断層極近傍における広帯域強震動計算法 - 久田研究室

断層極近傍における
広帯域強震動計算法
工学院大学建築学科
久田嘉章
断層極近傍における
広帯域強震動計算の必要性
すべり１０m?
すべり７m以上?
日本の地震活動
（地震調査研究
推進本部）に加筆
断層極近傍における
広帯域強震動計算の必要性
1999年台湾・集集地震の石岡における被害
Strong Motion Records in 1999 Chi-Chi Earthquake
→ランダム波・長周期パルス波・フリングステップ
Fouerier Amplitude
(gal x sec)
1000.0
TCU052
100.0
ω-3
10.0
1.0
0.01
0.1
1
10
100
TCU068
100.0
TCU071
100.0
10.0
1.0
0.01
0.1
1
10
0.1
frequency (Hz)
ω-2
0.1
100
1000.0
TCU072
100.0
10.0
1.0
0.01
0.1
1
10
100
0.1
frequency (Hz)
1.0
0.01
ω-3
10.0
Fourier Amplitude (gal x
sec)
ω-2
1000.0
1000.0
1
10
100
0.1
frequency (Hz)
→ω-2～ω-3
Fourier Amplitude (gal x
sec)
Fouerier Amplitude (gal x
sec)
0.1
frequency (Hz)
Fourier Amplitude (gal
x sec)
Fourier Acceleration Spectra (NS Components)
ω-2
1000.0
TCU089
100.0
10.0
1.0
0.01
0.1
1
0.1
frequency (Hz)
10
100
1999 台湾・集集地震（上盤：地表断層近
傍）
1992 Landers Earthquake
レシピでは？
変位に不連
続？
アスペリティー：高振動数波と
長周期パルス波の発生源
地表
断層極近傍における強震動計算法

ハイブリッド手法（統計的手法＋解析的手法）
解析的手法：ｋ２モデル
3
2.5
2
Slip Velocity

1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
time (sec)
1) slip distribution
→ k2 model
2) rupture time distribution
→ k2 model
3) slip velocity
→ Kostrov type + fmax
or others
2
ランダム波の発生（Ｋ２モデルによる
破壊フロントの乱れの表現）
すべり分布
破壊開始時間分布
観測点
15 km
1 km
⊿t = 0 sec
破壊開始時間分布
破壊開始時間分布
⊿t = 0.4 sec
⊿t = 0.8 sec
10x10 km2
ランダム波の発生（Ｋ２モデルによる
破壊フロントの乱れ）
観測点
15 km
1 km
10x10 km2
加速度波形
⊿t = 0 sec
⊿t = 0.4 sec
⊿t = 0.8 sec
速度波形
→ランダム波の発生には破壊フロントの乱れが効果的
地表断層極近傍における広帯域強
震動計算法（ハイブリッド手法）
ランダム波
パルス波
フリング波
統計的手法
（短周期）
ランダム
位相
既存波の
位相
既存波の
位相
解析的手法
（長周期）
破壊フロントの
乱れ
すべり・破壊開始
時間の不連続
静的解の考慮
パルス波の発生（すべりと破壊開始
時間の不連続面）
地表
震源
アスペリティー破壊開始点
地表断層極近傍における広帯域強
震動計算法（ハイブリッド手法）
ランダム波
パルス波
フリング波
統計的手法
（短周期）
ランダム
位相
既存波の
位相
既存波の
位相
解析的手法
（長周期）
破壊フロントの
乱れ
すべり・破壊開始
時間の不連続
すべり関数
＋静的解
断層面近傍における表示定理の断層面
積分の特異点の扱い
14
12
10
8
6
4
2
49
45
37
22
15
Width
8
41
25
33
Length
29
17
21
9
0
13
・観測点が断層面近傍にあ
る時、グリーン関数が1/r2に
近いオーダーで発散
・発散点近傍に多数のグ
リーン関数を分布させる必
要
・動的な成層地盤では多大
な計算時間
1

5

T ikD ( X , Y ;  )  D i ( X ;  ) d 
Integrand
U k (Y ;  ) 
1
断層面近傍における特異積分の回避法
(Hisada and Bielak, 2002, 2003)
Conventional Method
U k (Y ;  ) 


T ikD ( X , Y ;  )  D i ( X ;  ) d 
動的項
Hisada and Bielak (2002, 2003)


