13章

１３章：中層大気中の大気潮汐
大気潮汐のはなしを最後にしておこう。
大気中での加熱（基本的には、太陽による１日加熱）によって、大気がどのよう
に応答するかの問題ということになる、さらにそれの非線形的な振る舞いを議論
する。
１３−１：対流圏中の潮汐をすこし
対流圏における潮汐の様子を眺めてみよう。ECWWF dataの解析から得られたものである。Hsu and Hoskins, 1989, Q. J. R.
Met. Soc., 115, 247-264.
夏
矢の長さが１日潮汐の
地表圧力振動の大きさ
を、矢の向きが最大振
幅のlocalな時間を示し、
北向きが00時、東向き
は06時、南向きが12時
を示す。赤道の振幅は
大きく、矢の向きは東
向きで、圧力最大はほ
冬
ぼ6時になっている。夏
半球側が振幅は大き
い。西に進み、１日で
一周する成分がみえる。
地（海）表面の影響に
より、１日潮汐は局所
性が高い。
対流圏１日潮汐変動の鉛直ー経度(緯度)の構造
赤道での高度場の様子、経度高度断面図
高度場振幅と位相の緯度高度断面図
等値線は2m間隔
H
L
-90°
経度
DJF 86/87年、00GMTと06GMTの状況で、等値線
は5m、shadeは負の偏差、
90°
位相の等値線は30°ごと
１３−２：古典的潮汐理論
太陽放射の大気加熱による潮汐の問題を、最も簡単にしたものが古典的な潮汐理論であろう
から、線形の方程式はこれまでたびたび引用してきたものと同じ
u
1

 2 sin  v  

t
a cos  
v
1 
 2 sin  u  

t
a 
 
  N 2 w  J / H
t z
1
u
1

1 

v cos  
pw  0
a cos  
a cos  
p z
太陽放射加熱Jとして、時間と東西方向は

exp(is  i2
t)
のような形を仮定しよう。
太陽と同期する（migrating)１日潮汐はs=1, σ=1/2、半日潮汐はs=2, σ=1に対応
１章や５章と同じように、変数分離の方法を用いて、水平方向の式と鉛直方向の式に分離し（東西波数s、

振動数は与える）、南北方向の方程式（Laplace’s tidal equation）として、
s ( 2   2 )
  (1  2 ) 
1
s2 
(2a) 2


0
 2
 2
2
2 
2
2
2 
 (   )       (   ) 1  
ghn
  sin 
が得られる。

潮汐の東西波数、振動数は与えるとして、そのもとで、固有値 hn と対応した固有関数を求

めることになる。赤道β面で、南北モードnが与えられていたように、個々の固有関数
（Hough functions)の区別は指標nで構造の違いが与えられる。
５章の図で、s=1が与えられていて、例えば１日周期の西に伝播する潮汐を決めたい時、１日に交差する
ものが個々のモードと解釈される。
太陽の動きと同期していない東向きの波もある
西向きの波
東向きの波
１日
１日
⊗はmigrating１日潮汐の第１モード
を示す
h<0
１日
1日潮汐モードの南北構造と固有値
図は、西に伝播する1日潮汐モードの圧力偏差の赤道対称南北構造、等価深さの大きさにより、南北の広
がりが異なっている。具体的な計算は、Lindzen, 1966, MWRを参照
第１モード
鉛直波長として、お
およそ28km
負の等価深さ

42 a 2
 128
gh
h  690m
１日大気潮汐の第１モードは、
に対応した構造をもち、
上の図から想像されるように、赤道域に集中した構造をしている。

鉛直方向の構造を決める式：
d 1 
N2
(
( pw)) 
w  J n / gHh n
dz p z
ghn
モードの違いに相応して、鉛直方向の
構造は下記の式で与えられる。
w  w * (z)exp( z /2H)
(2a) 2
1 1 

