システム制御Ⅱ 第2学期 火 1, 2限 8：40-10：50 5号館 第16講義室 担当：平田 健太郎 補足スライド ノルムと級数 Systems Control II 1 ノルムの性質： つぎの性質をもつ関数 ⋅ をベクトルのノルムという. 0; i) ii) 0⇔ 0. , : スカラー iii) （三角不等式） ベクトルのノルムの例 Systems Control II ⋮ , (ユークリッドノルム） 2 行列のノルム 同様に, 先の性質 i), ii), iii) を満たすものを行列のノルムとして定める ことができる. 行列のノルムの例 行列 を行列 ∈ に対して のフロベニウスノルム, sup を2-ノルム, または作用素ノルムという. 2-ノルムは右辺のベクトル ノルムから導かれているので, 誘導ノルムともいう. Systems Control II 3 行列ノルムの性質 (a) , (b) ∑ , : 行列 min , の特異値 Systems Control II 4 行列ノルムの性質 (c) 直交行列 に対して Systems Control II 5 証明: (b) から tr より は 特異値 ∑ の固有値の平方根であったから が成り立つ. また, 次ページ以降のLagrangeの未定乗数法から ⋯ が成り立つ. であるから ⋯ よって Systems Control II 6 Lagrangeの未定乗数法 s.t. ⇒ subject to ～のもとで 等式制約つき非線形最適化問題 Lagrange乗数 最適性の必要条件 Systems Control II 7 2次元の例 等高線 上から見たところ , : 0 0 上で Systems Control II , が最大となる点 8 上から見たところ 関数の各座標方向の微係数の 組を勾配という. : , 0 ≔ , 関数値が最も増加する方向を表す から,等高線とは直交する. 曲線に対しては法線方向となる. 上で , , が最大となる点 , の等高線と は接している , と （スカラー倍） Systems Control II , の勾配は同一方向 0 0 9 【未定乗数法の例: 行列の誘導ノルム Systems Control II 10 証明 Systems Control II 11 証明 (a) 一般の 0に対して sup であるから, 定義 sup より, 上式が示される ( Systems Control II 0のときの等号成立も含めて). 12 証明 tr より tr tr (トレースの性質より) は実対称行列であり, 直交行列によって対角化可能 0 tr ⋱ 0 : ⋯ Λ とする (全て非負). tr Λ tr tr (性質 (b) から) ∴ Systems Control II 13 証明 任意の非零ベクトル とすれば, (a) から に対して および が成り立つ. 以上から,任意の非零ベクトル に対して , すなわち が成り立つ. ここで sup であるから, . Systems Control II 14 証明 より は自明. これより sup tr Systems Control II sup tr 15 級数の収束 ∈ , 0,1,2, ⋯ に対して級数 ⋯ を考える. 右辺の和は要素毎に定義する. とおくとき が収束するとき, 級数は収束するという. 各 , について∑ 補題： （絶対収束） 絶対収束する. 証明： 任意の , Systems Control II のノルム和が収束するとき, 上の級数は . よって ∑ ∞ であれば ∑ について収束. よって, 上の級数は絶対収束する. が 16 任意の ∈ に対してべき級数 ⋯ 2! ⋯ ! を考える. 一般項をノルム評価すると ! ! ! , 上式右辺を一般項とする級数は任意の有界区間 において収束し ≔ , ⊂ ! したがって, 先の補題から, 任意の区間で上のべき級数は絶対収束 するので定義可能. これを行列指数関数といい, で表す. 絶対収束する級数は項別微分可能 Systems Control II 17 行列指数関数の性質 (a) (b) ⇒ (c) Systems Control II 18 証明 (a) ℓ ℓ ℓ ℓ! ℓ ℓ ! ℓ ℓ! ! ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ 二重和 の順序 変更 Systems Control II 19 ℓ ℓ ℓ! ℓ ≔ ℓ ℓ ℓ ! 0,1,2, ⋯ 0, ⋯ , ! ℓ Systems Control II ℓ ℓ! ℓ ! ℓ ! ! ! ℓ 20 ! ! 二項定理から ∴ Systems Control II ! , ! ! ! 21 証明 (b) のとき ! ! ! ℓ ℓ ! ℓ ℓ ℓ ℓ! ! ℓ ℓ ℓ ℓ! ! ℓ ℓ ℓ Systems Control II ℓ ℓ 22 証明 (c) 級数の項別微分より ⋯ 2! 2 2! ⋯ 2! Systems Control II ⋯ ! ⋯ 2! ⋯ ⋯ ! ⋯ ! ! ⋯ 23 ジョルダン標準形のまとめ Systems Control II 24 行列 が相異なる固有値をもつ → 対角化可能 行列 が代数的重複度 の重複固有値 をもつ ↔ det , rank , 幾何学的重複度という. 単純行列は対角化可能. 0 1 であるが, この を固有値 の である行列を単純であるといい, 1 ⋱ ジョルダンブロック ⋱ ⋱ 0 1 ⋱ 0 0 ⋱ c.f. rank 1 なので ランクが1つだけ落ちる. ランクが 落ちる. 0 Systems Control II 25 4次の例 特性方程式はどれも 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ランクが 4 落ちる. ランクが 1 落ちる. ランクが 2 落ちる. 1 Systems Control II ランクが 1 落ちる. 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 Systems Control II 1/ 1/ 1/ 27 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Systems Control II 1/ 1/ 1/ 1/ 28 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Systems Control II 1/ 1/ 1/ 1/ 29 幾何学的重複度 の固有値 0 ⋱ 0 0 に対応するブロックは ⋱ 0 なる変換が可能で, これをジョルダン標準形という. はジョルダンブロックか単なる対角行列 (サイズ1のジョルダンブロックを集めたもの). ブロック対角行列 0 だから, Systems Control II ⋱ 0 に対して が求まれば, 任意の に対する 0 ⋱ 0 が定義可能. 30 ジョルダンブロック ∈ の行列指数関数: 0 , 1 ⋱ ⋱ ⋱ 0 はべき零行列, すなわち 0 1 0 0 . べき零行列の例： 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Systems Control II 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 31 ! と ! 1 0 0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0 / / / /2! ⋯ ⋱ 1 ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 1 ! 2 ! 3 ! ⋮ 1 は可換であるから, ∴ Systems Control II 1 0 1 0 0 ⋮ ⋮ 0 0 /2! ⋯ ⋱ 1 ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 / / / 1 ! 2 ! 3 ! ⋮ 1 32 微分方程式の解の存在性・一意性 0, 例) , 0 1 4 一意でない 1 1 1 微分方程式 , において, を , は の区分的連続関数とする. さらに , の任意の点に固定したとき , ∀ , ∈ が成り立つような区分的連続関数 ∈ に対して初期条件 , の一意解が存在する. Systems Control II 1 で不連続. 全ての で解が存在しない. , ∀ ∈ （リプシッツ条件） が存在するとき, 任意の ∈ を満足し, に関して連続な , 33 微分方程式の解の存在性・一意性 , 線形システムの場合は , , は定数なので, 区分的連続関数でもある. よって, 任意の ∈ に関して連続な Systems Control II , ∈ に対して初期条件 の一意解が存在する. を満足し, 34
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