システム制御Ⅱ 第2学期 火 1, 2限 8：40-10：50 5号館 第16講義室 担当：平田 健太郎 6/21 第３回 状態方程式の解/伝達関数との関係 Systems Control II 1 講義日程 （予定） １回目 はじめに/古典制御の問題点 ２回目 系のモデリングと状態方程式表現 ３回目 状態方程式の解/伝達関数との関係 ４回目 安定性と系の固有値，安定判別法 ５回目 可制御性 ６回目 可観測性 ７回目 レギュレータ/オブザーバ ８回目 まとめ/期末試験 前回の講義スライドの完全版を再アップロードしているので確認されたい. Systems Control II 2 「ミニマム線形代数」をざっくりと斜め読み Systems Control II 3 3. 状態方程式の解 Systems Control II 4 スカラー系からの類推で考えてみる 𝑑𝑑 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 When 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝 = 1 𝑥𝑥 ∈ ℝ𝑛𝑛 , 𝑢𝑢 ∈ ℝ𝑝𝑝 𝑑𝑑 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑡𝑡) + 𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑢𝑢 ∈ ℝ 入力項のある線形定係数常微分方程式 「微分方程式」の知識から解ける Systems Control II 5 𝑥𝑥̇ 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑡𝑡) = 𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑡𝑡) 「微分方程式」の知識： 𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑢𝑢 ∈ ℝ まず斉次形 (= 0) の解を求める. 基本解 定数変化法から入力 𝑢𝑢(𝑡𝑡) に対応する解を求める. 特殊解 演習問題1： 定数変化法で上の微分方程式を解け 一般解＝基本解＋特殊解 Systems Control II Ｗｈｙ? (Ｌｉｎｅａｒ) 6 計算用ページ： 𝑥𝑥̇ 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑡𝑡) = 𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑡𝑡) Systems Control II 7 一般解＝基本解＋特殊解 𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑑𝑑 𝑛𝑛−1 𝑑𝑑 𝑛𝑛−2 ≔ 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎1 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎2 𝑛𝑛−2 𝑥𝑥 𝑡𝑡 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑏𝑏 𝑡𝑡 𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝑡𝑡 Ｗｈｙ? (Ｌｉｎｅａｒ) = 0, 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑠𝑠 (𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑡𝑡) が線形であるので 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥𝑏𝑏 𝑡𝑡 +𝑥𝑥𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑡𝑡 = 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑏𝑏 𝑡𝑡 +𝑥𝑥𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑏𝑏 𝑡𝑡 + 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝑡𝑡) ここでも「線形性」が重要な役割を果たしている Systems Control II 8 古典制御： 伝達関数（初期値= 0 ）の入出力関係 𝐺𝐺 𝑠𝑠 𝑢𝑢 𝑠𝑠 𝑦𝑦 𝑠𝑠 周波数領域（ラプラス変換後） 複素関数同士の（単純な）積 Systems Control II 𝑢𝑢 𝑡𝑡 𝑦𝑦 𝑡𝑡 時間領域 𝑡𝑡 𝑦𝑦 𝑠𝑠 = 𝐺𝐺 𝑠𝑠 𝑢𝑢(𝑠𝑠) 𝑢𝑢 𝑠𝑠 = ℒ 𝑢𝑢(𝑡𝑡) 𝑔𝑔 𝑡𝑡 𝑦𝑦 𝑠𝑠 = ℒ 𝑦𝑦(𝑡𝑡) 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = � 