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第６章：熱帯域の不安定について（個別的？）＜ーかき混ぜ？
６ー１：成層圏内の傾圧不安定（？）で起こっている例
波数３の２日波、南半球の夏の中間圏界面付近の擾乱
Plumb(1983, J. Atmos. Sci.), Plumb et al. (1987)参照
アデレードでの観測で、東方向、北方向の風の成分
-不安な雲のうかび出て
ふたたび明るく晴れるのは温度
シグナルの時間-緯度断面図Wu et al., 1996, J.
Atmos. Sci. 92年12月-93年3月（南半球夏）、
構造が夏半球的で赤道域まで広がっている。
Wu et al., 1996,
J. Atmos. Sci.
による衛星
データからの、
s=3, 2-day
wave、これは
西方伝播であ
る。
シグナルの緯度-高度断面図、DAY 502は１月終わり
Plumb(1983) はこの擾乱を傾圧不安定で説明しようとした。
つぎに境界条件をあたえる。
ここでは大気擾乱の生成メカニズムの１つと考えられる線
形不安定を考える。
南北には壁をおく事にする。剛体壁で南北風がないとす
れば擾乱について、
-大気にとってはかき混ぜ過程みたいなものか？
ー＞物質分布にも絡むであろう方程式は準地衡風方程式を用い、基本の場（高さと緯度の
関数）が擾乱を成長させるか？を議論してみる。ここで
 '
0
x
hence
'  0
at
y  0,L
鉛直方向は、地表ではw=0であろう。ただしPVの式はw
を含んでいないので、熱力学の式を変形する。
前に熱力学の式は
(



 ug
 vg
)q 0
t
x
y
のような保存の式をもちいる。ここで、
f 2  0 
2
q     f  y 
(
)
0 z N 2 z
これまでたびたびおこなってきたように、東西平均量（基
本の場）とそれからのずれを考える。
  p
  p
  p
( ( ))  ug
( )  vg
( )  w0N 2(z)  0
t z 0
x z 0
y z 0
であった。これの線形で流線関数表現では、
 
 
 '  
( ( ))  u
( ) 
()  w0 fN2 (z)  0
t z
x z
x  y z
擾乱についての線形の方程式は以下のようになる。



(  u )q'  v' q  0
t
x
y
ここで、


f2 
 
q  
( 2 
( 02
))
y
y
0 z N z
 2u
f2 
 u
  

( 02
)
2
y
0 z N z
f2 
  '
q'   2 ' 
( 0
)
 0 z N 2 z
この式でw=0とおいて、
 
 
 ' 
( ( ' ))  u
( ' ) 
(u )  0
t z
x z
x z
である。無限遠では
'
が有限という境界条件をおく。
Ψ’を上の境界条件のもとに解くこと（例えば固有値問題
にする）が重要な仕事になる。
補足：不安定のための必要条件
境界条件を使うと
擾乱について
2
2

 

 


1 
2
2



k


q2

  (* 0 )   0
 0 y
z 
z
(u  c) y
 z
の形を仮定すれば、もとの方程式は
  2 2 2  2 



1 
2
*




k





dy




q

0
0
0
 y

z 
z z  0  (u  c) y

 '  Re(y,z)expik(x  ct)
 2 
1 
  
(u  c)  2  k 2  
( 0
) 
q  0
 0 z
z  y
y
f2
ただし   である。境界条件は
N2

(u  c)
 u

  0 at z  0
z z
で、無限では
が有限の境界条件をかす
南北は  がゼロ。
 2 2
1 

1 

k


(

)

q0
y 2
0 z 0 z (u  c) y
上式にpsi *をかける
 2  2  * 

1 
2
0   2  k   (0 )  0
q  0
z
z
(u  c) y
y

*
部分積分をして変形する


 
2
0 (* )  0 *   0k 2 
y y
y y


 
1 
2
 (*0 )  0 *   0
q  0
z
z
z z
(u  c) y
鉛直と南北に積分し、

1
u

 at z  0
z
(u  c) z
を代入して
2
2 

 