U k (Y ; )   T ( X , Y ; )  T ( X , Y ) Di ( X ; )d

D
ik
S
ik
T
D
ik
S
ik



T ikS ( X , Y )  D i ( X ;  ) d 
静的項
( X , Y ;  ) :Dynamic Traction Green’s Function
T ( X , Y ;  ) :Static Traction Green’s Function
地表加振・地表観測に対する成層地
盤グリーン関数の波数積分の評価
動的項：漸近解法
D
ik
T
 T   t  t Jdk

S
ik
0
D
ik
静的項：積分路変換法

kA

T   t Jdk   t Jdk   t ikS Jdk
S
ik
S
ik
0
0
S
ik
kA
1  S (1)
( 2)


t
Jdk

t
H

H
dk
ik
kA

2 kA



kA


kA
S
ik
t H dk   t H dki
S
ik
S
ik
t H
(1)
AB'
( 2)
S
ik
(1)
(kr)dk   t H dk i
AC '
S
ik
( 2)
S
ik
Example 1:
Surface Fault with Strike Slip
Half Space (Vs = 3 km/s)
Vr = infinite
Example 1:
Surface Fault with Strike Slip
Attenuation of Maximum Velocity
Example 2 :
Directivity and Fling Effects
Vr = 2.5 km/s
Example 2 – Surface Fault –
(Directivity and Fling Effects)
Example 2 – Buried Fault –
(Directivity and Fling Effects)
Maximum Slip Velocity
多層構造の場合
（地表断層モデル）
まとめ



地表断層面の極近傍における効率的な強震動計算
法を提案：表示定理において動的項と静的項に分離
し、静的項における特異積分を厳密に評価
地表断層面近傍のfling stepは静的項（すべり関数
＋静的グリーン関数）の寄与：幾何減衰は１/ｒ2
広帯域な強震動計算にはハイブリッド法（統計的手
法＋解析的手法）が、解析的手法にはｋ２モデルが
有効
広帯域な強震動予測手法


長周期（>１秒）：運動力学的な震源モデル
短周期（<１秒）：統計・経験的な震源モデル
短周期 ←→ 長周期
短周期 ←→ 長周期
M7地震
0
1
2
周期
M8地震
0
1
2
4
周期
→ 運動力学的震源モデルをより短周期へ
→ ω-2モデル
台湾集集地震の地表断層変位分布
大槻憲四郎（1999）より
目的：
地表断層極近傍の強震動計算法



ハブリッド手法（統計的手法＋解析的手法）
K２モデル（すべり＋破壊開始時間の分布）
断層面近傍の表示定理・グリーン関数の評価
1/r ～ 1/r2
の特異性
パルス波の発生（すべりと破壊開始
時間の不連続面）
地表
5 km
観測点（地表、断層面から100 m）
3 km
9 km
すべり 1m
震源
＝
＋
震源
⊿t = 0 & 5 sec
内部領域の
破壊開始点
40
40
30
30
20
20
10
10
0
-10 0
5
10
15
time (sec)
-20
-30
-40
-50
-60
pattern 0
pattern
1+2(⊿t=0)
velocity (cm/s)
velocity (cm/s)
パルス波の発生（すべりと破壊開始
時間の不連続面）
0
-10 0
-20
-30
-40
-50
-60
5
10
15
time (sec)
pattern 0
pattern
1+2(⊿t=5)
加速度フーリエスペクトル
⊿t=0.0
⊿t=0.2
⊿t=0.4
⊿t=0.8
ω‐2
gal*sec
加速度フーリエスペクトル
100
ω‐3
10
1
0.01
0.1
frequency (Hz)
1
10
fmax
0.1
k2モデルによるすべり分布 (Herrero
& Bernard, 1994; Hisada, 2001)
→ すべりや破壊開始時間の分布がどのような連続
関数の場合、ω2モデルを構築し、かつ加速度波
形らしいランダム性を示すか？
オリジナルすべり分布モデル
Cubic Splice補間（低波長）
＋k2すべり分布（高波長）
２次元Butterworth関数
N M
y
D
x


 
D( x, y)  
cos 2  m    mn  cos 2  n    n 
2
2 2
L
W

 

n1 m1 1  (m  n )
k2モデルによる破壊開始時間の分
布（Hisada, 2001）
破壊開始時間（⊿tr=0.0 ）
r( x, y)
tr ( x, y) 
 tr ( x, y)
Vr
破壊開始時間の平均値
からのずれ → k2モデル
⊿tr=0.2
⊿tr=0.4
⊿tr=0.8
加速度・速度波形
加速度波形
（⊿tr=0.0 ）
加速度波形
（⊿tr=0.2 ）
加速度波形
（⊿tr=0.4 ）
加速度波形
（⊿tr=0.8 ）
速度波形
（⊿tr=0.0 ）
速度波形
（⊿tr=0.2 ）
速度波形
（⊿tr=0.4 ）
速度波形
（⊿tr=0.8 ）
→加速度波形のランダム性を発生させるには破壊開始時間
の乱れを導入する必要がある（すべり分布の乱れでは×）。
運動力学的震源モデルとω-2モデル