𝑔𝑔 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 𝑢𝑢(𝜏𝜏)d𝜏𝜏 0 合成積 𝐺𝐺 𝑠𝑠 = ℒ 𝑔𝑔(𝑡𝑡) 𝑔𝑔 𝑡𝑡 : システムのインパルス応答 9 𝑥𝑥̇ 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑡𝑡) = 𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑡𝑡) 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 0 + � 𝑒𝑒 𝑎𝑎(𝑡𝑡−𝜏𝜏) 𝑏𝑏𝑏𝑏(𝜏𝜏)d𝜏𝜏 0 How to extend it to matrix case? Extension of 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎 Matrix Exponential Function Systems Control II 10 多項式を行列の場合に拡張するのは比較的容易 𝑓𝑓 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 2 − 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 𝑠𝑠 + (𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏) 𝑓𝑓 𝐴𝐴 ≔ 𝐴𝐴2 − 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 𝐴𝐴 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝐼𝐼, 𝐴𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑛×𝑛𝑛 , 𝐼𝐼: 単位行列 ちなみに 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑏𝑏 のとき, 𝑓𝑓 𝐴𝐴 = 0. これをケーリー・ハミルトンの定理という. 𝑑𝑑 確かめよ. Today’s Minutes Paper Systems Control II 11 上の 𝑓𝑓 𝑠𝑠 は 𝑓𝑓 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 − 𝑎𝑎 −𝑑𝑑 −𝑏𝑏 = 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐴𝐴 , 𝑠𝑠 − 𝑑𝑑 すなわち行列 𝐴𝐴 の特性方程式である. 行列 𝐴𝐴 の固有値 𝜆𝜆 は 𝑓𝑓 𝜆𝜆 = 0 を満たす. 行列 𝐴𝐴 が対角化できるとき 𝑇𝑇 −1 𝐴𝐴𝑇𝑇 = 𝛬𝛬, 𝛬𝛬 = 𝐴𝐴 = 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 −1 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 −1 𝑘𝑘 𝜆𝜆1 = 𝑇𝑇𝛬𝛬𝑘𝑘 𝑇𝑇 −1 𝑓𝑓 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎0 𝐼𝐼 + 𝑎𝑎1 𝐴𝐴 + 𝑎𝑎2 𝐴𝐴2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝐴𝐴𝑛𝑛 0 ⋱ 0 𝜆𝜆𝑛𝑛 𝛬𝛬𝑘𝑘 = 𝜆𝜆1𝑘𝑘 0 ⋱ 0 𝜆𝜆𝑘𝑘𝑛𝑛 = 𝑎𝑎0 𝑇𝑇𝑇𝑇 −1 + 𝑎𝑎1 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 −1 + 𝑎𝑎2 𝑇𝑇𝛬𝛬2 𝑇𝑇 −1 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑇𝑇𝛬𝛬𝑛𝑛 𝑇𝑇 −1 = 𝑇𝑇 𝑎𝑎0 𝐼𝐼 + 𝑎𝑎1 𝛬𝛬 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝛬𝛬𝑛𝑛 𝑇𝑇 −1 = 𝑇𝑇𝑇𝑇 Λ 𝑇𝑇 −1 Systems Control II 【対角化（線形代数）】は重要！ 12 𝑓𝑓 𝐴𝐴 = 𝑇𝑇𝑇𝑇 Λ 𝑇𝑇 −1 𝛬𝛬 = 𝑓𝑓 Λ = 𝑎𝑎0 𝐼𝐼 + 𝑎𝑎1 𝛬𝛬 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝛬𝛬𝑛𝑛 = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 𝜆𝜆1 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝜆𝜆1 𝑛𝑛 0 ⋱ 𝜆𝜆1 0 0 ∗ ⋱ = 0 𝜆𝜆𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝜆𝜆1 0 ⋱ 0 𝑓𝑓 𝜆𝜆𝑛𝑛 = 0. ∴ 𝑓𝑓 