1 u
1 
2 2 
*



k




dy





q2


0
0
0
 y


z 
(u  c) z z 0
(u  c) y

  2 2 2  2 


1 u
1 
*
2




k


   dy  0
  0
q
 0 y
z 
(u  c) z z 0
(u  c) y

となる。不安定の必要条件として（不安定なら c が復素
になるからそのときみたすべき式は）、
左辺は実だから
    2
u 0  2
0
ci  q
2 
2
z u  c
 y u  c

dy 0

z0
これが不安定の必要条件である。不安定のとき
はnot
c
i
zero
だから［］内がゼロにならないといけない。z＝０での
境界条件が関係しないとき（内部jetの不安定と呼ばれる、
中層大気の不安定）、平均のPVの南北微分が符号を変え
ることが、不安定の必要条件になっている。
Plumb(1983)による固有値問題での説明2

 u f 2  0 u
q   2 
(
)
y
y
0 z N 2 z
東西風の鉛直分布と
を示す。Potential Vorticity 勾配が符号を変える。
Harris and Vincent, 1993, JGRでは赤道域 2N,157W,
Chrismas島で２日波を解析している。かれらによると、
このシグナルはk＝３のRossby-重力波と言っている。
夏半球の中層大気で東風になっている。
その時の固有関数として、下図のような構造の波が不安定に
なっている。波長9400ｋｍ（波数３程度）、南北には5000ｋｍの
sinモードを仮定。Geopotential振幅は80kmあたりが最大に
なっている。熱フラックスの大きいところは、PVの南北微分が
符号を変えているところに対応している（ｃ図）。
南北風に２日にシグナル
Filterをかけた南北風の時間変動
波数３の２日波と思われるモードのprimitive方程式の計算。
Salby, 1981, J. Atmos. Sci.、
計算のためのsolstiseでの基本場
計算された s=3 のRossby重力波、夏半球中間圏あたりに
大きな振幅がある。自由振動として計算されたが、風のた
めに不安定になっているのであろう？ Intrinsic frequency,
振幅、位相
GCMの中の２日波
UGAMP GCM (T21) の７月１日の東西平均風、
Norton and Thuburn, 1996, G. R. L.
波数３の擾乱の緯度-高度断面図、RG波のよ
うに、赤道で南北風が大きい（b）
約65km
（3000K),
85km(7000
K)での波数
３の構造
２日波の振幅の時間変化、実線が波数３
でdottedが４
2
2
 2 v
2
u
2   
(
)

2
f


N

f
(
f

)0
t 2 z
yz
y 2 z 2
y
６—２慣性不安定（f−平面、hydro）について
ブシネスク流体で、xー方向には一様な擾乱についての
式は（ただし、基本場のshearは一定）
u
u
 v
 w  f v  0
t
y
v
p
 fu  
t
y
v
w

 0
y
z
pz
 f v  N 2 w  0
t
uz  
熱力学の式をy-微分


pz
v

y
 f
 N2
w  0
t
y
y
x-方向の運動方程式を z-微分して f をかける。
uz
v
u
w
f

f(
 f)
f  0
t
z
y
z
最終的に、
2
2
  z 2
 2
 2
u
2 

2
f

N


f
(
f

)0
t 2
yz
y 2
z2
y
2
exp( ily  imz の形を仮定すると、
i t)
 2 (m2 )  2 flm  N 2 l 2  f ( f 
 2 m 2  2 flm  N 2 l 2  f ( f 
u 2
)m  0
y
u 2
)m
y
のようになる。赤道からすこし離れたところで、
u
ならば、第３項が負となり、全
f
0
y
足すと、
体として負になる可能性がある。このとき、不安定になる

 pz  fuz
であろう。
v
v
u
w
y
2 
 f  N
w
f (f  )
f  0 
t
y
y
z
y
z
圧力勾配が南北にもよらず、上昇流もなければ、
w 