  (2a) 2
( pw)  0
gh n
2i p z
連続の式
i2
d
 N 2 w  J n / H
dz
熱力学の式
ー＞
d
ghn 1 
i2
(
( pw))  N 2 w  J n / H
dz i2 p z
整理すると、鉛直方向の構造方程式
d 1 
N2
(
( pw)) 
w  J n / gHh n
dz p z
ghn

pw  w * (z)exp( z /2H)

w * w *
pw  exp( z /2H)(

)
z
z
2H
1 
w * w *
( pw)  exp( z /2H)(

)
p z
z
2H
d 1 
 2w * w *
(
( pw))  exp( z /2H)(

)
dz p z
z 2
4H 2
 2w *
N2
1
z

(

)w*


J
exp(

) / gHh n
n
z 2
ghn 4H 2
2H
ここでJnは大気加熱のnモード成分を
表す、オゾンや水蒸気による大気加
熱を評価することになる。
加熱がない場合、N2 一定の時はこれまでたびたび議論したように鉛直に伝播する
exp(imz)
か、それとも
exponential 的かの方程式になっている。ちなみに、１日潮汐の第１モードの鉛直波長は約28kmに対応する。
平らな下部の境界条件は
w *
RT 1
1
(

)w*  0
z
H ghn
2H

内部加熱 J が与えられて、南北にはHough modeに展開、鉛直構造は上式により解かれる、Lindzen,

1967, QJRMS参照
最終的にはこれらの重ね合わせであり、各モードの鉛直伝搬性が異なり、構造は複雑である。
古典論の１つの解：
オゾン
赤道
オゾン
水蒸気
仮定される加熱Jの鉛直および緯度分布
45
赤道
計算結果（点線）と観測（実線）の１日潮汐、８°Sでの北風の振
幅（左）、位相（右）, Reed et al., MWR, 1967
春秋分における１日潮汐の温度振幅(位相)の緯
度依存性、Lindzen, 1967, QJRMSから
１３−３：Migrating diurnal Tideの観測結果
衛星データからの中層大気中の１日大気潮汐について
S=1西向き１日潮汐波の温度の緯度高度図、
1979, 3/4 から5/4の期間、1hPaの高度で2K程
度である、1991 Lieberman, JAS
4Nでの温度鉛直分布、52Wのlocal noonを基準にし
てある。破線は衛星データのs=1 成分のみ、実線は
non-migrating成分も含めたもの、xはForbes2Dモデ
ル(1982)の結果、○はロケット観測から評価、
Lieberman, JAS,1991
下部熱圏高度のmigratingな１日潮汐
衛星データの解析から導出された、１日潮汐南北風の緯
度高度断面図、Hays et al., 1994, JASから
T
平均東西風や散逸過程の入った、線形モデルによ
るmigrating１日潮汐の高度分布、Forbes, 1982,
JGR
下図はForbes and Gilletteモデルの計算結果から
より精緻化された（tidal forcingなど)モデルによる4月
の１日潮汐の南北風振幅分布、Hagen et al., 1995,
GRL
補足：赤道対称モードの一番簡単な西に伝播する重力波モードの高度、東西風、南北風南北構造
極からの座標
ε=100
１日の大気潮汐の第１モードは、


42 a 2
 128 h  690m
gh
に対応した構造
Schofield and Taylor, 1983, QJRMS
金星大気中に存在するであろう、１日（117地球日）潮汐温度シグナルの観測結果
温度の経度高度分布：波数s=1とs=2成分が混在している構造となっている、軸が鉛直方向に傾いている
70-90kmの高度で鉛直方向に伝播している。
高度 z（km）
赤道から30Nまで
の平均
sub-solar
morning
anti-solar
evening
東西方向（x）
潮汐波動が金星大気の平均東西風生成に重要な役割を果たしているという話は後にのべる
火星大気の１日潮汐
太陽同期のs=1, 1日潮汐の温度振幅（線）と位相（色）、
Banfield et al., 2000, JGR
Wilson and Hamilton, JAS, 1996
火星大気の大循環モデルで潮汐を表現を
してみる
0.1hPa
6.1hPa
北半球冬の、s=1 西に進む１
日潮汐の温度振幅
東西平均温度場
モデルの東西平均温度場
１３−４：大気潮汐波による平均東西風生成について
大気潮汐波も、これまでの議論から推測されるように、
平均東西風を生成することが可能である。
波による加速
平均東西風
大気加熱によって、潮汐波が生成されてい
る状況を示している。図では、東方向の波
が生成される。これまでの議論から、東に
伝播する波は西風運動量をになって鉛直
方向に伝播し、波動が消散されるところで、
西風運動量を生成する。今、加熱のみとし
て、力は加われていないので、波の消散さ
れるところで、西風運動量を生成すると、加
熱されるところで、逆向きの東風運動量を
生成することで、正味の運動量＝０となる。
Fels and Lindzen, Geophys. Fluid
Dynamics, 1974
加熱領域
東
大気加熱の動きは、上図に対応して東向き
とする
ここでは、波が鉛直に伝播しながら散逸し
ている領域での、波の伝播方向の東西風
生成の話し（１：下部熱圏における赤道域
の東風）と、波が生成されている領域での
伝播とは反対方向の東西風生成の話し
（２：金星大気における成層圏での高速東
西風）をしておこう。
１：地球大気下部熱圏における大気潮汐波による平均東西風生成
平均東西風の緯度ー高度断面図において、下部熱圏
に注意してほしい。赤道域で東風が吹いている。
大気中の１日潮汐波の非線形効果を計算
した結果。赤道域は東風になっている。観
測の東風と対応しているよう。一方中緯度
では西風が生成されている。
Miyahara, 1978, J. M. S. J.
Miyahara、JMSJ, 1978 によって解かれた問題
潮汐を表す線形の方程式として
u u u v u u v u u u
v


