数 学 の か た ち 第６講 フラクタルとカオス 早苗 雅史 [email protected] 数学とソフトウエア www.nikonet.or.jp/spring/sanae/ 1 コッホ曲線 デモ 2 コッホ曲線 いたるところ自己相似な図形 ＝ フラクタル図形 3 樹木曲線 デモ 4 再帰図形 デモ 5 線形な漸化式 xn+1 = a xn + b xn+1 = 0.7 xn + 1 （x0=1） 1，1.7，2.19，2.533，2.7731， …， 3.3279，3.3295，3.3307，3.3315 5 10 20 6 線形な漸化式 xn+1 = a xn + b xn+1 = 0.7 xn + 1 （x0=5） 5,4.5,4.15,3.9,3.73,3.61， …， 3.337,3.336,3.335,3.335 5 初期値を変えても 同じ値に近づく 10 20 7 線形な漸化式 xn+1 = a xn + b a=1 a=2 5 5 10 20 10 a = －1 20 a = － 0.4 5 5 デモ 8 10 20 10 20 線形な漸化式 xn+1 = a xn + b (1) a ＜ 1 のとき 一点に収束 (2) a ＝ 1 のとき 発散 (3) a ＞ 1 のとき a = 1 で発散，a =－1で振動 9 非線形な漸化式 xn+1 = a xn( 1－ xn ) a = 0.6 a = 1.8 a = 2.8 1 1 1 0.5 0.5 0.5 50 100 50 a = 3.2 100 50 a = 3.5 1 1 0.5 0.5 0.5 100 50 100 a = 3.9 1 50 デモ 100 50 10 100 非線形な漸化式 xn+1 = a xn( 1－ xn ) a = 3.2 a = 3.5 a = 3.9 11 非線形な漸化式 xn+1 = a xn( 1－ xn ) a = 0.6 1 a = 1.8 0に収束 1 0.5 一定値に収束 1 0.5 50 100 100 50 a = 3.5 振動しながら2つの値 を交互に繰り返す 0.5 1 振動しながら 一定値に収束 0.5 50 a = 3.2 1 a = 2.8 100 a = 3.9 振動しながら4つの値 を交互に繰り返す 1 規則性はすぐには 見いだせない 0.5 0.5 12 50 100 50 100 50 100 非線形な漸化式 xn+1 = a xn( 1－ xn ) (1) 0 ＜ a ＜ 1 のとき 一定値 0 に収束 (2) 1 ＜ a ＜ 3 のとき 0でない一定値に収束 (3) 3 ＜ a ＜ 4 のとき 最初は2つの値で振動 その後4つの値で振動 その後は・・・ 13 分岐ダイアグラム 1 デモ 0でない一定値に収束 0.5 2分岐 4分岐 1 1 2 0 ＜ a ＜ 1 のとき 一定値 0 に収束 3 4 0.5 14 4 分岐ダイアグラム 1 デモ フラクタル構造 0.5 0.6 3.85 3.9 0.5 15 3.84 3.85 3.86 3.87 カオス的領域 (3) 3＜ a ≦ 1 6 2つの値の間を振動 (4) 1 6 ＜ a ＜ 3.570･･･ いろいろな値を振動 (5) a ≧ 3.570･･･ 非常に複雑な動きを示す カオス的領域 16
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