y
v  

z
を用いて、
2
2
 
2
u
2   
( pz  fuz )  2 f   N 2  2 f ( f  )  0
t y
yz
y z
y
v
p
 fu  
t
y
を用いて、
u
u
v
 fv  0
t
y
v
 fu  0
t
 2v
u
  f( f 
)v
2
t
y
のような式となり、
るであろう。
u
)0
ならば、不安定にな
y
f (f 
そのような例として、例えばHayashi et al. (2001)
赤道域の50kmあたりに鉛直波長10km程度のパンケーキ構造がみえる。これは、慣性不安定でつくられているようである。
ただし、第２項の制限がつよい。例えば、f=10-5 N=2x10-2 Λ=10-3 Ly=8000km (半波長4000km）Lz=5km
u
2 l2を小さくして、第３項を大きく）
=30m/s/1000km で負の値をもつ。（N
y
GCMでの慣性不安定：Hunt, 1981, JAS、15zonal waves,４０点南北、５４層、モデルで１月の条件である、このモデルは観
測に比べ風速が強い
北半球
北半球でシグナルあり、
ノイズではないと言っ
ている
シグナルは見えるが半
年振動に何か寄与をし
ているかは分かってい
ない。
補足：慣性不安定と２日波との関係？
Orsolini et al. の例、QJRMS, 1997
150E近傍のtracer分布1mb
1mbあたりの水蒸気分布、15 Jan, 17 Jan, 25 Jan, 92年、南
半球はk=3の２日波。北半球は細かいeddyあり
PVの緯度経度分布図、1mb, 0.68mb
惑星波動の赤道域への伝播ー＞慣性不安定ー＞夏の東風
1mb,平均東西風の時間変化、Dec->Feb、東風の北半球へで２日波を作りやすいようになっている？＜ー６ー１節の議
のpenetration、
論では基本場が不安定の条件を満たす
式的補足
絶対（慣性系からの）運動量は
M
u
 f 
y
y
だからM一定面における傾きは、
M  fy  u
一方温位一定面における傾きは、
絶対渦度なる量は慣性不安定の条件によって重要な量であ

る。

f  u /y
u /z
1
fu /z
(g / 0 ) /z
f ( f  u /y)((g / 0 ) /z)

1
f 2 (u /z) 2
(z /y) M

(z /y)

M1  fy1  u1  fy  u(y,z)
M 2  fy2  u2  f (y  y)  u(y  y,z  z)


M1'  f (y  y)  u1'  M1
M2, M1を消すと

u1'  fy  u1
M 2'  fy  u'2  M 2
(
u'2   fy  u2
2
2
 fy(u1  u2  fy)  fy(M 2  M1 )
もともともっているzonalな運動エネルギーが減少す
ることで、南北の変位が増加するであろうから（図の

ようになっている）
f (M2  M1)  0
さてMは保存量として、

M
M
M 
y 
z  0
y
z
fP  f ( f 



(
or
F 2N 2  S 4  0
この図を使って（pをM
に、xをyに置き換え
る）、
M
M
M z
)  (
)z 
( )
y
y
z y 
M  fy  u
もともともっているzonalな運動エネルギーの変化は

 (KE)  1 (u' 2  u' 2 )  1 (u 2  u 2 )
1
2
1
2
F 2N 2
1
S4
不安定の条件は以下のよう：
M1を2に保存的にもっていくと
M2を1に保存的にもっていくと


z
fu /z
y
) 

y
 /z (g / 0 ) /z
N 2  (g / 0 ) /z F 2  f ( f  u /y) S 2  (g / 0 ) /y  fu /z
M
(
) 0
y の状況が示してある

z
M /y f  u /y
) 

y M
M /z
u /z
図から、等温位面の傾きが大きいから

(z /y) M
1
(z /y)
いま図のように、１、２にある絶対運動量は

(

(z /y) M
(z /y)
図では
(
を使って

u

u
u z 

) (g
)  f ( f 
)  (
)(
) (g
)
y 
p
y z
z y  
p



z
fu /z
y 
) 
y
 /z
(g / 0 ) /z
だから

u
u z 

fP  f ( f 
)  (
)(
) (g
)
y z
z y  
p



u
u
fu /z

 f ( f 
)  (
)
)
( g
y z
z (g / 0 ) /z  gz


fP  (F 2  S 4 / N 2 )

