Power Point

確率伝搬法と量子系の平均場理論
田中和之
東北大学大学院情報科学研究科
E-mail: [email protected]
URL: http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
1
Contents
1.
2.
3.
4.
5.
6.
はじめに
量子系の概説
Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応
量子系のクラスター変分法からの確率伝
搬法の定式化
確率推論への量子統計力学的アプローチ
まとめ
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
2
確率分布と密度行列
確率分布: 2N 重の多重和の計算
   W a , a ,, a 
a1 0,1 a2 0,1
a N 0,1
1
2
N
密度行列: 2N 行 2N 列の行列の対角化
一部の特殊な場合を除いて確率分布の場
合の計算量の2乗のオーダーの計算量
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
3
確率分布と確率伝搬法
確率伝搬法の数理的基盤
Pa1 , a2 , a3   w12 a1 , a2 w23 a2 , a3 



P2 a2    Pa1 , a2 , a3     w12 a1 , a2   w23 a2 , a3 
a1 a3
 a1
 a3

量子系では同じ取り扱いは難しい!!
行列 A, B に対して exp  A  B  exp  Aexp B
は一般には成り立たない
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
4
本講演の主題
1次元鎖または木構造のグラフ
上の量子系の難しさ
量子系に対する確率伝搬法の
定式化
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
5
Contents
1.
2.
3.
4.
5.
6.
はじめに
量子系の概説
Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応
量子系のクラスター変分法からの確率伝
搬法の定式化
確率推論への量子統計力学的アプローチ
まとめ
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
6
2ノードのハミルトニアンと密度行列
ハミルトニアン
 u 11;11

 u 10;11
H 
u 01;11

 u 00;11

u 11;10 u 11;01 u 11;00 

u 10;10 u 10;01 u 10;00 
u 01;10 u 01;01 u 01;00 

u 00;10 u 00;01 u 00;00
密度行列
exp  H 
ρ
tr exp  H 
1
 U exp  K U 1
Z
19 December, 2006
11
H  UKU
 0

0
K 
0

0

1
10
01
00
2

1
n
exp  H     H 
n  0 n!
1
0 0 0

1 0 0 
0 2 0 

0 0  3 
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
密度行列の各成分
はハミルトニアンを
対角化することで
計算される．
7
周辺確率と縮約密度行列
周辺確率

Pi ai    Pa 

a \ ai
i 番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和
縮約密度行列
i  tr\i 
i 番目を除くすべてのノードに対する自由度の対角和
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
8
縮約密度行列(Reduced Density Matrix)
  11;11

  10;11
ρ
 01;11

  00;11

 11;10
 10;10
 01;10
 00;10
 11;01
 10;01
 01;01
 00;01
 11;00 

 10;00 
 01;00 

 00;00
ノード1の状態を固定した
もとでの部分対角和
1  tr\1
  1,1;1,1   1,0;1,0  1,1;0,1   1,0;0,0 

 
  0,1;1,1   0,0;1,0  0,1;0,1   0,0;0,0
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
9
縮約密度行列(Reduced Density Matrix)
  11;11

  10;11
ρ
 01;11

  00;11

 11;10
 10;10
 01;10
 00;10
 11;01
 10;01
 01;01
 00;01
 11;00 

 10;00 
 01;00 

 00;00
ノード2の状態を固定した
もとでの部分対角和
ρ2  tr\ 2 ρ
  11;11   01;01  11;10   01;00 

 
  10;11   00;01  10;10   00;00
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
10
Contents
1.
2.
3.
4.
5.
6.
はじめに
量子系の概説
Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応
量子系のクラスター変分法からの確率伝
搬法の定式化
確率推論への量子統計力学的アプローチ
まとめ
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
11
量子系の難しさ
1 0

I  
0 1
1
2
2




3
Hˆ 23  I  H 23
Hˆ 12  H12  I
1
ˆ H
ˆ
ρ  exp  H
12
23
Z

H 23
H12
1
2
 
3
Hˆ 12  Hˆ 23

ˆ H
ˆ
ˆ exp  H
ˆ
exp  H

exp

H
12
23
12
23
ˆ H
ˆ H
ˆ H
ˆ 
 H
23
12
12
23


指数関数の加法定理が成り立たないので
２ノードの密度行列の計算結果を使い回せない
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
12
Suzuki-Trotter公式

ˆ H
ˆ
exp  H
12
23

n: Trotter 数

 1 ˆ 
 1 ˆ 
 lim  exp   H12  exp   H 23  
n  
 n

 n


積に分かれたときn乗が
残るのでやはりそのま
までは確率伝搬法を使
うのは難しい．
密度行列
19 December, 2006
n
3xn の梯子格子上のグラフィ
カルモデルの確率伝搬法
Suzuki-Trotter 公式
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
Σ
13
Suzuki-Trotter公式


