Web3Dを用いた数学教材の作成

数学のかたち
フラクタルとカオス
Masashi Sanae
コッホ曲線
デモ
2
コッホ曲線
いたるところ自己相似な図形
＝フラクタル図形
3
樹木曲線
デモ
4
再帰図形
デモ
5
線形な漸化式
xn+1 = a xn + b
xn+1 = 0.7 xn + 1 （x0=1）
1，1.7，2.19，2.533，2.7731，
…， 3.3279，3.3295，3.3307，3.3315
5
10
20
6
線形な漸化式
xn+1 = a xn + b
xn+1 = 0.7 xn + 1 （x0=5）
5,4.5,4.15,3.9,3.73,3.61，
…， 3.337,3.336,3.335,3.335
5
初期値を変えても
同じ値に近づく
10
20
7
線形な漸化式
xn+1 = a xn + b
a=1
a=2
5
5
10
20
10
a = －1
20
a = － 0.4
5
5
デモ
8
10
20
10
20
線形な漸化式
xn+1 = a xn + b
(1) a ＜ 1 のとき
一点に収束
(2) a ＝ 1 のとき
発散
(3) a ＞ 1 のとき
a = 1 で発散，a =－1で振動
9
非線形な漸化式 xn+1 = a xn( 1－ xn )
a = 0.6
a = 1.8
a = 2.8
1
1
1
0.5
0.5
0.5
50
100
50
a = 3.2
100
50
a = 3.5
1
1
0.5
0.5
0.5
100
50
100
a = 3.9
1
50
デモ
100
50
10
100
非線形な漸化式 xn+1 = a xn( 1－ xn )
a = 3.2
a = 3.5
a = 3.9
11
非線形な漸化式 xn+1 = a xn( 1－ xn )
a = 0.6
1
a = 1.8
0に収束
1
0.5
一定値に収束
1
0.5
50
100
100
50
a = 3.5
振動しながら2つの値
を交互に繰り返す
0.5
1
振動しながら
一定値に収束
0.5
50
a = 3.2
1
a = 2.8
100
a = 3.9
振動しながら4つの値
を交互に繰り返す
1
規則性はすぐには
見いだせない
0.5
0.5
12
50
100
50
100
50
100
非線形な漸化式 xn+1 = a xn( 1－ xn )
(1) 0 ＜ a ＜ 1 のとき
一定値 0 に収束
(2) 1 ＜ a ＜ 3 のとき
0でない一定値に収束
(3) 3 ＜ a ＜ 4 のとき
最初は2つの値で振動
その後4つの値で振動
その後は・・・
13
分岐ダイアグラム
1
デモ
0でない一定値に収束
0.5
2分岐 4分岐
1
1
2
0 ＜ a ＜ 1 のとき
一定値 0 に収束
3
4
0.5
14
4
分岐ダイアグラム
1
デモ
フラクタル構造
0.5
0.6
3.85
3.9
0.5
15
3.84
3.85
3.86
3.87
カオス的領域
(3) 3＜ a ≦ 1  6
2つの値の間を振動
(4) 1  6 ＜ a ＜ 3.570･･･いろいろな値を振動
(5) a ≧ 3.570･･･
非常に複雑な動きを示す
カオス的領域
16

Download Report