ケプラー楕円軌道の解析 日本数学協会年会発表 日時：２０１０／８／２２ 於：東大駒場 山本文隆 長崎工業高等学校 １．要旨１ 惑星楕円運動の実速度ベクトルは動径垂直方 向の速さ一定の回転ベクトルと短径方向の定速度 ベクトルに分けられ、その長さの比は常に １ ： ｅ （離心率） 動径方向の成分は、面積速度を同じにする等速 円運動（基本円運動）の回転速度と同じ 楕円運動のホドグラフは、基本円運動と同じ円形 演示 実速度ベクトル Ｖ 動径垂直方向の速さ一定の回転ベクトル Ｕ 短径方向の定速度ベクトル ｖ Ｕ ： ｖ ＝ １ ： ｅ １ 動径 ｒ＝ーーーーーーーＲ １ － ｅ ｃｏｓ θ Ｒ：円運動半径 θ：惑星方向 （遠日点方向からの角） 演示 ２．中心力系という考え方 中心力系でＶを動径方向Ｖｒ、動径垂直方向Ｖ⊥に分ける ↑ ↓ 地上の斜方投上を 重力が働く垂直成分（加速度運動）と、 重力に影響を受けない水平成分（慣性運動）に分解。 演示 水平投出と斜め投上、円と楕円 ケプラーの法則に質量は不必要 演示 ３．面積速度一定の法則 中心力系 演示 ４．面積速度を保つ変形 面積速度は中心力のみに関係して保たれている →運動物体を中心力方向(正負含め)に加速（速度 増加）させても同じく面積速度は保たれる ｒ Ｖ⊥ ＝ Ｒ Ｕ Ｒ：通径 Ｕ：通径 でのＶ⊥ 面積速度を保つ楕円変形 微小時刻間隔毎の撃力による α＝√１－ｅ２ γ＝１／α として 長径 γ２Ｒ、 短径γＲ、 通径 Ｒ 焦点から中心までの距離 γ２ｅＲ Ｒ Ｒ 遠日点距離 ――― 近日点距離 ――― １－ｅ １＋ｅ ケプラー表記 通径(基本円) 表記 （１－ｅ２）ａ Ｒ ｒ＝――――――― ＝ ――――――― １－ｅｃｏｓθ １－ｅｃｏｓθ ｃ→ｆ→ｄ＝Ｒ＋√Ｒ２＋４ａ２ｅ２＝２ａ より 長 径 Ｒ ａ ＝――――― １－ｅ２ 短 径 Ｒ ｂ ＝――――― √１－ｅ２ ５．楕円運動の解析 通径Ｒで Ｖ⊥＝Ｕであるから ｒ Ｖ⊥＝ Ｒ Ｕ Ｖ⊥ ＝ Ｕ（１－ｅｃｏｓθ） Ｒ ｒ＝ ―――――――― １－ｅｃｏｓθ Ｖｒ＝の導出 θ２-θ１ Ｖｒ＝Ｖ⊥ｔａｎ――― ２ ∠ｏａｃ θ２－θ１ ∠ｏａｂ＝――――＝―――――（＝●） ２ ２ θ２-θ１ θ２＋θ１ ∠ａｂｃ＝―――+θ１＝――――（＝○） ２ ２ Ｒ Ｒ ―――――――＋―――――――＝２γ２Ｒ １－ｅｃｏｓθ１ １＋ｅｃｏｓθ２ （１＋ｅ２）ｃｏｓθ１－２ｅ ｃｏｓθ２＝ ――――――――――――― １－２ｅｃｏｓθ１＋ｅ２ 従って （１－ｅ２）ｓｉｎθ１ ｓｉｎθ２ ＝ ───────────── １＋ｅ２－２ｅｃｏｓθ１ θ２＋θ１ ｓｉｎθ１ ｔａｎ──── ＝ ─────── ２ ｃｏｓθ１－ｅ θ２－θ１ ｅ ｓｉｎθ１ ｔａｎ──── ＝ ──────── ２ １－ｅｃｏｓθ１ θ２-θ１ ｅ ｓｉｎθ１ Ｖｒ＝Ｖ⊥ｔａｎ ―― ＝Ｕ(１-ｅｃｏｓθ１)──── ２ １-ｅｃｏｓθ１ ∴ Ｖｒ ＝ ｅ ｓｉｎθ１ ６．楕円運動の向心力（遠心力） 接線速度Ｖの角度ｄθにおける変化 Ｕの角度ｄθにおける変化と同じ Ｕｄθ Ａ＝Ｕω ＵＶ⊥ Ｖ⊥２ Ｕ２ Ａ ＝ ─── ＝ ─── ＝ ──(１-ｅcosθ)２ ｒ Ｒ Ｒ ７．要旨２ １．楕円軌道の周期Ｔは動径円運動のγ３倍 ２．楕円長半径ａは動径のγ２倍 → ケプラーの第三法則（Ｔ２∝ａ３）は 楕円の形（離心率ｅ）に関係なく成立。 ３．ケプラーが長半径ａを選んだのは偶然か？ ８．楕円運動の周期とケプラーの第３法則 楕円運動は通径円運動と面積速度が同じ。 → 楕円の周期Ｔ は楕円の面積と通径円の面 積を比較すれば求められる。 基本円運動の周期をＴ０とすると Ｔ ： Ｔ０ ＝ πａｂ ： πＲ２ ａ＝γ２Ｒ、ｂ＝γＲ より Ｔ ： Ｔ０ ＝γ３πＲ２ ： πＲ２ ＝γ３ ： １ １ よって Ｔ ＝ γ３ Ｔ０ （＝───────） （√１－ｅ２）３ 変形による周期の伸び＝楕円面積の変化 面積比 周期比 πＲ２ １ πａ１ｂ１＝γ１３πＲ２ πａ２ｂ２＝γ２３πＲ２ ： γ１３ ： γ２３ 面積速度を保つ 楕円変形 通径Ｒが同じものは 同じ面積速度 上中下は通径が異な るので 異なる面積速度 周期は離心率に従い 通径円のγ倍に変化 ケプラーの第３法則 Ｔ２∝ａ３ Ｔ２ （γ３Ｔ０ ）２ Ｔ０ ２ ───＝ ────── ＝ ─── ＝一定 ａ３ （γ２Ｒ）３ Ｒ３ ケプラーの第３法則 は 楕円の形（離心率）に 関係しない。長半径（外接円）ａのみに関係する ケプラーのこの発見は偶然か？ ケプラー 方程式の 導出に 見られる 第二法則 と 第三法則 の関係 演示 面積速度と周期の関係 上 下 実際運動 仮想惑星 面積速度 全 面 積 周 期 ） １ ： γ γ３ ： γ４ γ３ ： γ３ （通径等速円運動に対する比 ケプラーの仮想 惑星は偶然か 上：仮想惑星から考えら れる同周期楕円 ↓ 長径が等しいものは 同周期 ↓ 下：逆二乗中心力系での 同周期（逆二乗のみ満たす） 万有引力 遠心力 ＧＭ ＵＶ⊥ ーーー＝ーーー ｒ２ ｒ 引力 遠心力 ＧＭ Ｕ２ （－－－＝－－－） より Ｒ２ Ｒ ＧＭ＝ＲＵ２＝Ｒ‘Ｕ’２ Ｒ‘＝γ２Ｒ とすると Ｕ’＝αＵ 面積速度＝Ｒ‘Ｕ’＝ γ２Ｒ× αＵ＝γＲＵ
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