w 
 w  tanv  tanu  2sin v
t acos   a  z a  z a
a


 D u  D v  u
acos 
v u v v v v v v v 2u


w 
 w  tanu  2sinu
t acos   a  z a  z a

   D v  D u  v
a

 RT
z
  u   v     v      2



w

w
 N w   
t z acos   z a  z z z a  z z z
z
1 u
1 
1

vcos  
pw  0
acos   acos  
p z
潮汐南北風の振幅と位相の高度分布、
緯度３５度の場所
の高度
z=0で１日潮汐の第１モードのみを強制している（z=0は現実大気で
は94kmに対応していて、下部熱圏の潮汐が散逸する場所で解かれ
ている）
(t,, )  F(t)exp(is  2t)S1 ()
1
上付きは１日潮を、下付きは第１モードを意味する
南北風の振幅の緯度構造
潮汐の散逸によって生成される平均流の式が時間積分される
u v u
u u v
1  u

w

tan  2sin v 

 D u  D v  Fu
t
a 
z
a
p z z
v v v
v u 2
1   1  v

w

tan  2sin u  


 D v  D u  Fv
t
a 
z
a
a 
p z z
 
v  
 
1  K 

 w
 N 2 w 
 FT
t z
a  z
z z
p z c p z
潮汐（ ’印）による平均流へのforcingは以下のよう
1 
2
u' v ' 
a 
a
1 
1
 
v' v ' 
a 
a
1 
 
v' ' z 
a 
Fu  
Fv
FT

1 
pu' w'
p z
1
1 
tan u' u' 
tan v' v ' 
pv' w'
a
p z
1
1 
tan v' ' z 
pw' ' z
a
p z
tan u' v ' 
潮汐は南北方向に構造をもっており、それに対応
して、Fuは赤道域における東風加速、および中緯
度での西風加速
2sin v

計算結果としての平均風
２：金星大気の東西平均温度および東西風
u 2 tan
a
 
1 p
 y
左図は東西に金星一周平均した温度分布。右図の東西風の評価には旋衡風（cyclostrophic

wind）バランス+静力学平衡を用いている。赤道域で、約70kmの高度に100m/sを超える東西風が
吹いている。また、中緯度付近には140m/sの高速風が見える。これは41.5kmの高度で観測の風
を仮定して、求めてある。 (Newman et al., 1984, JAS)。
ー＞
温度
東西風
金星大気の成層圏における高速の平均東西流に、
潮汐波の生成に伴う運動量輸送が重要な役割を
果たしているよう。
温度観測から推測された平均東西風
CCSR/NIES/FRCGC AGCMで得られた高速
風の実験結果である（Ikeda et al.,2006)。金星
大気の成層圏では高速の風が再現されてい
る。
観測されている東西風
赤道
45ºN
東西風
0

