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応用課題）ボイドや気泡があることで生じるいくつかの問題
l
１）弾性係数の低下
長さLの立方体の中に、体積分率f
の立方体の空隙が含まれている場
合を考える。空隙の一辺の長さはl
= f1/3Lである。これに、sの単軸応力
を付加したとき、空隙を含まない板
の伸びをDL1とすれば、
s
DL
DL1  ( L  l )
s E 1
Ll
s
s
L
E
次に、空隙を含む板を考えると、その断面積はA2 = L2  l2であるので、その
応力s2と伸びDL2は以下となる。
s2 
sL2
A2

sL2
L2  l 2
s2
s
L2l
DL2  l 
E
E k ( L2  l 2 )
ここではモデルを単純化したことによる修正因子である。
これより全体の伸びDLとヤング率E'との関係に対して以下を得る。
s
s
L2l
s
DL  DL1  DL2  ( L  l ) 

L
2
2
E
E k (L  l )
E
よって、ヤング率に対して以下の関係を得る。
1 l 1
l/L  1

1  
2
E  L  1  (l / L)  E 
ここで、体積分率はf = (l/L)3なので、上の式は以下のようにまとめられる。
E
 {1  (l / L) 2 }

E  (1  l / L){1  (l / L) 2 }  l / L
(1  f 2 / 3 )

(1  f 1 / 3 )(1  f 2 / 3 )  f 1 / 3 / 
さて、ここで再び、球状の空隙に戻す。
その半径をrとすると、以下が成り立つ。
4r 3
 l3
3
l
s
r
4r 3
f 
3L3
L
s
断面においてもっとも面積が小さくなるのは、球状空隙の中心を通る断面で
あり、このときの断面積は以下で表される。
Amin
2/3


3
  
2
2
2/3 
 L  r  A1    f 


 4

A  L2
従って、最小断面積における平均応力の最大値は以下となる。
A
s 2, max  s
Amin
また、空隙周りには応力集中が発生する。これによる平均の応力集中係数を
以下のように仮定する。
m
m
 A 
s

lim k  1 より  = 1

k    2, max    
A A
 s 
 Amin 
min
以上より、空隙のある板の有効応力を以下のように定める。
m
 A  sA
sA

s 2  ks 20  
s

20
A
A

min

2
これより、修正因子は以下のように表せる。
 A
  
 Amin
m

1
 
2/3 m
{
1

(
3
f
/
4
)
}

A2
400
ヤング率と空隙率の関係
E   E exp( af n )
a、nは実験的に定める係数
(B) 単純な複合則から考えたもの
1 f 2/3
E  E
(1  f 1/ 3 )(1  f 2 / 3 )  f 1/ 3 / 
1
 {1  (3 f / 4) 2 / 3 }m

ヤング率 E' (GPa)
(A) 経験式（Spiggsの式）
Al2O3
BA
EB
C
D
300
200
100
0
0
アルミナのデータを用いると以下の値を得る。
a  4.8 n  1.2 m  1.9
0.1
0.2
0.3
0.4
空隙率 f
鋳造材や焼結材で重要
(C) F.P. Knudsen, Effect of Porosity on Young's Modulus of Alumina, Journal of the American
Ceramic Society, Vol. 45, No. 2, pp. 94-95 (1962).
(D) J.C. Wang, Young's Modulus of Porous Materials, Part 2, Young's Modulus of Porous Alumina
with Changing Pore Structure, Journal of Materials Science, Vol. 19, pp. 809-814 (1984).
0.5
２）スエリング（swelling）
体積Vの材料中に平均半径rを有するm個のボイドができた場合、これ
らのボイドを形成するために除かれた原子数nは
4r 3
nm
 ；原子の体積（ただし空孔形成時の緩和も含む）
3
で与えられる。一方、これらの原子は表面に移動することになり、材料の
体積は増す。体積の増加量DVは以下で与えられる。
4r 3
DV  m
3
以上より、体積膨張（スエリング）を測定するこ
とで、ボイド形成に要した空孔数を評価しうる。
DV
n