 F 2N 2  S 4 
1  g 
 g  z
fg
P

＜ー上の不安定の条件を
Potential 渦度で表わす
補足
温位座標についての質量は
M  Az 
A
g
gz 
A
g
(p) 
ここで以下を定義すると、
だから、温位系での圧力勾配は
A
g
(
 
(
p
)

のようになる。
静力学平衡の式は温位の式を変形して
1 p
g 

質量は温位をつかって以下のようになる。
  T(
M  A
連続の式は
ps R / c p
 T
R p

T
p
)



 cp
 cp
R
p

T
cp p

T
p

RT
RT
 c pT 
p  c pT 
gz  c pT   (gz)

p
p


T


(c p T  )  c p
 

c pT

1 D
1
D
1 D  Dx  Dy  D
M  0 
xy 



0
M Dt
 Dt x Dt y Dt  Dt
 xy Dt
D
u
v
 Ý

 Ý
      
0 
   (V)  (
)0
Dt
x
y

t

 (c T  )

)  ( p
)
x
x
水平方向の運動方程式は
V
V V
   (
 )  (  f )k  V  0
t
2

渦度方程式は

D˜
(t  V   )(  f )  (  f )  V  Dt (  f )  (  f )  V  0

1 
1 Ý 
 Ý
 V   )( 1 )   2 (  V   )  2 
    V  


t
 t
  
 

1
1 
Ý)
 (  V   )( 1 )    V  2
(
t

 
(
pC  pA pB  pA pC  pB z


x
x
z x
図から
極限をとって
(
p
p
p z
) (
) 
(
)
x 
x z
z x 

これを使って、圧力勾配は
p
1 p
1 p z
1 p

) z  ( ) 
( )  ( )  ( )
 x
 x
 z x
 x
x

1
  T(

(
ps R / c p
)
p
ln T 
だから、温位一定のもとで
R
T R p
p
ln p 

 c pT  RT
cp
T cp p
p


 V   )P  (  V   )(  f ) 1 
t
t

1 
  (  V   )(  f )  (  f )(  V   )( 1 )
t
t
1
1 
1
Ý)
  (  f )  V  (  f )   V  2
(



 
1 1 
Ý)
 (  f ) 
(
 
(

ここでP=potential 渦度は温位座標での質量密度σ

と関係している
M
gM
 (   f )
z
gz
gM
gM
(   f ) M
 (   f )
 (   f )

p
p


(
)

(   f )A  (  f )
を用いて、


1 p
1 pc T
T
( )  ( p )( )  c p ( )
 x
 RT x
x
６ー３：赤道域のK-H不安定の観測例
赤道レーダ( 0.2S, 100.32E)で観測されたK-H不安定、
Yamamoto et. al., GRL, 2003, 熱帯圏界面、2001年11月。不安
定の条件は満たしているが、結果がごちゃごちゃで私には分か
らない。上から鉛直流、東西、shear, Ri。
Kelvin-Helmholtz 不安定の線形問題を解いてある
例：
Dash:東西風
dot-dash:シアー
これは天気、１９９２、No. 1の巻頭にのっていたカ
ラー写真をコピーしたものである。Takayabuがとら
れた。きれいな波状の雲パターンが見える。水平ス
ケールは３０００ｍ程度。この波動擾乱はKelvinHelmholtz不安定によって生じたらしい、１９９０年１
２月２３日
K-H不安定が起こったときの大気状況
K-H不安定が起こったときの風と温位の鉛直分布。
実線が風で破線が温位である。Takayabu, 1992,
J. Met. Soc. Japanより。
地表天気図 (KH書かれたところに発生）
高層天気図（stipple領域はcold frontの西側
の冷たい空気を示す）
Richardson数（実線）とshearの鉛直分布（2.5kmあ
たりにRi＜0.25のところがある）
３つのモードの特徴
線形の方程式（２次元）：
U 0
u w


