プレゼン用資料⑥

数 学 の か た ち 第6講
フラクタルとカオス
早苗 雅史
[email protected]
数学とソフトウエア
www.nikonet.or.jp/spring/sanae/
1
コッホ曲線
デモ
2
コッホ曲線
いたるところ自己相似な図形
= フラクタル図形
3
樹木曲線
デモ
4
再帰図形
デモ
5
線形な漸化式
xn+1 = a xn + b
xn+1 = 0.7 xn + 1 (x0=1)
1,1.7,2.19,2.533,2.7731,
…, 3.3279,3.3295,3.3307,3.3315
5
10
20
6
線形な漸化式
xn+1 = a xn + b
xn+1 = 0.7 xn + 1 (x0=5)
5,4.5,4.15,3.9,3.73,3.61,
…, 3.337,3.336,3.335,3.335
5
初期値を変えても
同じ値に近づく
10
20
7
線形な漸化式
xn+1 = a xn + b
a=1
a=2
5
5
10
20
10
a = -1
20
a = - 0.4
5
5
デモ
8
10
20
10
20
線形な漸化式
xn+1 = a xn + b
(1) a < 1 のとき
一点に収束
(2) a = 1 のとき
発散
(3) a > 1 のとき
a = 1 で発散,a =-1で振動
9
非線形な漸化式 xn+1 = a xn( 1- xn )
a = 0.6
a = 1.8
a = 2.8
1
1
1
0.5
0.5
0.5
50
100
50
a = 3.2
100
50
a = 3.5
1
1
0.5
0.5
0.5
100
50
100
a = 3.9
1
50
デモ
100
50
10
100
非線形な漸化式 xn+1 = a xn( 1- xn )
a = 3.2
a = 3.5
a = 3.9
11
非線形な漸化式 xn+1 = a xn( 1- xn )
a = 0.6
1
a = 1.8
0に収束
1
0.5
一定値に収束
1
0.5
50
100
100
50
a = 3.5
振動しながら2つの値
を交互に繰り返す
0.5
1
振動しながら
一定値に収束
0.5
50
a = 3.2
1
a = 2.8
100
a = 3.9
振動しながら4つの値
を交互に繰り返す
1
規則性はすぐには
見いだせない
0.5
0.5
12
50
100
50
100
50
100
非線形な漸化式 xn+1 = a xn( 1- xn )
(1) 0 < a < 1 のとき
一定値 0 に収束
(2) 1 < a < 3 のとき
0でない一定値に収束
(3) 3 < a < 4 のとき
最初は2つの値で振動
その後4つの値で振動
その後は・・・
13
分岐ダイアグラム
1
デモ
0でない一定値に収束
0.5
2分岐 4分岐
1
1
2
0 < a < 1 のとき
一定値 0 に収束
3
4
0.5
14
4
分岐ダイアグラム
1
デモ
フラクタル構造
0.5
0.6
3.85
3.9
0.5
15
3.84
3.85
3.86
3.87
カオス的領域
(3) 3< a ≦ 1  6
2つの値の間を振動
(4) 1  6 < a < 3.570・・・ いろいろな値を振動
(5) a ≧ 3.570・・・
非常に複雑な動きを示す
カオス的領域
16