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐴𝐴 に対して 𝑓𝑓 𝐴𝐴 = 0. (必ずしも対角化可能である必要はない) Systems Control II 13 【発展】 ケーリー・ハミルトンの定理の証明 （対角化可能と仮定しない一般の場合） 𝑝𝑝 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆𝜆𝜆 − 𝐴𝐴 とし, 行列 𝜆𝜆𝜆𝜆 − 𝐴𝐴 の余因子行列を 𝑄𝑄(𝜆𝜆) で表す. このとき 𝑝𝑝 𝜆𝜆 𝐼𝐼 = 𝑄𝑄(𝜆𝜆)(𝜆𝜆𝜆𝜆 − 𝐴𝐴) が成り立つ. 𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=0 𝑘𝑘=0 𝑝𝑝 𝜆𝜆 = � 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝜆𝜆𝑘𝑘 , 𝑄𝑄 𝜆𝜆 = � 𝑄𝑄𝑘𝑘 𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑛𝑛 とおく. ( 𝑄𝑄 𝜆𝜆 の各成分は 𝜆𝜆 の 𝑛𝑛 − 1 次以下の多項式なので.) 𝑛𝑛−1 𝑛𝑛−1 𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=0 𝑘𝑘=0 𝑘𝑘=1 𝑘𝑘=0 � 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝜆𝜆𝑘𝑘 𝐼𝐼 = � 𝑄𝑄𝑘𝑘 𝜆𝜆𝑘𝑘 (𝜆𝜆𝜆𝜆 − 𝐴𝐴) = � (𝑄𝑄𝑘𝑘 𝜆𝜆𝑘𝑘+1 − 𝑄𝑄𝑘𝑘 𝐴𝐴𝜆𝜆𝑘𝑘 ) = � 𝑄𝑄𝑘𝑘−1 𝜆𝜆𝑘𝑘 − � 𝑄𝑄𝑘𝑘 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑘𝑘=0 Systems Control II 14 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=0 𝑘𝑘=1 𝑘𝑘=0 � 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝜆𝜆𝑘𝑘 𝐼𝐼 = � 𝑄𝑄𝑘𝑘−1 𝜆𝜆𝑘𝑘 − � 𝑄𝑄𝑘𝑘 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑘𝑘 における 𝜆𝜆 のべき乗の係数比較から 𝑝𝑝0 𝐼𝐼 = −𝑄𝑄0 𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝐼𝐼 = 𝑄𝑄𝑘𝑘−1 − 𝑄𝑄𝑘𝑘 𝐴𝐴 (𝑘𝑘 = 1, … , 𝑛𝑛 − 1) これより 𝑝𝑝𝑛𝑛 𝐼𝐼 = 𝑄𝑄𝑛𝑛−1 𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=0 𝑘𝑘=1 𝑝𝑝 𝐴𝐴 = � 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝐴𝐴𝑘𝑘 = −𝑄𝑄0 𝐴𝐴+ � 𝑄𝑄𝑘𝑘−1 − 𝑄𝑄𝑘𝑘 𝐴𝐴 𝐴𝐴𝑘𝑘 + 𝑄𝑄𝑛𝑛−1 𝐴𝐴𝑛𝑛 𝑛𝑛 = � 𝑄𝑄𝑘𝑘−1 𝐴𝐴𝑘𝑘 − � 𝑄𝑄𝑘𝑘 𝐴𝐴𝑘𝑘+1 = 0. 𝑘𝑘=1 Systems Control II 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=0 実にスマート！ 15 指数関数 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎 を多項式のように表すには？ どうすればよいか Systems Control II 16 指数関数の場合 (𝑓𝑓(𝑠𝑠) = 𝑒𝑒 𝑠𝑠 ) 𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑀𝑀 𝑓𝑓 𝑛𝑛 𝑠𝑠 � 𝑠𝑠=0 = 𝑒𝑒 𝑠𝑠 � 𝑠𝑠=0 =1 1 1 2 1 3 1 4 ≔ 𝐼𝐼 + 𝑀𝑀 + 𝑀𝑀 + 𝑀𝑀 + 𝑀𝑀 ⋯ 1! 2! 3! 4! 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 ≔ 𝐼𝐼 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴 𝑡𝑡 ⋯ 1! 2! 3! 4! 行列指数関数 と定義するのが, 順当そうである. 無限個の和（無限級数）なので, 本当はこれが収束するか（意味を持つか）を 調べる必要がある. （がここでは追求しない） Systems Control II 17 行列指数関数 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 ≔ 𝐼𝐼 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴 𝑡𝑡 ⋯ 1! 2! 3! 4! ある種の条件を満たす級数（絶対収束）は, 項別に微積分してよい. 