ボイドではなく、空孔が形成された場合には、
当然スエリングは空孔数に相当する。
材料の使用中にスエリングが発生した場合、例
えば、上下端が固定されている長柱では座屈が
起こりえる。→原子力材料では重要（駒崎先生）
座屈
３）硬化（hardening）と軟化（softening）
硬化（void hardening →駒崎先生）
ボイドや気泡が非常に小さい場合には転位
の運動の障害となって、材料の硬化を生じる。
単位長さあたりの転位のエネルギー：－
E
Gb
2
転
位
r
b
2
G、b：剛性率、バーガースベクトル
すべり面
転位が半径rのボイドと交差した時、最大で以下のエネルギーが失われる。
Gb2
DE 
 2r  Gb2 r
2
転位がボイドに近づく際には引力の相
互作用となる
転位がボイドを抜け切る場合にはこれに相当するエネルギーを外力が仕
事として与えてやらければならない。この他に、ボイド表面に高さbの段を
作る仕事が必要である。段の面積は2rbなので、このためになされる仕事
は以下となる。
DWs  2rb s
s；表面エネルギー
以上より、ボイドに吸われた転位がこれから離脱するために要する仕事は
 2 
DW  DE  DWs  Gb2 r  2rb s  Gb2 r 1  s 

Gb 
である。表面エネルギーは1 J/m2程度の大きさであり、Gb >> sなので
DW  Gb 2 r
であって、もっぱら転位がボイドに吸われて弾性エネルギーが減少したこ
とによる仕事を要することになる。また、DWの値は大きいので、熱エネル
ギーの助けによって、この仕事を補うことはできず、ボイドによる硬化は
強度が温度に依存しない非熱活性化過程である。
軟化
ボイドや気泡が大きくなると軟化の原因になる。軟化をもたらす原理は、
弾性係数の項で述べたように、
１）有効断面積の減少
２）ボイド周りの応力集中
である。
課題
１．身の回りにある合金において、溶質原子の固溶度について考察しなさ
い。ただし、参考とできる状態図は
http://www.crct.polymtl.ca/FACT/documentation/SGTE/SGTE_Figs.htmで見
ることができるかもしれない。
２．金属の電気抵抗が、温度の上昇とともに増加すること、ならびに、不純
物原子の導入によって増加することについて考察しなさい。また、加工を施
して転位を多数導入した場合には電気抵抗はどうなるか、考察しなさい。
３．長さl = ５ m、直径 d = 2 cm、肉厚 t = 0.5 cmのステンレス製の長柱があ
り、両端が固定されている。ステンレス鋼のヤング率をE = 196 GPa、ポア
ソン比をn = 0.29とするき、この長柱においてスエリングが発生した時に、座
屈が起こる場合の体積ひずみDV/Vを求めよ。ただし、ひずみは小さいもの
としてDV/V ≈ 3exとして計算してよい。
４．右の表は、マグネシアMgOについて得られた空隙率とヤング率の関係
である。これを用いて、Spiggsの式が適用できるかどうかを調べ、また、適
用できる場合には係数の値を求め、アルミナの場合と比較して係数も含め
て一般則としうるかどうか検討しなさい。
出典：K. R. Janowski and R. C. Rossi, Elastic Behavior of MgO Matrix
Composites, Journal of the American Ceramic Society, Vol. 50, No. 11, pp.
599-603 (1967).
空隙率
f
ヤング率
E (GPa)
0.0102
290.2
0.0186
285.2
0.0206
278.6
0.0233
278.3
0.0225
273.7
0.0235
270.3
0.0245
275.3
0.0255
271.2
0.046
245.8
0.047
244.7
0.048
242.9
0.0485
242.9
0.1037
197.5
0.1134
192.9

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