1 p

 0 (  U 0 )u 
w
0
x z
t
x
z
 x


1 p

(  U 0 )w 
g 0
t
x
 z
0


N2

(  U 0 ) 
0 w  0 u 
t
x
g
z
w

x
 2U 0  g 

 2
2
(  U 0 )( 2  2 ) 

0
t
x x
z
z 2 x  0 x
  Reˆ ( z ) exp( ik ( x  ct ))

 Re ˆ( z ) exp( ik ( x  ct ))
0
 2U 0
N2
2
2
ˆ
(U 0  c) 
ˆ  0 (U 0  c)( 2  k )ˆ  2 ˆ  gˆ  0
g
z
z
z=0 z=5000mで鉛直流=0 の境界条件で固有値問題をとく。
線形解析の結果：Takayabu(1992, J. Met. Soc. Japan) 、（基本流が複
雑なので数値解に頼らざるを得ない）。
最も成長率の大きい３つの不安定解を求めている。しかし実際の擾乱
によく似ている解は２番目のmode らしい。なぜ１番目でないのか私に
はわからない。とにかく２番目のmodeについて、波長が１６２０ｍ（観測
では２７００ｍ）、位相速度１６ｍｓー１（観測でも１６ｍｓー１）、最大振幅の
高さは２５５０ｍ（観測で２５６０ｍ）、振幅が e - 倍になる時間は３４０秒
である。
第２モードの鉛直分布
補足：K-H不安定で波の生成＋地表の間でDuctのようにな
り、重力波が水平に伝播している観測例
固有値問題も解いてある。
Ferretti et al. (1988, Met. Atmos. Phys.)
基本場の状態（10ｋｍくらいの高度でRiの小さい
ところあり）
２００ｋｍ水平スケールで３時間くらいの周期の波、ス
ケールが大きい？
1979, Aprilの地表、850mb, 300mbの場の様子
圧力偏差のパターンの時間変化、波波している
モードの鉛直構造
６ー４：重力波のbreakingのはなし（Holton, 1982, J. Atmos. Sci.）
w'  w(z)exp(z / 2H)exp(ik(x  ct ))
重力波：
を考える。ここでWKB的に表現すると、
w (z)  A m
1 / 2
exp(i  mdz)
と表される（西風の中で相対的に東の時）。ここで、
m2 
を用いると、
w (z)  B(
は
B
のようになる。
N2
(u  c)2
u  c 1/2
) exp( i  mdz)
u0  c
uの振幅を表す。
 u0
Lindzen, 1981, J. G. R.から
ここで、波が鉛直伝播して、波の振幅が大きくなり
exp( z の形になっているので）、対流不安定を起こす
/ 2H)
（
ようになるであろう。そのとき、以前に示したように（温位勾配）
g
T

cp
z

T'
z
 0
をみたすとき、対流不安定が起きるであろう。左辺の始め２項
が平均状態であり、第３項が波にともなう温度勾配を示してい
る。ここで、
と表しておこう。
g
T
N 2H

 
cp
z
R
重力波に関する熱力学の式から、
ik(c  u )T'  w' 
だから温度擾乱は
T' 
iBexp(z / 2H) u  c 1/ 2
(
) exp(i  mdz)
k(u  c)
u0  c
鉛直微分して
T'
iBim u  c 1/ 2
z

