４．一般化線形モデル 目次 • • • • • • • • • • • • • ４．１一般化線形モデルとは 補：プロビット分析とロジット分析 ４．２．二項ロジット・モデル ４．３．二項プロビット・モデル ４．４標本データからの推定と検定 ４．４．１．パラメータの推定 ４．４．２．パラメータの検定 ４．４．３．数値計算例：デフォルト分析 ４．５．二項モデルの拡張 ４．５．１．逐次ロジット・モデル ４．５．２．順序ロジット・モデル ４．５．３．数値計算例：信用ランク分析（１） ４．６．ポアソン回帰モデル ４．一般化線形モデル • ３章 判別分析：デフォルトするか否か • ４章 一般化線形モデル：累積デフォルト確率はいくらか（離 散型確率変数） • • • • 個体が反応を起こす確率p m個の共変量 モデル ここで共変量の影響を (4.1) • とすると(4.1)は一般化線形モデル（generalized linear model） ４．一般化線形モデル • zがどうpに影響するかを考えるため • リンク関数 • ex ①線形モデル(linear model) しかし確率が負になったり１を超えることも。 ②二項ロジット・モデル(binomial logit model) ロジスティック分布の分布関数 ４．一般化線形モデル ③二項プロビット・モデル(binomial probit model) 標準正規分布の分布関数 ④対数モデル(logartithm model) 指数分布の分布関数 代表例：ポアソン回帰モデル ②～④はpは[0,1]に納まる 目次 • • • • • • • • • • • • • ４．１一般化線形モデルとは 補：プロビット分析とロジット分析 ４．２．二項ロジット・モデル ４．３．二項プロビット・モデル ４．４標本データからの推定と検定 ４．４．１．パラメータの推定 ４．４．２．パラメータの検定 ４．４．３．数値計算例：デフォルト分析 ４．５．二項モデルの拡張 ４．５．１．逐次ロジット・モデル ４．５．２．順序ロジット・モデル ４．５．３．数値計算例：信用ランク分析（１） ４．６．ポアソン回帰モデル プロビット分析とロジット分析 Chester Bliss 1920年代 米国農務省昆虫学研究 殺虫剤実験 • 昆虫の集団をガラス瓶に入れ、異なる殺虫剤を撒布 ⇒どんな強い殺虫剤でも数匹生き残る どんな弱い殺虫剤でも数匹死ぬ ⇒Ronald Aylmer Fisher William Sealy Gosset の範囲外 ⇒薬の分量とその分量で昆虫が死ぬ確率(probability)を関係づける ＝プロビット（probit）分析つくる LD-50：５０％致死量。５０％の死亡率を持つ殺虫剤の分量 プロビット分析とロジット分析 毒物学の数学的基礎付け 16C パラケルスス 「分量が大なら潜在的には毒となり、分量が小なら無 毒となる」 Blissはこれに不確実性を導入 1933年 世界恐慌の中失業 英国へ渡り、Fisherとともにプロビット分析を研究 その後、ソ連レニングラード植物研究所 一時はスパイ容疑をかけられたことも。 正規分布を使う→プロビット分析 ロジスティック曲線を使う→プロビット分析 目次 • • • • • • • • • • • • • ４．１一般化線形モデルとは 補：プロビット分析とロジット分析 ４．２．二項ロジット・モデル ４．３．二項プロビット・モデル ４．４標本データからの推定と検定 ４．４．１．パラメータの推定 ４．４．２．パラメータの検定 ４．４．３．数値計算例：デフォルト分析 ４．５．二項モデルの拡張 ４．５．１．逐次ロジット・モデル ４．５．２．順序ロジット・モデル ４．５．３．数値計算例：信用ランク分析（１） ４．６．ポアソン回帰モデル ４．２．二項ロジット・モデル • 共変量ベクトル • • • • 非デフォルト s=1 デフォルト s=2 リンク関数 デフォルト状態の確率 ４．２．二項ロジット・モデル • (4.6)より共変量の • が変化した時のデフォルト確率の変化の大きさ ４．２．二項ロジット・モデル • よって共変量 弾性値 に関するデフォルト確率の ４．２．二項ロジット・モデル • (4.6)を • ∴ • ∴ • ∴ について逆関数 ４．２．二項ロジット・モデル • • • • • 項目反応理論(item response theory) 刺激の総和 U 観測される刺激量 u 観測されない刺激量 しきい値 ４．２．二項ロジット・モデル ４．２．二項ロジット・モデル • 項目反応モデル：しきい値を超えるかどうか を判断するモデル • ex.金融：デフォルトor非デフォルト • ⇒しきい値を下回るとデフォルトと考える ４．２．二項ロジット・モデル とする。デフォルトが発生するのは • 刺激の総和 U • 観測される刺激量 • 観測されない刺激量 • しきい値 • とおくと ４．２．二項ロジット・モデル • だから • より • デフォルト確率は ４．２．二項ロジット・モデル • ここで がロジスティック曲線に従うとすると • このときのデフォルト確率は 目次 • • • • • • • • • • • • • ４．１一般化線形モデルとは 補：プロビット分析とロジット分析 ４．２．二項ロジット・モデル ４．３．二項プロビット・モデル ４．４標本データからの推定と検定 ４．４．１．パラメータの推定 ４．４．２．パラメータの検定 ４．４．３．数値計算例：デフォルト分析 ４．５．二項モデルの拡張 ４．５．１．逐次ロジット・モデル ４．５．２．順序ロジット・モデル ４．５．３．数値計算例：信用ランク分析（１） ４．６．ポアソン回帰モデル ４．３．二項プロビット・モデル • リンク関数：標準正規分布の分布関数 • デフォルト状態の確率： ４．３．二項プロビット・モデル ○(4.11)の が標準正規分布に従うと二項 プロビット・モデル • とすると、デフォルト確率 ４．３．二項プロビット・モデル ○標準正規分布の分布関数の逆関数値 ＝重回帰モデル • ∴ • ∴ ４．３．二項プロビット・モデル ○正規分布はロジスティック分布で近似できる • ロジスティック分布の分布関数 (4.13) • 成長曲線 ４．３．二項プロビット・モデル • 確率変数Xがロジスティック分布(4.13)に従う とすると • Xの積率母関数 • ４．３．二項プロビット・モデル • 積率母関数の性質より • D=1.7 で近似している。 ４．３．二項プロビット・モデル • この近似をデフォルト確率に適用すると ※ =1 • しかし尖度について 裾野の部分が正規分布よりも厚くなってしまう
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