表示定理
U i (Y ; )  
 D(e n
L W
0 0
k
j
itr
*
ik , j
 e j nk )U e
　dxdy
 遠方近似による震源スペクトル
M ()   

W L
0
ω-2
0
D( x, y)F ( x, y;) expi(t   t r )dxdy
すべり
すべり速度関数
r( x, y)
tr ( x, y) 
 tr ( x, y)
Vr
到達時間
破壊開始時間
すべり速度関数と
フーリエ振幅スペクトル
すべり速度関数（Kostrov型）
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
10
すべり加速度スペクトル
Hisada
Hisada (2001)
Fourier Amplitude
slip velocity

Nakamura
& Miyatake
中村・宮武(2000)
すべり速度関数
0
1
2
3
time (sec)
4
0.01
ω0
ω-1
ω-2
fmax
1
0.1
1
10
δ-function 0.1
Hisada (2001)
Hisada
Nakamura & Miyatake
中村・宮武(2000)
0.01
frequency (Hz)
fmax= 5 Hz、ts(継続時間)= 3.2秒、Rvd(Vmax/D)=1.12
→すべり速度関数はfmaxまでω-1のオーダー
要素すべり要素関数：Kostrov型+ fmax
（Hisada, BSSA, 2000 & 2001）
Slip Velocity Function
0.6
0.5
 min  1 f
max
 max  1 f
c
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
Time (s)
4
5
6
・速度関数を小三角形
の重ね合わせで構築
→ 解析解がもとまる
・要素三角形の最小の
継続時間がfmaxを導入
・計算例
fmax = 5 Hz (T=0.2 s)
0.2～5.5 s の７三角形
の重ね合わせ
要素すべり要素関数：Kostrov型+ fmax
（Hisada, BSSA, 2000 & 2001）
fmax
1
0.01
4
振幅比（最大値）
変位 1.0
速度 0.48
加速度 4.2
2
ω0
velocity
displacement
acceleration
Fourier Amplitudes
slip functions
3
1 Freq.（Hz）
0.1
1
ω-1
Acceleration
Velocity
0.1
0.01
0
0
-1
1
2
3
4
5
time (s)
すべり速度・変位関数
6
0.001
フーリエ振幅スペクトル
10
要素すべり関数：三角形関数の重ね合わせ
（Wald & Somerville, BSSA, 1995）
2fc
fc≒1/τ
1.3
1.1
slip functions
0.9
0.7
1
振幅比（最大値）
変位 1.0
速度 0.5
加速度 0.25
0.01
Fourier Amplitudes
1.5
velocity
displacement
acceleration
0.5
0.3
0.1
-0.1 0
-0.3
-0.5
1
2
τ
3
4
5
time (s)
すべり速度・変位関数
0.1
ω-2
Acceleration
Velocity
1
0.1
Freq.（Hz）
ω-1
0.01
6
0.001
フーリエ振幅スペクトル
10
従来の震源モデルによる波形・スペクトル
（矩形すべり分布とVr一定）
破壊開始時間（Vr:一定）
矩形すべり分布
観測点
15 km
1 km
10x10 km2
Fourier Amplitude (gal*sec)
1000
N= 1
N= 4
N=16 100
N=64
ω-1
ω-2
ω-3
0.1
加速度スペクトル
N=64
・全無限弾性体の
グリーン関数
（Vs=3.5km/s）
・破壊フロントの
連続性を確保→
最小波長に対し、
1
1
10
加速度波形（FN成
６点以上の積分
→スペクトルはω2モデルになるが、加速度波形にはstarting
分）
0.1
点（36864点）
frequency phaseが現れ、ランダム性が見られない。
(Hz)
/stopping
10
k2モデルによるすべり分布 (Herrero
& Bernard, 1994; Hisada, 2001)
Cubic Splice補間（低波長）
オリジナルすべり分布モデル
＋k2すべり分布（高波長）
２次元Butterworth関数
N
M
D( x, y)  
n1 m1
y
x


 
cos 2  m    mn  cos 2  n    n 
L
W

 

1  (m2  n 2 ) 2
D

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