(
) exp(
 i mdz)
z
k(u  c) u0  c
2H 
z
T'
NB

exp(z / 2H   mi dz)
z
(u  c)3/ 2 k(u0  c)1/ 2
zb
だから（mの方が効くとする、そんな波がよく観測されている）、
対流の起こる高度は
T'
N B
exp( z / 2 H )
  
3/ 2
z
(u  c)
k(u0  c)1 / 2
で前のzbの式を用いると、
をみたすから、
1
(u  c)3/ 2 k(u0  c)1/ 2 
zb  2H ln 


BN

(ub  c) 3/2
exp(( z  z b ) / 2 H 
(u  c)3 / 2
z
 m dz)
i
zb
1  (ub  c) 3 /2 (u  c)3/ 2 exp(( z  z b ) / 2 H 
z
 m dz)
i
zb
ｚで微分すると、
の式で波が壊れる高度、breaking levelを決める。
3/ 2
この考え方の１つの特徴は拡散係数が内部的に決まることであ (ub  c) (3 / 2)(u  c)
ろう。
5/ 2
z
du
exp(( z  zb ) / 2H   mi dz)
dz
z
b
3/ 2
(ub  c) (u  c)
z＞zbでは波のbreakingにより拡散されるであろうから、以下のよ
うな形になるであろう。
ik(c  u )T'  w'   D
だから
du
1
(
 mi )  0
dz
2H
1
1 du
mi 
 (3 / 2)(u  c)
2H
dz
 T'
2
2  m DT'
z
ik(c˜  u )T'  w' 
˜  c 
c
im 2 D
k
また前のように（WKB的に）、
m  mr  imi 
N
N
N
N3 D



i
2
4
u  c˜ (u  c  im D ) (u  c) k(u  c)
k
のように表されるであろう。
z＞zbで
z
1
(
 mi )exp(( z  zb ) / 2H   mi dz)  0
2H
zb
(3 / 2)(u  c)1
2
ここで（c tilde の中にdampingの項が入っている）
3/ 2
 mi が（対流不
安定的に）
だから、miの２つの式から
拡散係数はz＞zbで
D
k(u  c) 4  1
1 du 
2H  (3 / 2)(u  c) dz 


N3
物質拡散にもつかう→
のようになる。（数100kmの波長が仮定）
を用いて、運動量フラックスは
iku  imw
 u' w'   
1 m
u  c
2
B (
) exp( 2  mi dz)
2 k
u0  c
補足：critical levelでの波動不安定
西風shear 中での鉛直伝播の重力波は（WKB）
wA
熱力学の式
R 

R T
g
( u
)T' w'
(
 )0
H t
x
H z c p
(
として
1
exp(i  mdz  ikx  ikct)
m1/ 2
T
g
 )
z c p
ik(c  u )T'  w' 
1

T'  A 1/ 2 exp(i  mdz  ikx  ikct)
m
ik(c  u )
m
東西風の擾乱の式で表すと、
u  (c u )exp( i  mdz  ikx ikct)
の時である。
すなわち振幅が
U  (c  u )
のときに波がこわれるので、critical level近傍では波
は壊れやすいであろう。
これが、中層大気での乱流生成の重要なメカニズム
の１つと考えられている。
critical levelで温位が立った
状態
波が壊れ、東西
風が加速されて
いる
N
cu
この式からcritical levelでは温度は大きくなる。そのとき対流
不安定が 
T
g
T'


0
z
cp
z
で起きるであろう時は、
T
g
T'

1



A 1/ 2 (im)
z c p
z
ik(c  u ) m
k(c  u )
 A
m1/ 2
のような振幅の時である。
Dunkerton and Fritts, 1984, J. Atmod. Sci.
(Winters and D'asoro, J. G. R., 1989)
波が壊れて、より小さなスケールの擾乱になっていく。海
洋モデルで海洋の中の同じような状況になっているので
あろう。
図は室内実験での様子である。Delisi and Dunkerton
(1989)
以前の実験（４章）では散逸がつよすぎて、波の破壊が
みれていないようである。

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