この結果では下層大気では東西風は再現されていない
ー＞重力波による加速が示唆されている
１３−５：non-migrating（太陽の動きと同期しない）潮汐のいくつか
s=1の東向き１日潮汐
波の緯度高度図、
1979, 3/4 から5/4の
期間、 Lieberman,
1991, JAS、nonmigratingの eastward
（太陽の動きとは逆向
き）波
東向きs= -1のHough modeによる解析、南北指数 3,
4がもっとも卓越していたようである
Garcia et al., 2005, JAS
非同期の１日振動：SABER観測（高波数の例）
fがー、東向き
〜120km
〜87km
〜70km
緯
度
時間
波数２の１日振動の
時間変動
１日振動の東方向に伝播する、波数２（左）と波数３（右）の振
幅と位相の緯度高度図、2002, Jun. 15-14 Jul.をもとに解析、
s=3は大きな温度振幅をもつ
Garcia et al., 2005, JAS
補足：非同期の１日振動、波数５と６
〜120km
0.01mb
１日振動の東方向に伝播する、波数５（左）と波数６（右）の温度振幅と位相
の緯度高度図、2002, Jun. 15-14 Jul.をもとに解析
対流活動で励起されるnon-migrating潮汐
Hagen and Forbes, JGR 2002
平均東西風を与えた緯度高度の2次元線形モデルで、基本場は時間変化しないとして、東
西波数、振動数を固定して解いてある。熱強制として観測された対流圏におけるlatent heat
6
2t
releaseをあたえる。衛星データから降水を評価し、
のように成分に分ける
 As cos(  s  n )
s6
24

計算の為に与えられるHeatingの鉛直
構造
13 wave numbersでcompositeしたもの、s=6 の
W6 から E6までの範囲
線形計算結果
Hagan and Forbes, 2002, JGR
対流活動によるforcingの成分と基本場の中の波の鉛直伝播性、および散逸に依存して、上層での波
の構造が決まるであろう
4月の１日振動の対流活動に対するモデルの温度応答（上図）をしめす。W1が西に進むs=1のmigrating潮汐の応答であり、
E3はs=3の東向き潮汐の応答を示す。下図は南北風応答を示す。E2(E3)温度は観測と同程度(より大きい)の振幅のよう
補足：中層大気における s=0 non-migrating１日潮汐の解析例
１日潮汐のs=0成分
緯度高度図、1979,
10/25 から12/25の
期間、 Lieberman,
1999, JAS
熱圏高度での潮汐の線形計算（続）
E3モードの115km高度での、温度振幅の季
節変化->線形モデルの為か、振幅が大き
いよう
115km高度の４月における１日振動の南北風と温度の水平構造、波数
３の温度構造が見えている。黒が12UTでgrayが06UT時
116km高度での衛星観測結果、Akmaev et
al., 2008 GRL から
１３−６：潮汐波のcoupling
１：火星大気の１日東向き潮汐波
観測結果の文として、（Banfield et al., 2000,
JGR）
clearな空間構造が見えにくいので図には示
さないが、東向き１日潮汐の振幅が２K程度
はある
西向き
東向き
西向き波数１の１日潮汐と波数２の山岳で、東向き波
数１の１日潮汐がつくられるschematic図、Forbes et al.,
JGR, 2002から、詳細な説明はZurek, JAS, 1976を参照
Ls=270北半球冬の東向きの１日潮
汐の温度振幅（モデルの結果）ー＞
東に伝播していて、Kelvin波が第１
モード、似ている所もある Wilson
and Hamilton, 1996, JAS
補足：東に伝播する s=1重力波モードの南北構造
U
V
極
Kelvin波
赤道
Longuet-Higgins, 1968, Phil. Trans. Roy. Soc., A262, 511607
１日東進潮汐波の東西風と南北風の振幅緯度高
度図、Wilson and Hamilton, 1996, JAS
Palo et al., GRL 2007
２：東に伝わる準２日波
s＝２で東向き２日波：７章で議論したs=3
の西向き２日波（Rossby-gravity波）とは
異なる波の生成について
温度
西向き
Jan22-29
西向きs=3の波（Rossby-gravity波）とs=1の
西向き1日潮汐波のcouplingで、s=2で東向
きの２日波が生成と考えられているよう
cos(3 

t
t
)cos(  
)
2day
1day

1 
3t
t
)  cos(2  
) 
cos(4  
2 
2day
2day 
ー＞解析的に詳しくみている
上は80kmでの、s=3, 2日波とs=2, 2日波の時間緯度
断面図、下は40Sでの時間高度断面図
波の対応を緯度分布として見ていて、相互作用をし
ているかの確認の１つになるのだろう

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