行列指数関数もOK 𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴 1 2 2 3 3 2 4 4 3 𝑒𝑒 = 0 + 𝐴𝐴 + 𝐴𝐴 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴 𝑡𝑡 ⋯ 𝑑𝑑𝑑𝑑 1! 2! 3! 4! = 𝐴𝐴 + 1 2 1 1 𝐴𝐴 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴3 𝑡𝑡 2 + 𝐴𝐴4 𝑡𝑡 3 ⋯ 1! 2! 3! = 𝐴𝐴 𝐼𝐼 + Systems Control II 1 1 1 𝐴𝐴𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑡𝑡 2 + 𝐴𝐴3 𝑡𝑡 3 ⋯ 1! 2! 3! = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 18 𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑒𝑒 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∴ 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑥𝑥 0 は 𝑥𝑥̇ 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑡𝑡) を満たす. 𝑥𝑥̇ 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑡𝑡) の解は 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑥𝑥 0 で与えられる. 拡張 𝑥𝑥̇ 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑥𝑥(𝑡𝑡) の解は 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑥𝑥 0 で与えられる. 𝑥𝑥̇ 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑡𝑡 の解は 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑡𝑡 0 + � 𝑒𝑒 𝑎𝑎(𝑡𝑡−𝜏𝜏) 𝑏𝑏𝑏𝑏(𝜏𝜏)d𝜏𝜏 で与えられる. 0 拡張 𝑥𝑥̇ 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑡𝑡) の解は... Systems Control II 19 𝑥𝑥̇ 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑡𝑡) の解は 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝑡𝑡 𝑥𝑥 0 + � 𝑒𝑒 𝐴𝐴(𝑡𝑡−𝜏𝜏) 𝐵𝐵𝑢𝑢(𝜏𝜏)d𝜏𝜏 0 となりそうである. 確かめよ！ （演習問題２） （スカラーの場合と同様, 解の存在性・一意性からひとつ候補を見つけて 正しいことを示せばよい.） 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝑡𝑡 𝑥𝑥 0 + 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∫0 𝑒𝑒 −𝐴𝐴𝜏𝜏 𝐵𝐵𝑢𝑢(𝜏𝜏)d𝜏𝜏 と書くと分かりやすい. （積の微分） 𝑓𝑓(𝑡𝑡) Systems Control II 𝑔𝑔(𝑡𝑡) 20 行列指数関数 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 の計算方法 • 定義式に従う 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 + 1 1 1 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴2 𝑡𝑡 2 + 𝐴𝐴3 𝑡𝑡 3 + 𝐴𝐴4 𝑡𝑡 4 ⋯ 1! 2! 3! 4! 手計算向きではない • 対角化を利用する • ラプラス変換を経由する 𝑥𝑥̇ 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑡𝑡 ℒ 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 0 = 𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑠𝑠) 𝑋𝑋 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐴𝐴 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑥𝑥(0) であるから Systems Control II −1 𝑥𝑥 0 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ℒ −1 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐴𝐴 −1 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐴𝐴 −1 を （𝑠𝑠 の有理関数行列として）計算し, 各要素を 逆ラプラス変換する 21 例題： 𝑥𝑥̇ 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑡𝑡) 𝑑𝑑 𝑥𝑥 0 = −𝑘𝑘/𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥̇ 1 𝑥𝑥 0 + 𝑓𝑓 −𝑑𝑑/𝑚𝑚 𝑥𝑥̇ 1/𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 1, 𝑑𝑑 = 3, 𝑘𝑘 = 2 → 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐴𝐴 −1 𝐴𝐴 = 0 −𝑘𝑘/𝑚𝑚 1 0 1 = −𝑑𝑑/𝑚𝑚 −2 −3 を （𝑠𝑠 の有理関数行列として）計算し, 各要素を逆ラプラス変換せよ. Systems Control II 22 計算用ページ： 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ℒ −1 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐴𝐴 𝐴𝐴 = 0 −2 Systems Control II 1 −3 −1 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐴𝐴 −1 を 計算し, 各要素を逆ラプラス変換して 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 を求めよ. 23 【復習】 ヘビサイドの展開定理： 𝐹𝐹 𝑠𝑠 = 𝑛𝑛 𝑁𝑁(𝑠𝑠) 𝐷𝐷(𝑠𝑠) 𝑛𝑛 𝐷𝐷 𝑠𝑠 = �(𝑠𝑠 − 𝑠𝑠𝑖𝑖 ) 𝑖𝑖=1 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = ℒ −1 𝐹𝐹 𝑠𝑠 𝐷𝐷′ 𝑠𝑠 = � �(𝑠𝑠 − 𝑠𝑠𝑘𝑘 ) 𝑗𝑗=1 𝑛𝑛 � 内で 𝑗𝑗=1 Systems Control II 𝑘𝑘≠𝑗𝑗 𝑛𝑛 =� 𝑖𝑖=1 𝑠𝑠𝑖𝑖 ≠ 𝑠𝑠𝑗𝑗 (𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗) とする. 𝑁𝑁(𝑠𝑠𝑖𝑖 ) 𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝐷𝐷′(𝑠𝑠𝑖𝑖 ) 𝐷𝐷′ 𝑠𝑠𝑖𝑖 = �(𝑠𝑠𝑖𝑖 − 𝑠𝑠𝑘𝑘 ) 𝑘𝑘≠𝑖𝑖 𝑗𝑗 ≠ 𝑖𝑖 のとき �(𝑠𝑠𝑖𝑖 − 𝑠𝑠𝑘𝑘 ) は零. なぜなら 𝑠𝑠𝑖𝑖 − 𝑠𝑠𝑖𝑖 を因子に含むので. 𝑘𝑘≠𝑗𝑗 𝑗𝑗 = 𝑖𝑖 のとき �(𝑠𝑠𝑖𝑖 − 𝑠𝑠𝑘𝑘 ) は非零. 𝑘𝑘≠𝑗𝑗 24 別解： 対角化を利用する アウトライン 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 + 1 1 1 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴2 𝑡𝑡 2 + 𝐴𝐴3 𝑡𝑡 3 + 𝐴𝐴4 𝑡𝑡 4 ⋯ 1! 2! 3! 4! 𝐴𝐴 = 𝑇𝑇Λ𝑇𝑇 −1 とできたならば 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 1 1 2 2 = 𝐼𝐼 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴 𝑡𝑡 + ⋯ 1! 2! 1 1 2 2 = 𝑇𝑇 𝐼𝐼 + Λ𝑡𝑡 + Λ 𝑡𝑡 + ⋯ 1! 2! 対角行列のべき乗も対角行列 Λ= 𝜆𝜆1 0 Systems Control II ⋱ 0 𝜆𝜆𝑛𝑛 Λk = 𝜆𝜆1𝑘𝑘 0 𝑇𝑇 −1 ⋱ = 𝑇𝑇 0 𝜆𝜆𝑘𝑘𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝜆𝜆1𝑡𝑡 0 ⋱ 0 𝑒𝑒 𝜆𝜆𝑛𝑛 𝑡𝑡 𝑇𝑇 −1 各対角要素は 𝑒𝑒 𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑡𝑡 の マクローリン展開になっている 25 計算用ページ： 𝐴𝐴 = 0 1 −2 −3 の固有値, 固有ベクトルを求め, 対角化せよ. その結果から 𝑒𝑒 𝐴𝐴𝐴𝐴 を求めよ. Systems Control II 26 計算用ページ： Systems Control II 27
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