1
ˆ H
ˆ
ρ  exp  H
n: Trotter 数
12
23
Z
 
 
  

 
a
lim
P
a
,
c
,
c
,

,
c
,
b
b



1
2
n

1


n    

a

c
,
c
,

,
c
b
1 2
n 1 



3xn の梯子格子上のグラフィカルモデ
ルの確率伝搬法から統計量の厳密な
数値を求めることができる．
密度行列
19 December, 2006
ST 公式
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)


b
Σ
  
c1 , c2 , c3

a
確率分布

c3

c2

c1
14
Contents
1.
2.
3.
4.
5.
6.
はじめに
量子系の概説
Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応
量子系のクラスター変分法からの確率伝
搬法の定式化
確率推論への量子統計力学的アプローチ
まとめ
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
15
密度行列と縮約密度行列
H   Hˆ ij
1
ρ  exp  H 
Z
ijB
縮約密度行列
(Reduced
Density Matrix)
ρi  tr\i ρ
Reducibility
Condition
19 December, 2006
ρij  tr\ ij ρ
ρi  tr\i ρij
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
16
近似縮約密度行列と有効場


1
ρi 
exp   λk  i 
Zi
 kBi

i


1
ρij  exp   H ij   λk i  I   I  λl  j 


Z ij
k

B
\
j
l

B
\
i
i
j


有効場 λi j は行列
i
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
j
17
量子系における確率伝搬法
の有効場伝搬規則
ρi  tr\i ρij
λ j i  
有効場伝搬方程式
λ
kBi \ j
k i
Z




 log  i tr\i exp   H ij   λk i  I   I  λl  j  

 
 Z ij 
k

B
\
j
l

B
\
i
i
j

 


j
i
Output
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
18
Contents
1.
2.
3.
4.
5.
6.
はじめに
量子系の概説
Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応
量子系のクラスター変分法からの確率伝
搬法の定式化
確率推論への量子統計力学的アプローチ
まとめ
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
19
閉路を持つグラフ上の
確率モデルの結合確率
PrA1  a1 , A2  a2 ,, A8  a8 
 Pa1 , a2 , , a8 
 W568 (a5 , a6 , a8 )W346 (a3 ,a4 ,a5 )W67 (a6 , a7 )
 W25 (a2 , a5 )W24 (a2 , a4 )W13 (a1 , a3 )
W24
W13
A3
有向
グラフ
W67
19 December, 2006
W25
A4
W346
A7
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
無向
グラフ
A2
A1
A6
W568
A5
A8
20
閉路を持つグラフ上の
量子系の密度行列
Η 

a

a

  
   ln W a  a


  B

  Hˆ 
 B
Ĥ   

a

 
a  ln W a  a
Ĥ 24
Ĥ13
A3
A4
Ĥ 25
Ĥ346
A6
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
Ĥ 67
A7
無向
グラフ
A2
A1
B  13,24,25,346,568,67
19 December, 2006
exp  H 
ρ
tr exp  H 
A5
Ĥ568
A8
21
確率推論の密度行列への拡張の一例
Η  

 B a

  8
a log W a  a   hSix   Hˆ 
 B
i 1

 
ˆ
H    a log W a  a  
1 0

I  
0 1
0
x
S  
1
1

0

a
i
h
Six
Bi  1
S1x  S x  I  I  I  I  I  I  I
S 2x  I  S x  I  I  I  I  I  I
S3x  I  I  S x  I  I  I  I  I

19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
22
閉路を持つグラフ上の
量子系の密度行列の数値実験
Exact
1 0 

S  
 0  1
z
z
1
S
 trS ρ1  0.9029...
z
S 4z  trS z ρ4  0.8272...
Ĥ 24
Ĥ13
A3
Quantum CVM
S
z
4
 trS ρ4  0.8379...
19 December, 2006
A4
Ĥ 25
Ĥ346
S1z  trS z ρ1  0.9032...
z
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
A6
Ĥ 67
A7
無向
グラフ
A2
A1
A5
Ĥ568
A8
23
Contents
1.
2.
3.
4.
5.
6.
はじめに
量子系の概説
Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応
量子系のクラスター変分法からの確率伝
搬法の定式化
確率推論への量子統計力学的アプローチ
まとめ
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
24
まとめ
従来型のＣＶＭによる量子系の取扱い
確率推論のグラフィカルモデルにおける
量子確率伝搬法としてのアルゴリズム
今後の課題
量子確率推定への情報統計力学的アプローチ
19 December, 2006
Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)
25

Download Report