere risolta facendo la loro somma: H = HA + HB 54 Connessione ibrida seconda • Due doppi-bipoli sono in connessione ibrida seconda quando ho una connessione parallelo alla prima porta e una serie alla seconda porta • Le matrici rappresentative di questa connessione sono le ibride seconde H”. Se esistono le matrici H”A e H”B,allora la connessione può essere risolta facendo la loro somma: H” = H”A + H”B 55 Connessioni con bipolo • Connessione serie a una porta o sul terminale comune: in entrambi i casi si utilizza la matrice R 56 Connessioni con bipolo (2) • Connessione parallelo a una porta o tra le porte: in entrambi i casi si utilizza la matrice G 57 Connessione per l’operazionale • Vediamo la connessione invertente generalizzata • Si ha per la connessione i = −i v = v = 0 A 2 A 2 B 1 B 1 58 Connessione per l’operazionale (2) • Supponendo che entrambi i tripoli abbiano la matrice G i1A = G11Av1A A A A i = G 21v1 2 i1B = G12B v2B B B B i = G 22 v2 2 → G v = −G v A A 21 1 B 2 A 1 B B 12 2 A 21 B 12 v G → =− v G • Nel caso dell’amplificatore invertente si ritrova l’espressione (–R2/R1) 59 Teorema di Miller I • Consideriamo il parallelo tra un doppiobipolo che non ha la matrice G, quindi V2 = αV1, e un bipolo • Vogliamo ottenere il seguente doppio-bipolo equivalente 60 Teorema di Miller I (2) • Per stabilire l’equivalenza , si deve imporre che V1 − V2 V1 − αV1 V1 (1 − α ) If = = = z z z V1 If = z1 z → z1 = 1−α V1 − V2 V2 α − V2 V2 (1 α − 1) If = = = z z z V2 If = − z2 z → z2 = 1−1α 61 Teorema di Miller II • Consideriamo la serie tra un doppio-bipolo che non ha la matrice R, quindi I2 = βI1, e un bipolo • Vogliamo ottenere il seguente doppio-bipolo equivalente 62 Teorema di Miller II (2) • Per stabilire l’equivalenza , si deve imporre che V f = z (I1 + I 2 ) = z (I1 + βI1 ) = zI1 (1 + β ) = z1 I1 = 1 1 z I 2 + I 2 = zI 2 1 + = z 2 I 2 β β 1 → z1 = z (1 + β ), z 2 = z 1 + β 63
© Copyright 2024 ExpyDoc
